廣東省粵西五校聯(lián)考2024屆高一數(shù)學第一學期期末考試試題含解析

廣東省粵西五校聯(lián)考2024屆高一數(shù)學第一學期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)的圖像如圖所示，則A. B.C. D.3．在R上定義運算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1對任意的實數(shù)x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A.－1<a<1 B.0<a<2C.－<a< D.－<a<4．下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若a，，則C.若，，則 D.若，則5．設(shè)命題，則為（）A. B.C. D.6．“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知等比數(shù)列滿足,,則（）A. B.C. D.8．命題：，的否定是（）A.， B.，C.， D.，9．在半徑為cm的圓上，一扇形所對的圓心角為，則此扇形的面積為（）A. B.C. D.10．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，則向量在方向上的投影為___________.12．一條光線從A處射到點B(0，1)后被軸反射，則反射光線所在直線的一般式方程為_____________.13．已知函數(shù)，又有定義在R上函數(shù)滿足：（1），，均恒成立；（2）當時，，則_____，函數(shù)在區(qū)間中的所有零點之和為_______.14．已知實數(shù)滿足，則________15．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上遞減，則實數(shù)m＝________16．大圓周長為的球的表面積為____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．2021年秋季學期，某省在高一推進新教材，為此該省某市教育部門組織該市全體高中教師在暑假期間進行相關(guān)學科培訓，培訓后舉行測試（滿分100分），從該市參加測試的數(shù)學老師中抽取了100名老師并統(tǒng)計他們的測試分數(shù)，將成績分成五組，第一組[65，70），第二組[70，75），第三組[75，80），第四組[80，85），第五組[85，90]，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求a的值以及這100人中測試成績在[80，85）的人數(shù)；（2）估計全市老師測試成績的平均數(shù)（同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間中點值代替）和第50%分數(shù)位（保留兩位小數(shù)）；（3）若要從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學習心得交流分享，并在這6人中再抽取2人擔當分享交流活動的主持人，求第四組至少有1名老師被抽到的概率18．2015年10月5日，我國女藥學家屠呦呦獲得2015年諾貝爾醫(yī)學獎.屠呦呦和她的團隊研制的抗瘧藥青蒿素，是科學技術(shù)領(lǐng)域的重大突破，開創(chuàng)了定疾治療新方法，挽救了全球特別是發(fā)展中國家數(shù)百萬人的生命，對促進人類健康、減少病痛發(fā)揮了難以估量的作用.當年青蒿素研制的過程中，有一個小插曲：雖然青蒿素化學成分本身是有效的，但是由于實驗初期制成的青蒿素藥片在胃液中的溶解速度過慢，導致藥片沒有被人體完全吸收，血液中青蒿素的濃度（以下簡稱為“血藥濃度”）的峰值（最大值）太低，導致藥物無效.后來經(jīng)過改進藥片制備工藝，使得青蒿素藥片的溶解速度加快，血藥濃度能夠達到要求，青蒿素才得以發(fā)揮作用.已知青蒿素藥片在體內(nèi)發(fā)揮作用的過程可分為兩個階段，第一個階段為藥片溶解和進入血液，即藥品進入人體后會逐漸溶解，然后進入血液使得血藥濃度上升到一個峰值；第二個階段為吸收和代謝，即進入血液的藥物被人體逐漸吸收從而發(fā)揮作用或者排出體外，這使得血藥濃度從峰值不斷下降，最后下降到一個不會影響人體機能的非負濃度值.人體內(nèi)的血藥濃度是一個連續(xù)變化的過程，不會發(fā)生驟變.現(xiàn)用t表示時間（單位：h），在t=0時人體服用青蒿素藥片；用C表示青蒿素的血藥濃度（單位：μg/ml）.根據(jù)青蒿素在人體發(fā)揮作用的過程可知，C是t的函數(shù).已知青蒿素一般會在1.5小時達到需要血藥濃度的峰值.請根據(jù)以上描述完成下列問題：（1）下列幾個函數(shù)中，能夠描述青蒿素血藥濃度變化過程的函數(shù)的序號是___________.①C②C③C④C（2）對于青蒿素藥片而言，若血藥濃度的峰值大于等于0.1μg/ml，則稱青蒿素藥片是合格的.基于（1）中你選擇的函數(shù)（若選擇多個，則任選其中一個），可判斷此青蒿素藥片___________；（填“合格”、“不合格”）（3）記血藥濃度的峰值為Cmax，當C≥12Cmax時，我們稱青蒿素在血液中達到“有效濃度”，基于（1）中你選擇的函數(shù)（若選擇多個，則任選其中一個），計算青蒿素在血液中達到19．設(shè)函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)的定義域為集合.（1）若，求實數(shù)的取值范圍;（2）若，求實數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù).（Ⅰ）對任意的實數(shù)，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當實數(shù)取最小值時，討論函數(shù)在時的零點個數(shù).21．已知，且為第二象限角（1）求的值；（2）求值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】依題意可得在上單調(diào)遞減，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，再根據(jù)，即可得到的大致圖像，結(jié)合圖像分類討論，即可求出不等式的解集；【題目詳解】解：因為函數(shù)滿足對任意的，有，即在上單調(diào)遞減，又是定義在R上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，函數(shù)的大致圖像可如下所示：所以當時，當或時，則不等式等價于或，解得或，即原不等式的解集為；故選：C2、B【解題分析】本題首先可以通過圖像得出函數(shù)的周期，然后通過函數(shù)周期得出的值，再然后通過函數(shù)過點求出的值，最后將帶入函數(shù)解析式即可得出結(jié)果【題目詳解】因為由圖像可知，解得，所以，，因為由圖像可知函數(shù)過點，所以，解得，取，，，所以，故選B【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了三角函數(shù)圖像的相關(guān)性質(zhì)，考查了三角函數(shù)的周期性的求法，考查計算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題3、C【解題分析】根據(jù)新定義把不等式轉(zhuǎn)化為一般的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立得結(jié)論【題目詳解】∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，即(x－a)(1－x－a)<1對任意實數(shù)x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0對任意實數(shù)x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，解得，故選:C.4、C【解題分析】結(jié)合特殊值、差比較法確定正確選項.【題目詳解】A：令，；，，則，，不滿足，故A錯誤；B：a，b異號時，不等式不成立，故B錯誤；C：，，，，即，故C正確；D：令，，不成立，故D錯誤.故選：C5、D【解題分析】根據(jù)全稱量詞否定的定義可直接得到結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)全稱量詞否定的定義可知：為：，使得.故選：.【題目點撥】本題考查含量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】根據(jù)充分必要條件定義判斷【題目詳解】時，是偶函數(shù)，充分性滿足，但時，也是偶函數(shù)，必要性不滿足應(yīng)是充分不必要條件故選：A7、C【解題分析】由題意可得,所以,故,選C.考點：本題主要考查等比數(shù)列性質(zhì)及基本運算.8、D【解題分析】由全稱量詞命題與存在量詞命題的否定判斷即可.【題目詳解】由全稱量詞命題與存在量詞命題的否定，可知原命題的否定為，故選：D9、B【解題分析】由題意，代入扇形的面積公式計算即可.【題目詳解】因為扇形的半徑為，圓心角為，所以由扇形的面積公式得.故選：B10、C【解題分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸在區(qū)間的左邊，即可得到答案；【題目詳解】由題意得：，故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】直接利用投影的定義求在方向上的投影.【題目詳解】因為，，設(shè)與夾角為，，則向量在方向上的投影為：.所以在方向上投影為故答案為：.12、【解題分析】根據(jù)反射光線的性質(zhì)，確定反射光線上的兩個點的坐標，最后確定直線的一般式方程.【題目詳解】因為一條光線從A處射到點B(0，1)后被軸反射，所以點A關(guān)于直線對稱點為，根據(jù)對稱性可知，反射光線所在直線過點，又因為反射光線所在直線又過點，所以反射光線所在直線斜率為，所以反射光線所在直線方程為，化成一般式得：，故答案為：.13、①.1②.42【解題分析】求出的周期和對稱軸，再結(jié)合圖象即可.【題目詳解】由條件可知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，由可知，，則周期，即，函數(shù)在區(qū)間中的所有零點之和即為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點的橫坐標之和，當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，，，且區(qū)間關(guān)于對稱，又∵由已知得也是的對稱軸，∴只需用研究直線左側(cè)部分即可，由圖象可知左側(cè)有7個交點，則右側(cè)也有7個交點，將這14個交點的橫坐標從小到大排列，第個數(shù)記為，由對稱性可知，則，同理，…，，∴.故答案為：，.14、4【解題分析】方程的根與方程的根可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)交點的橫坐標和函數(shù)與函數(shù)交點的橫坐標，再根據(jù)與互為反函數(shù)，關(guān)于對稱，即可求出答案.【題目詳解】，，令，，此方程的解即為函數(shù)與函數(shù)交點的橫坐標，設(shè)為，如下圖所示；，此方程的解即為函數(shù)與函數(shù)交點的橫坐標，設(shè)為，如下圖所示，與互反函數(shù)，關(guān)于對稱，聯(lián)立方程，解得，即，.故答案為：4.15、2【解題分析】由冪函數(shù)的定義可得m2－m－1＝1，得出m＝2或m＝－1，代入驗證即可.【題目詳解】是冪函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，得m2－m－1＝1解得m＝2或m＝－1，當m＝2時，f（x）＝x－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)，符合題意；當m＝－1時，f（x）＝x0＝1在(0，＋∞)上不是減函數(shù)，所以m＝2故答案為：2【題目點撥】本題考查了冪函數(shù)的定義，考查了理解辨析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題目.16、【解題分析】依題意可知，故求得表面積為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）;20；（2）分,76.67分（3）【解題分析】（1）根據(jù)頻率之和為1，可求得a的值，根據(jù)頻數(shù)的計算可求得測試成績在[80，85）的人數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可計算中位數(shù)，即可求得第50%分數(shù)位；（3）列舉出所有可能的抽法，再列出第四組至少有1名老師被抽到可能情況，根據(jù)古典概型的概率公式求得答案.【小問1詳解】由題意得：，解得；這100人中測試成績在[80，85）的人數(shù)為（人）；【小問2詳解】平均數(shù)為：（分），設(shè)中位數(shù)為m,且，則，解得，故第50%分數(shù)位76.67分；【小問3詳解】第三組頻率為，第四組頻率為，第五組頻率為，故從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學習心得交流分享，三組人數(shù)為3人，2人和1人，記第三組抽取人為,第四組抽取的人為,第五組抽取的人為,則抽取2人的所有情況如下：共15種，其中第四組至少有1名老師被抽到的抽法有共9種，故第四組至少有1名老師被抽到的概率為.18、（1）④（2）合格（3）4-【解題分析】（1）先分析函數(shù)Ct（2）作差比較進行判斷；（3）令C(t)≥0.1ln2.5【小問1詳解】解：根據(jù)題意，得函數(shù)CtA.函數(shù)Ct在[0,1.5)上單調(diào)遞增，在[1.5,+B.當t=1.5時，函數(shù)Ct取得最大值；函數(shù)CC.函數(shù)Ct選擇①：Ct因為C3=0.75-0.3×3=-0.15不滿足條件所以①不能描述青蒿素血藥濃度變化過程；選擇②：Ct當0≤t<15時，Ct當t=1時，函數(shù)Ct取得最大值，不滿足條件B所以②不能描述青蒿素血藥濃度變化過程；選擇③：Ct因為0.3e0.3ln所以不滿足條件C,所以③不能描述青蒿素血藥濃度變化過程；選擇④：Ct因為0.2ln且當t≥1.5時，Ct所以Ct即④能描述青蒿素血藥濃度變化過程；綜上所述，能夠描述青蒿素血藥濃度變化過程的函數(shù)的序號是④.【小問2詳解】解：由（1）得：函數(shù)④：C因為0.2ln即血藥濃度的峰值大于0.1μg/ml，所以此青蒿素藥片合格，即答案為：合格；【小問3詳解】解：當0≤t<1.5時，令0.2ln所以ln(t+1)2≥即2t2+4t-3≥0，解得t≥即-2+10當t≥1.5時，令0.3ln則3t≥1，解得即1.5≤t≤3；綜上所述，青蒿素在血液中達到“有效濃度”的持續(xù)時間為3--2+19、（1）（2）【解題分析】（1）首先分別求解兩個函數(shù)的定義域，根據(jù)集合包含關(guān)系，列不等式求解的取值范圍；（2）根據(jù)，得，求的取值范圍.【小問1詳解】解：由題知，，解得：，若，則，即，實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】解：若，則，即，實數(shù)的取值范圍是.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【解題分析】（Ⅰ）由可知，區(qū)間是不等式解集的子集，由此可得出實數(shù)的不等式，解出即可；（Ⅱ）由題意可知，，則，令，可得出，令，對實數(shù)的取值范圍進行分類討論，先討論方程的根的個數(shù)及根的范圍，進而得出方程的根個數(shù)，由此可得出結(jié)論.【題目詳解】（Ⅰ）