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文檔簡介
2024屆四川省眉山一中辦學(xué)共同體數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知函數(shù),且,,,則的值A(chǔ).恒為正 B.恒為負(fù)C.恒為0 D.無法確定2.函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為(
)A.1 B.2C.3 D.43.直線l通過兩直線7x+5y-24=0和x-y=0的交點(diǎn),且點(diǎn)(5,1)到直線l的距離為,則直線l的方程是()A.3x+y+4=0 B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0 D.x-3y-4=04.素?cái)?shù)也叫質(zhì)數(shù),部分素?cái)?shù)可寫成“”的形式(是素?cái)?shù)),法國數(shù)學(xué)家馬丁?梅森就是研究素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位,因此后人將“”形式(是素?cái)?shù))的素?cái)?shù)稱為梅森素?cái)?shù).2018年底發(fā)現(xiàn)的第個梅森素?cái)?shù)是,它是目前最大的梅森素?cái)?shù).已知第個梅森素?cái)?shù)為,第個梅森素?cái)?shù)為,則約等于(參考數(shù)據(jù):)()A. B.C. D.5.已知點(diǎn)P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),則的最大值是()A. B.2C.4 D.6.函數(shù)的零點(diǎn)在A. B.C. D.7.給出下列命題:①第二象限角大于第一象限角;②不論是用角度制還是用弧度制度量一個角,它們與扇形的半徑的大小無關(guān);③若,則與的終邊相同;④若,是第二或第三象限的角.其中正確的命題個數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.48.設(shè)為偶函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞減,,則的解集為()A.(-1,1) B.C. D.(2,4)9.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向左平移個單位長度B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度D.向右平移個單位長度10.圓與直線相交所得弦長為()A.1 B.C.2 D.2二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知函數(shù),則當(dāng)_______時,函數(shù)取得最小值為_________.12.若函數(shù)(常數(shù)),對于任意兩個不同的、,當(dāng)、時,均有(為常數(shù),)成立,如果滿足條件的最小正整數(shù)為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.13.已知函數(shù)(1)當(dāng)時,求的值域;(2)若,且,求的值;14.已知扇形的圓心角為,扇形的面積為,則該扇形的弧長為____________.15.已知,,則____________16.在平行四邊形中,為上的中點(diǎn),若與對角線相交于,且,則__________三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù)(其中,,)圖象上兩相鄰最高點(diǎn)之間距離為,且點(diǎn)是該函數(shù)圖象上的一個最高點(diǎn)(1)求函數(shù)的解析式;(2)把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若恒有,求實(shí)數(shù)的最小值.18.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了進(jìn)行美麗鄉(xiāng)村建設(shè),規(guī)劃在長為10千米的河流的一側(cè)建一條觀光帶,觀光帶的前一部分為曲線段,設(shè)曲線段為函數(shù),(單位:千米)的圖象,且曲線段的頂點(diǎn)為;觀光帶的后一部分為線段,如圖所示.(1)求曲線段對應(yīng)的函數(shù)的解析式;(2)若計(jì)劃在河流和觀光帶之間新建一個如圖所示的矩形綠化帶,綠化帶由線段構(gòu)成,其中點(diǎn)在線段上.當(dāng)長為多少時,綠化帶的總長度最長?19.已知函數(shù),(1)若,求函數(shù)的值域;(2)已知,且對任意的,不等式恒成立,求的取值范圍20.已知函數(shù)滿足:.(1)證明:;(2)對滿足已知的任意值,都有成立,求m的最小值.21.已知函數(shù)為的零點(diǎn),為圖象的對稱軸(1)若在內(nèi)有且僅有6個零點(diǎn),求;(2)若在上單調(diào),求的最大值
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】根據(jù)題意可得函數(shù)是奇函數(shù),且在上單調(diào)遞增.然后由,可得,結(jié)合單調(diào)性可得,所以,以上三式兩邊分別相加后可得結(jié)論【題目詳解】由題意得,當(dāng)時,,于是同理當(dāng)時,可得,又,所以函數(shù)是上的奇函數(shù)又根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判定方法可得在上為增函數(shù)由,可得,所以,所以,以上三式兩邊分別相加可得,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷及應(yīng)用,考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,具有一定的綜合性和難度,解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意得到函數(shù)的性質(zhì),然后根據(jù)單調(diào)性得到不等式,再根據(jù)不等式的知識得到所求2、B【解題分析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?,即函?shù)為偶函數(shù),當(dāng)時,,設(shè),則:,據(jù)此可得:,據(jù)此有:,即函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù),由函數(shù)的解析式可知:,則函數(shù)在區(qū)間上有一個零點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)在R上有2個零點(diǎn).本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛:函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法:(1)直接求零點(diǎn):令f(x)=0,如果能求出解,則有幾個解就有幾個零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理:利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)(3)利用圖象交點(diǎn)的個數(shù):將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差,畫兩個函數(shù)的圖象,看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值,就有幾個不同的零點(diǎn)3、C【解題分析】交點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)直線方程為,即,則,解得,所以直線方程為,即,故選C點(diǎn)睛:首先利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線,由距離公式求出斜率,解得直線方程.求直線的題型,基本方法是利用點(diǎn)斜式求直線方程,本題通過距離公式求斜率,寫出直線方程4、C【解題分析】根據(jù)兩數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1,的值約等于,設(shè),運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算法則,把指數(shù)式轉(zhuǎn)化對數(shù)式,最后求出的值.【題目詳解】因?yàn)閮蓴?shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1,所以的值約等于,設(shè),因此有.故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)學(xué)估算能力,考查了指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】,則,則的最大值是2,故選B.6、B【解題分析】利用零點(diǎn)的判定定理檢驗(yàn)所給的區(qū)間上兩個端點(diǎn)的函數(shù)值,當(dāng)兩個函數(shù)值符號相反時,這個區(qū)間就是函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間.【題目詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋?,,,,因?yàn)?,根?jù)零點(diǎn)定理可得,在有零點(diǎn),故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,本題解題的關(guān)鍵是看出函數(shù)在所給的區(qū)間上對應(yīng)的函數(shù)值的符號,此題是一道基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】根據(jù)題意,對題目中的命題進(jìn)行分析,判斷正誤即可.【題目詳解】對于①,根據(jù)任意角的概念知,第二象限角不一定大于第一象限角,①錯誤;對于②,根據(jù)角的定義知,不論用角度制還是用弧度制度量一個角,它們與扇形所對半徑的大小無關(guān),②正確;對于③,若,則與的終邊相同,或關(guān)于軸對稱,③錯誤;對于④,若,則是第二或第三象限的角,或終邊在負(fù)半軸上,④錯誤;綜上,其中正確命題是②,只有個.故選:【題目點(diǎn)撥】本題考查真假命題的判斷,考查三角函數(shù)概念,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】由奇偶性可知的區(qū)間單調(diào)性及,畫出函數(shù)草圖,由函數(shù)不等式及函數(shù)圖象求解集即可.【題目詳解】根據(jù)題意,偶函數(shù)在上單調(diào)遞減且,則在上單調(diào)遞增,且函數(shù)的草圖如圖,或,由圖可得-2<x<0或x>2,即不等式的解集為故選:C9、D【解題分析】化簡得到,根據(jù)平移公式得到答案.【題目詳解】;故只需向右平移個單位長度故選:【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的平移,意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)的變換的理解的掌握情況.10、D【解題分析】利用垂徑定理可求弦長.【題目詳解】圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為,圓心到直線的距離為,故弦長為:,故選:D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、①.##②.【解題分析】根據(jù)求出的范圍,根據(jù)余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求其最小值.【題目詳解】∵,∴,∴當(dāng),即時,取得最小值為,∴當(dāng)時,最小值為.故答案為:;-3.12、【解題分析】分析可知對任意的、且恒成立,且對任意的、且有解,進(jìn)而可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組,由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解】,因?yàn)?,由可得,由題意可得對任意的、且恒成立,且對任意的、且有解,即,即恒成立,或有解,因?yàn)?、且,則,若恒成立,則,解得;若或有解,則或,解得或;因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.13、(1)(2)【解題分析】(1)化簡函數(shù)解析式為,再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域即可;(2)由已知得,利用同角之間的關(guān)系求得,再利用湊角公式及兩角差的余弦公式即可得解.【小問1詳解】,,利用余弦函數(shù)的性質(zhì)知,則【小問2詳解】,又,,則則14、【解題分析】利用扇形的面積求出扇形的半徑,再帶入弧長計(jì)算公式即可得出結(jié)果【題目詳解】解:由于扇形的圓心角為,扇形的面積為,則扇形的面積,解得:,此扇形所含的弧長.故答案為:.15、【解題分析】,,考點(diǎn):三角恒等變換16、3【解題分析】由題意如圖:根據(jù)平行線分線段成比例定理,可知,又因?yàn)椋愿鶕?jù)三角形相似判定方法可以知道∵為的中點(diǎn)∴相似比為∴∴故答案為3三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)最小值為4【解題分析】(1)由圖象上兩相鄰最高點(diǎn)之間的距離為,可知周期,點(diǎn)是該函數(shù)圖象上的一個最高點(diǎn),可知,故,將點(diǎn)代入解析式即可得,函數(shù)解析式即可求得;(2)利用函數(shù)平移的性質(zhì)即可求得平移后的函數(shù),由恒有,可知函數(shù)在處取得最大值,即可求出實(shí)數(shù)取最小值.【小問1詳解】根據(jù)題意得函數(shù)的周期為,即,故,∵點(diǎn)是該函數(shù)圖象上的一個最高點(diǎn),∴,即,將點(diǎn)代入函數(shù)解析式得,,即,則,又∵,∴,故.【小問2詳解】∵函數(shù),∴∵恒有成立,∴在處取得最大值,則,,得∵,,故當(dāng)時,實(shí)數(shù)取最小值4.18、(1).(2)當(dāng)OM長為1千米時,綠化帶的總長度最長.【解題分析】(1)由題意首先求得a,b,c的值,然后分段確定函數(shù)的解析式即可;(2)設(shè),由題意得到關(guān)于t的函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定當(dāng)長為多少時,綠化帶的總長度最長即可.【題目詳解】(1)因?yàn)榍€段OAB過點(diǎn)O,且最高點(diǎn)為,,解得.所以,當(dāng)時,,因?yàn)楹笠徊糠譃榫€段BC,,當(dāng)時,,綜上,.(2)設(shè),則,由,得,所以點(diǎn),所以,綠化帶的總長度:.所以當(dāng)時.【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)求函數(shù)值,要確定好自變量的取值范圍,再代入相應(yīng)的解析式求得對應(yīng)的函數(shù)值,分段函數(shù)分段處理,這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念.19、(1);(2)當(dāng)時,;當(dāng)且時,.【解題分析】(1)由題設(shè),令則,即可求值域.(2)令,將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,再應(yīng)用對勾函數(shù)的性質(zhì),討論、,分別求出的取值范圍【小問1詳解】因?yàn)?,設(shè),則,因?yàn)?,所以,即?dāng)時,,當(dāng)或時,,所以的值域?yàn)?【小問2詳解】因?yàn)?,所以,又可化成,因?yàn)椋?,所以,令,則,,依題意,時,恒成立,設(shè),,當(dāng)時,當(dāng)且僅當(dāng),,故;當(dāng),時,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,故,綜上所述:當(dāng)時,;當(dāng)且時,.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:應(yīng)用換元法及參變分離,將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域,及由不等式恒成立、對勾函數(shù)的最值求參數(shù)范圍.20、(1)證明見解析;(2).【解題分析】(1)由二次不等式恒成立,可得判別式小于等于0,化簡即可得證;(2)由(1)可得,分別討論或,運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性,可求得所求的最小值.【題目詳解】(1)證明:.即恒成立.則,化簡得;(2)由(1)得,當(dāng)時,,令,則,令在上單調(diào)遞增,所以,所以;當(dāng)時,,所以,此時或0,,從而有,綜上可得,m的最小值為.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛:本題考查不等式的證明,以及不等式恒成立問題,常運(yùn)用參變分離的方法,運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性,最值的方法得以解決.21、(1);(2).【解題分析】(1)根據(jù)的零點(diǎn)和對稱中心確定出的取值情況,再根據(jù)在上的零點(diǎn)個數(shù)確定出,由此確定出的取值,結(jié)合求解出的取值,再根據(jù)以及的范圍確定出的取值,由此求解出的解析式;(2)先根據(jù)在上單調(diào)確定出的范圍,由此確定出的可取值,再對從大到小進(jìn)行分析,由此確定出的最大值.【題目詳解】(1)因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn),為圖象的對稱軸,所以,所以,因?yàn)樵趦?nèi)有且僅有個零點(diǎn),分析正弦函數(shù)函數(shù)圖象可知:個零點(diǎn)對應(yīng)的最短區(qū)間長度為,最長的區(qū)間長度小于,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以,代入,所
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