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2024屆內(nèi)蒙古呼和浩特市金山學(xué)校數(shù)學(xué)高一上期末考試試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.已知集合,區(qū)間,則=()A. B.C. D.2.若是三角形的一個內(nèi)角,且,則的值是()A. B.C.或 D.不存在3.已知,且滿足,則值A(chǔ). B.C. D.4.若,則化簡=()A. B.C. D.5.已知集合,,全集,則()A. B.C. D.I6.已知函數(shù)(其中)的最小正周期為,則()A. B.C.1 D.7.已知函數(shù),的最值情況為()A.有最大值,但無最小值 B.有最小值,有最大值1C.有最小值1,有最大值 D.無最大值,也無最小值8.若無論實(shí)數(shù)取何值,直線與圓相交,則的取值范圍為()A. B.C. D.9.函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A. B.C. D.10.已知為角終邊上一點(diǎn),則()A. B.1C.2 D.3二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.關(guān)于函數(shù)f(x)=有如下四個命題:①f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱②f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱③f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱④f(x)的最小值為2其中所有真命題的序號是__________12.不等式的解集為_____13.某扇形的圓心角為2弧度,半徑為,則該扇形的面積為___________14.實(shí)數(shù)271315.已知函數(shù),若函數(shù)的最小值與函數(shù)的最小值相等,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________16.已知點(diǎn),點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn),則面積的最大值是______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知,計算下列各式的值.(1);(2).18.已知:(1)求的值(2)若,求的值.19.若兩個函數(shù)和對任意,都有,則稱函數(shù)和在上是疏遠(yuǎn)的(1)已知命題“函數(shù)和在上是疏遠(yuǎn)的”,試判斷該命題的真假.若該命題為真命題,請予以證明;若為假命題,請舉反例;(2)若函數(shù)和在上是疏遠(yuǎn)的,求整數(shù)a的取值范圍20.已知函數(shù)同時滿足下列四個條件中的三個:①當(dāng)時,函數(shù)值為0;②的最大值為;③的圖象可由的圖象平移得到;④函數(shù)的最小正周期為.(1)請選出這三個條件并求出函數(shù)的解析式;(2)對于給定函數(shù),求該函數(shù)的最小值.21.在四面體B-ACD中,是正三角形,是直角三角形,,.(1)證明:;(2)若E是BD的中點(diǎn),求二面角的大小.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】利用交集的運(yùn)算律求【題目詳解】∵,,∴.故選:D.2、B【解題分析】由誘導(dǎo)公式化為,平方求出,結(jié)合已知進(jìn)一步判斷角范圍,判斷符號,求出,然后開方,進(jìn)而求出的值,與聯(lián)立,求出,即可求解.【題目詳解】,平方得,,是三角形的一個內(nèi)角,,,,.故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查誘導(dǎo)公式化簡,考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值,要注意,三者關(guān)系,知一求三,屬于中檔題.3、C【解題分析】由可求得,然后將經(jīng)三角變換后用表示,于是可得所求【題目詳解】∵,∴,解得或∵,∴∴故選C【題目點(diǎn)撥】對于給值求值的問題,解答時注意將條件和所求值的式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?,然后合理地運(yùn)用條件達(dá)到求解的目的,解題的關(guān)鍵進(jìn)行三角恒等變換,考查變換轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力4、D【解題分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可得答案.【題目詳解】解:.故選:D5、B【解題分析】根據(jù)并集、補(bǔ)集的概念,計算即可得答案.【題目詳解】由題意得,所以故選:B6、D【解題分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期求ω,從而可求的值.【題目詳解】由題可知,,∴.故選:D.7、C【解題分析】利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),得到二次函數(shù)的單調(diào)性,即可求解最值,得到答案.【題目詳解】由題意,函數(shù),可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,函數(shù)取得最小值,最小值為,當(dāng)時,函數(shù)取得最小值,最小值為,故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用,其中解答中熟練利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】利用二元二次方程表示圓的條件及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即得.【題目詳解】由圓,可知圓,∴,又∵直線,即,恒過定點(diǎn),∴點(diǎn)在圓的內(nèi)部,∴,即,綜上,.故選:A.9、C【解題分析】由題意,函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)遞增,計算,,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可【題目詳解】解:函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)遞增,且,,所以所以的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是故選:10、B【解題分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出,再利用齊次化將弦化切進(jìn)行求解.【題目詳解】為角終邊上一點(diǎn),故,故.故選:B二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、②③【解題分析】利用特殊值法可判斷命題①的正誤;利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題②的正誤;利用對稱性的定義可判斷命題③的正誤;取可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【題目詳解】對于命題①,,,則,所以,函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱,命題①錯誤;對于命題②,函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對稱,,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,命題②正確;對于命題③,,,則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,命題③正確;對于命題④,當(dāng)時,,則,命題④錯誤.故答案為:②③.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對稱性以及最值的求解,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.第ⅠⅠ卷12、【解題分析】把不等式x2﹣2x>0化為x(x﹣2)>0,求出解集即可【題目詳解】不等式x2﹣2x>0可化為x(x﹣2)>0,解得x<0或x>2;∴不等式的解集為{x|x<0或x>2}故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目13、16【解題分析】利用扇形的面積S,即可求得結(jié)論【題目詳解】∵扇形的半徑為4cm,圓心角為2弧度,∴扇形的面積S16cm2,故答案為:1614、1【解題分析】直接根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算求解即可.【題目詳解】解:27故答案為:115、【解題分析】由二次函數(shù)的知識得,當(dāng)時有.令,則,.結(jié)合二次函數(shù)可得要滿足題意,只需,解不等式可得所求范圍【題目詳解】由已知可得,所以當(dāng)時,取得最小值,且令,則,要使函數(shù)的最小值與函數(shù)的最小值相等,只需滿足,解得或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)最值的問題,求解此類問題時要結(jié)合二次函數(shù)圖象,即拋物線的開口方向和對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行求解,同時注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用,考查分析問題和解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題16、【解題分析】由點(diǎn)可得直線AB的方程及的值,可得圓心到直線AB的距離d及P到直線AB的最大距離,可得面積的最大值是.【題目詳解】解:直線AB的方程為,圓心到直線AB的距離,點(diǎn)P到直線AB的最大距離為.故面積的最大值是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式及兩點(diǎn)間距離公式等,需綜合運(yùn)用所學(xué)知識求解.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】(1)將分子分母同除以,再將代入,得到要求式子的值(2)先將變形為,再將分子分母同除以,求得要求式子值【題目詳解】∵,∴∴(1)將分子分母同除以,得到;(2)【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題18、(1);(2)【解題分析】(1)利用誘導(dǎo)公式及商數(shù)關(guān)系得到結(jié)果;(2)利用兩角和與差正切公式可得答案.【題目詳解】(1)∵,則∴(2)∵∴解得:∴【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)式的化簡求值;熟練運(yùn)用兩角和與差的正切公式是解答的關(guān)鍵19、(1)該命題為假命題,反例為:當(dāng)時,.(2).【解題分析】(1)利用“疏遠(yuǎn)函數(shù)”的定義直接判斷即可,以或舉例即可;(2)由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù),構(gòu)造函數(shù),可證當(dāng)時,恒成立,即函數(shù)和在上是疏遠(yuǎn)的【小問1詳解】該命題為假命題,反例為:當(dāng)時,.【小問2詳解】由函數(shù)的定義域可知,故記∵在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴在上單調(diào)遞增,∴當(dāng)時,,不滿足;當(dāng)時,,不滿足;當(dāng)時,,∴當(dāng)時,故.20、(1)選擇①②④三個條件,(2)【解題分析】(1)根據(jù)各條件之間的關(guān)系,可確定最大值1與②④矛盾,故③不符合題意,從而確定①②④三個條件;(2)將化簡為,再通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題再求解.【小問1詳解】①由條件③可知,函數(shù)的周期,最大值為1與②④矛盾,故③不符合題意.選擇①②④三個條件.由②得,由④中,知,則,由①知,解得,又,則.所求函數(shù)表達(dá)式為.【小問2詳解】由,令,那么,令,其對稱軸為.當(dāng)時,即時,在上單調(diào)遞增,則;當(dāng)時,即時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則;當(dāng)時,即時,在上單調(diào)遞減.則,綜上所述可得21、(1)證明見解析(2)【解題分析】(1)取AC的中點(diǎn)F,連接DF,BF,由等腰三角形的性質(zhì),先證平面BFD,再證;(2)連接FE,由(1)可得,
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