2024屆北京市東城171中高一數(shù)學第一學期期末經典試題含解析

2024屆北京市東城171中高一數(shù)學第一學期期末經典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，則M∩N＝（）A.{x|0≤x＜1} B.{x|0≤x＜2}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}2．已知函數(shù)是定義在R上的減函數(shù)，實數(shù)a，b，c滿足，且，若是函數(shù)的一個零點，則下列結論中一定不正確的是（）A. B.C. D.3．以下命題（其中，表示直線，表示平面）：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則其中正確命題的個數(shù)是A.0個 B.1個C.2個 D.3個4．“”是“”成立的條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分又不必要5．已知向量，，若，則實數(shù)的值為（）A.或 B.C. D.或36．已知點是第三象限的點，則的終邊位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7．關于的不等式的解集為，，，則關于的不等式的解集為（）A. B.C. D.8．在四棱錐中，平面，中，，，則三棱錐的外接球的表面積為A. B.C. D.9．下列關于向量的敘述中正確的是（）A.單位向量都相等B.若，，則C.已知非零向量，，若，則D.若，且，則10．半徑為1cm，圓心角為的扇形的弧長為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)的定義域為，當時，，若，則的解集為______12．等比數(shù)列中，，則___________13．直線,當變動時,所有直線都通過定點______.14．設函數(shù)fx=ex-1,x≥a-xx2-5x+6,x<a，則當時，15．等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M為AC的中點，沿BM把△ABC折成二面角，折后A與C的距離為1，則二面角C—BM—A的大小為_____________．16．函數(shù)的圖象關于原點對稱，則__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，是夾角為的兩個單位向量，且向量，求：，，；向量與夾角的余弦值18．（1）求函數(shù)的解析式；（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性，并用函數(shù)單調性定義證明；（3）當時，函數(shù)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍19．（1）若正數(shù)a，b滿足，求的最小值，并求出對應的a，b的值；（2）若正數(shù)x，y滿足，求的取值范圍20．設函數(shù)（1）若是偶函數(shù)，求k的值（2）若存在，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）設函數(shù)若在有零點，求實數(shù)的取值范圍21．已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求的解析式；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】先化簡集合N，再進行交集運算即得結果.【題目詳解】由于N＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，M＝{x|0≤x＜2}，所以M∩N＝{x|0≤x＜2}故選：B.2、B【解題分析】根據(jù)函數(shù)的單調性可得，再分和兩種情況討論，結合零點的存在性定理即可得出結論.【題目詳解】解：∵是定義在R上的減函數(shù)，，∴，∵，∴或，，，當時，，；當，，時，；∴是不可能的.故選：B3、A【解題分析】利用線面平行和線線平行的性質和判定定理對四個命題分別分析進行選擇【題目詳解】①若a∥b，b?α，則a∥α或a?α，故錯；②若a∥α，b∥α，則a，b平行、相交或異面，故②錯；③若a∥b，b∥α，則a∥α或a?α，故③錯；④若a∥α，b?α，則a、b平行或異面，故④錯正確命題個數(shù)為0個，故選A.【題目點撥】本題考查空間兩直線的位置關系，直線與平面的位置關系，主要考查線面平行的判定和性質.4、B【解題分析】求出不等式的等價條件，結合不等式的關系以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【題目詳解】由不等式“”，解得，則“”是“”成立的必要不充分條件即“”是“”成立的必要不充分條件，故選B【題目點撥】本題主要考查了充分條件和必要條件的判斷，其中解答中結合不等式的關系是解決本題的關鍵，著重考查了推理與判斷能力，屬于基礎題.5、A【解題分析】先求的坐標，再由向量垂直數(shù)量積為0，利用坐標運算即可得解.【題目詳解】由向量，，知.若，則，解得或-3.故選A.【題目點撥】本題主要考查了向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.6、D【解題分析】根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號即可求出【題目詳解】因為點是第三象限的點，所以，故的終邊位于第四象限故選：D7、A【解題分析】根據(jù)題意可得1，是方程的兩根，從而得到的關系，然后再解不等式從而得到答案.【題目詳解】由題意可得，且1，是方程的兩根，為方程的根，，則不等式可化為，即，不等式的解集為故選:A8、B【解題分析】由題意，求長，即可求外接圓半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積.【題目詳解】由題意中，，，則是等腰直角三角形，平面可得，，平面，，則的中點為球心設外接圓半徑為，則，設球心到平面的距離為，則，由勾股定理得，則三棱錐的外接球的表面積故選：【題目點撥】本題考查三棱錐外接球表面積的求法，利用球的對稱性確定球心到平面的距離，培養(yǎng)空間感知能力，中等題型.9、C【解題分析】A選項：單位向量方向不一定相同，故A錯誤；B選項：當時，與不一定共線，故B錯誤；C選項：兩邊平方可得，故C正確；D選項：舉特殊向量可知D錯誤.【題目詳解】A選項：因為單位向量既有大小又有方向，但是單位向量方向不一定相同，故A錯誤；B選項：當時，，，但與不一定共線，故B錯誤；C選項：對兩邊平方得，，所以，故C正確；D選項：比如：，，，所以，，所以，但，故D錯誤.故選：C.10、D【解題分析】利用扇形弧長公式直接計算即可.【題目詳解】圓心角化為弧度為，則弧長為.故選：D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##【解題分析】構造，可得在上單調遞減．由，轉化為，利用單調性可得答案【題目詳解】由，得，令，則，又，所以在上單調遞減由，得，因為，所以，所以，得故答案為：.12、【解題分析】等比數(shù)列中，由可得．等比數(shù)列，構成以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以【題目點撥】若數(shù)列為等比數(shù)列，則構成等比數(shù)列13、(3,1)【解題分析】將直線方程變形為,得到,解出,即可得到定點坐標.【題目詳解】由,得,對于任意,式子恒成立,則有,解出,故答案為:(3,1).【題目點撥】本題考查直線過定點問題,直線一定過兩直線、的交點.14、①.②.【解題分析】當時得到，令，再利用定義法證明在上單調遞減，從而得到，令，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質得到函數(shù)的單調性，即可求出的最小值，即可得到的最小值；分別求出與的零點，根據(jù)恰有兩個零點，即可求出的取值范圍；【題目詳解】解：當時，令，，設且，則因為且，所以，，所以，所以，所以在上單調遞減，所以，令，，函數(shù)在定義域上單調遞增，所以，所以的最小值為；對于，令，即，解得，對于，令，即，解得或或，因為fx=ex-1,x≥a-xx2-5x+6,x<a恰有兩個零點，則和一定為的零點，不為的零點，所以，即；故答案為：；；15、【解題分析】分別計算出的長度,然后結合二面角的求法,找出二面角,即可.【題目詳解】結合題意可知,所以,而發(fā)現(xiàn)所以,結合二面角找法:如果兩平面內兩直線分別垂直兩平面交線,則該兩直線的夾角即為所求二面角,故為所求的二面角,為【題目點撥】本道題目考查了二面角的求法,尋求二面角方法:兩直線分別垂直兩平面交線,則該兩直線的夾角即為所求二面角16、【解題分析】根據(jù)余弦型函數(shù)的對稱性可得出結果.【題目詳解】函數(shù)的圖象關于原點對稱，則.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】根據(jù)，是夾角為的兩個單位向量即可求出，然后利用向量的模的公式和數(shù)量積公式即可求得結果;根據(jù)即可求出向量夾角的余弦值【題目詳解】是夾角為的兩個單位向量；；，，；；【題目點撥】本題考查向量模的公式，考查向量數(shù)量積計算公式以及向量夾角的余弦公式，屬于基礎題18、（1）；（2）單調遞減；（3）【解題分析】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，則，再用待定系數(shù)法即可求出；（2）作差法：任意的兩個實數(shù)，證明出；（3）要使則試題解析：（1）所以（2）由（1）問可得在區(qū)間上是單調遞減的證明：設任意的兩個實數(shù)又,，在區(qū)間上是單調遞減的;（3）由（2）知在區(qū)間上的最小值是要使則考點：1、待定系數(shù)法；2、函數(shù)的單調性；3、不等式恒成立問題.19、（1）當且僅當時，取得最小值為18；（2）【解題分析】（1）化簡得，再利用基本不等式求最值；（2）由題得，再解一元二次不等式得解.【題目詳解】（1）原式，當且僅當時取等號，所以最小值為18.（2），即，即，解得，所以，當且僅當取等號所以的取值范圍為20、（1），（2），（3）【解題分析】（1）由偶函數(shù)的定義可得，，列方程可求出的值；（2）由，可得，分離出，換元后利用二次函數(shù)的性質求解即可；（3）結合已知條件，代入可求，然后結合在有零點，利用換元法，結二次函數(shù)的性質求解.【題目詳解】解：（1）因為是偶函數(shù)，所以，即，，解得；（2）由，可得，則，即存在，使成立，令，則，因為，所以，令，則對稱軸為直線，所以在單調遞增，所以時，取得最大值，即，所以，即實數(shù)m的取值范圍為；（3），則，所以，設，當時，函數(shù)為增函數(shù)，則，若在上有零點，即在上有解，即，，因為函數(shù)在為增函數(shù)，所以，所以取值范圍為.【題目點撥】關鍵點點睛：此題考查函數(shù)奇偶性的應用，考查二次函數(shù)性質的應用，解題的關鍵是將轉化為，然后利用換元法結合二次函數(shù)的性質求解即可，考查數(shù)學轉化思想，屬于中檔題21、（1）；（2）.【解題分析】（1）由是奇函數(shù)可得，從而可求得值，即可求得的解析式；（2）由復合函數(shù)的單調性判斷在上單調遞減，結合函數(shù)的奇偶性將不等式恒成立問題轉化為，令，利用二次函數(shù)的性