電磁場第22章資料課件

上節(jié)復(fù)習(xí)電場強度E

：

(V/m)。意義：單位長度上的電壓降??！電位移矢量D

：

(C/m2)。意義：單位面積上的電荷量??！磁感應(yīng)強度B

：

(N)。意義：電荷垂直入射到磁場中時，單位正電荷所受的電場力?。。▎挝?T)磁場強度矢量H

：

(A/m)。意義：單位長度上的電流！！則位移電流密度定義為：恒定電流的安培環(huán)路定理全電流定律位移電流的定義：揭示：位移電流同樣會產(chǎn)生磁場。實質(zhì)：變化的電場也會產(chǎn)生磁場。2、電磁感應(yīng)定律（實驗定律）

電磁感應(yīng)現(xiàn)象：當穿過線圈所包圍面積的磁通量隨時間變化時，線圈內(nèi)會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。它的大小等于磁通量隨時間的變化率，它的方向是阻止磁通變化的方向。電磁感應(yīng)的表達式：為感應(yīng)電動勢，單位為V。是磁通變化率，單位為Wb/s。感應(yīng)電勢（閉合線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流）結(jié)論：隨時間變化的磁場會產(chǎn)生電場，而且磁通量的隨時間的變化率愈大，則感應(yīng)電動勢愈大、電場愈強；反之則愈弱。穿過一個曲面S的磁通量為

S面是以封閉曲線l為周界的任意曲面，其方向與封閉有向曲線l呈右手螺旋關(guān)系。由電磁感應(yīng)定律得：通常我們?nèi)面上磁通量的變化是由磁場變化引起的，保持S不隨時間變化，則有：麥克斯韋把這個實驗定律推廣到包括真空在內(nèi)的任意介質(zhì)中，即認為變化磁場引起的感應(yīng)電場的現(xiàn)象不僅發(fā)生在導(dǎo)體回路中，而且在一切介質(zhì)中，只要有變化的磁場就會產(chǎn)生感應(yīng)電場。3高斯定律

在普通物理中討論了靜電場的高斯定律，即式中，表示閉合曲面上的面積分，中的V為閉合曲面S包圍的體積的體積分，為閉合曲面S包圍的自由電荷的代數(shù)和。ρ為自由電荷體密度，電荷是產(chǎn)生電場的重要原因之一【例1-2】已知一點電荷帶電量為+q，求距該點電荷r處的，若周圍介質(zhì)為空氣，求電場強度。麥克斯韋：將這個定律推廣到任意電場，即不僅適用于靜電場，面且適用于時變電場。4磁通連續(xù)性定律在普通物理中討論了恒流磁場的磁通連續(xù)性原理，即它表明兩點：1）磁感應(yīng)線永遠是連續(xù)的，閉合的，無頭無尾的；2）與高斯定律相比，表明磁荷不存在。這個定律可推廣到任意磁場，即不僅適用于恒流磁場，而且適用于時變磁場。

(2-1-1a)

(2-1-1b)

(2-1-1c)

(2-1-1d)2.1.1麥克斯韋方程組的積分形式

2.1麥克斯韋方程組麥克斯韋方程的物理意義如下：

第一方程為全電流定律：電流是產(chǎn)生磁場的唯一原因，（這里的電流是全電流，包括傳導(dǎo)電流和位移電流；第二方程為法拉第定律：時變磁場是產(chǎn)生電場的一個原因（時變的磁場是電場漩渦源）；第三方程為磁通連續(xù)性原理：磁場是恒連續(xù)、閉合、無頭無尾的；第四方程為高斯定律：自由電荷是產(chǎn)生電場的另一原因（自由電荷是電場的散度源）。把方程（1）、（2）結(jié)合起來便得出如下結(jié)論：時變磁場將激發(fā)時變電場，而時變電場又將激發(fā)時變磁場，電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)（預(yù)言電磁波的存在）。1887年由德國年輕學(xué)者赫茲的實驗所證實電磁波的存在。1895年意大利工程師馬可尼和俄羅斯物理學(xué)家波波夫分別成功地進行了無線電報傳送實驗，開創(chuàng)了人類無線電應(yīng)用的新紀元。應(yīng)用矢量分析中的散度定理和旋度定理，即可得麥克斯韋方程組的微分形式。2.1.2麥克斯韋方程組的微分形式

(2-1-7a)

(2-1-7b)

(2-1-7c)

(2-1-7d)重要說明：積分形式：應(yīng)用于空間中的某一區(qū)域電磁場問題的求解。（如：邊界條件問題）微分形式：應(yīng)用于連續(xù)空間中任意空間場點的電磁問題求解。2.1.3本構(gòu)關(guān)系

用E、D、B、H四個場量寫出的方程稱為麥克斯韋方程的非限定形式，因為它沒有限定D與E之間及B與H之間的關(guān)系，故適用于任何媒質(zhì)。

對于線性和各向同性媒質(zhì)，有

(2-1-13a)

(2-1-13b)

(2-1-13c)歐姆定律的微分形式式(2-1-13)稱為媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系，式中ε

是介電常數(shù)，單位是法拉每米(F/m)；εr是相對介電常數(shù)；ε0是真空的介電常數(shù)，其取值為

(2-1-14)

式中μ是磁導(dǎo)率，單位是亨利每米(H/m);

μr是相對磁導(dǎo)率;μ0是真空的磁導(dǎo)率,取值為

(2-1-15)

ε、

μ、σ

稱為媒質(zhì)參數(shù)，通常研究的媒質(zhì)是均勻、線性、各向同性的媒質(zhì)，其定義如下：

(1)若媒質(zhì)參數(shù)與位置無關(guān)，稱為均勻媒質(zhì)；

(2)若媒質(zhì)參數(shù)與場強大小無關(guān)，稱為線性媒質(zhì)；

(3)若媒質(zhì)參數(shù)與場強方向無關(guān)，稱為各向同性媒質(zhì)，反之稱為各向異性媒質(zhì)；

(4)若媒質(zhì)參數(shù)與場強頻率無關(guān)，稱為非色散媒質(zhì)，反之稱為色散媒質(zhì)。

(5)σ=0的介質(zhì)稱為理想介質(zhì)；

(6)σ→∞的導(dǎo)體稱為理想導(dǎo)體；

(7)σ

介于0和∞之間的媒質(zhì)稱為導(dǎo)電媒質(zhì)或有耗媒質(zhì)。利用本構(gòu)關(guān)系，對于均勻、線性、各向同性媒質(zhì)，麥克斯韋方程組可用E和H兩個場量如下表示

(2-1-16a)

(2-1-16b)

(2-1-16c)

(2-1-16d)

解

對麥克斯韋第一方程(2-1-16a)兩邊取散度，并將第四方程(2-1-16d)代入，可得

其解為

例2-1-1

證明導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)部電荷密度ρ=0。

對于良導(dǎo)體，其很大，所以在很短的時間，導(dǎo)體內(nèi)部的電荷密度就衰減的很小，可近似為零。2.2電磁場的邊界條件邊界：在電磁場中，空間常常存在著兩種或兩種以上的不同媒質(zhì)連接區(qū)域（ε、μ、σ有突變）-------邊界面。邊界條件：兩種媒質(zhì)分界面處電磁場應(yīng)滿足的關(guān)系。分析方法：應(yīng)用麥克斯韋方程的積分形式導(dǎo)出邊界條件。邊界的方向問題

邊界上的電場、磁場垂直于分界面的法向分量，用下標n表示，法向單位矢量n的方向總是從第二媒質(zhì)指向第一媒質(zhì)。平行于分界面的切向分量，用下標t表示。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2.1E的切向邊界條件

由麥克斯韋積分形式：電磁感應(yīng)定律作閉合線積分

長邊Δl與界面平行，緊貼邊界，短邊Δh與界面垂直，Δh

0。圖2-2-1E的切向邊界條件E1tE2tE1nE2n公式右邊：

由于是有限量，當Δh→0時，ΔS=ΔhΔl

→0

，

公式的左邊：(2-2-1)再由左邊=右邊，得：上節(jié)復(fù)習(xí)麥克斯韋方程組的積分形式：

本構(gòu)成方程：

σ為煤質(zhì)的電導(dǎo)率（S/m），σ=0的介質(zhì)稱為理想介質(zhì)；σ→∞的導(dǎo)體稱為理想導(dǎo)體；

σ

介于0和∞之間的媒質(zhì)稱為導(dǎo)電媒質(zhì)或有耗媒質(zhì)。麥克斯韋方程組的微分形式：

電磁場的邊界條件邊界面邊界切向與法向麥克斯韋方程組積分形式

邊界上的E由電磁感應(yīng)定律:作閉合線積分

長邊Δl與界面平行，緊貼邊界，短邊Δh與界面垂直，Δh

0。左邊：(2-2-1)邊界上的E右邊：由麥克斯韋積分形式：全電流應(yīng)定律作閉合線積分

長邊Δl與界面平行，緊貼邊界，短邊Δh與界面垂直，Δh

0。2.2.2H的切向邊界條件

圖2-2-2H的切向邊界條件H1tH2tH1nH2n公式的左邊：公式右邊(第二項):

由于是有限量，當Δh→0時，ΔS=ΔhΔl

→0

，當分界面上有傳導(dǎo)電流時：

電流分布在邊界面導(dǎo)體表面處極薄一層內(nèi)，設(shè)分界面上的單位寬度上傳導(dǎo)電流面密度JS(A/m)的方向垂直于紙面向內(nèi)。

則有小回路包圍電流：I=JSΔl，公式右邊(第一項)：邊界上是否有傳導(dǎo)電流？當分界面上沒有電流時：右邊=0再由左邊=右邊，得：右邊=JSΔl再由左邊=右邊，得：H1t－H2t=JS

(2-2-2)2.2.3邊界上的D

由麥克斯韋積分形式：高斯定律作閉合面積分

上下底面ΔS與界面平行，緊貼邊界，圓柱高度Δh與界面垂直，Δh

0。圖2-2-3法向邊界條件D1tD2tD1nD2n公式左邊當有電荷分布時，因Δh→0時，定義分界面上自由電荷的面密度，單位是(C/m2)，公式右邊當無電荷分布時，右邊=0

再由左邊=右邊，得：

D1n－D2n=0

(2-2-3’)再由左邊=右邊，得：

D1n－D2n=ρS

(2-2-3)

右邊等于2.2.4邊界上的B

由麥克斯韋積分形式：磁通連續(xù)性定律作閉合面積分

上下底面ΔS與界面平行，緊貼邊界，圓柱高度Δh與界面垂直，Δh

0。同理，左邊右邊=0

再由左邊等于右邊，得：

B1n=B2n

(2-2-4)結(jié)論：

E1t=E2t

H1t-H2t=JS（JS≠0表示邊界上有傳導(dǎo)電流分布，

JS=0表示邊界上無傳導(dǎo)電流）

D1n=D2n=ρS

（ρS

≠0表示邊界上有自由電荷分布，

ρS

=0表示邊界上無）

B1n=B2n

用矢量形式怎么表達該邊界條件？為什么有電流、電荷分布就不連續(xù)？

1)兩種理想介質(zhì)的分界面

此時兩種媒質(zhì)的電導(dǎo)率為零，在分界面上一般不存在自由電荷和面電流，即ρS=0、JS=0，則邊界條件為

H1t=H2t

(2-2-5a)

E1t=E2t

(2-2-5b)

B1n=B2n

(2-2-5c)

D1n=D2n

(2-2-5d)是否E1=E2？2)理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體的分界面設(shè)媒質(zhì)1為理想介質(zhì)(σ1=0)，媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體(σ2→∞)，理想導(dǎo)體中電場E2=0，磁場H2=0此時的邊界條件為

H1t=JS

(2-2-6a)

E1t=0

(2-2-6b)

B1n=0

(2-2-6c)

D1n=ρs

(2-2-6d)2.3時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示時諧電磁場：隨時間按正弦(或余弦)規(guī)律作簡諧變化的電磁場，也稱為正弦電磁場。時諧電磁場在實際中獲得了最廣泛的應(yīng)用，廣播、電視和通信的載波，都是正弦電磁波。一些非簡諧的電磁波可以通過傅里葉變換變換成正弦電磁波來研究，所以研究時諧電磁場問題是研究時變電磁場的基礎(chǔ)。知識基礎(chǔ)正弦電信號瞬時值：復(fù)數(shù)表示形式：其中，為復(fù)振幅，為正弦時間因子。瞬時值與復(fù)數(shù)形式之間的關(guān)系：正弦信號的表示形式知識基礎(chǔ)矢量的表示形式A=axAx+ayAy+azAzA(x,y,z)=axAx

(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z)A(x,y,z,t)=axAx

(x,y,z,t)+ayAy(x,y,z,t)+azAz(x,y,z,t)在空間有分布：任一矢量：該矢量在空間分布隨時間變化：時諧電磁場復(fù)數(shù)表示形式

在直角坐標系中，隨時間作簡諧變化的電場強度的三個分量的形式：E(x,y,z,t)=axEx

(x,y,z,t)+ayEy(x,y,z,t)+azEz(x,y,z,t)

(2-3-1a)

(2-3-1b)

(2-3-1c)因為是時諧場，三個分量的形式可以用余弦形式表示為：用復(fù)數(shù)的實部表示為

(2-3-2a)

(2-3-2b)

(2-3-2c)式中，；Re表示復(fù)數(shù)取實部；、

、稱為復(fù)數(shù)振幅，故

(2-3-3)時諧電場矢量對時間的一階、二階導(dǎo)數(shù)可用復(fù)數(shù)表示為

(2-3-4a)

(2-3-4b)下面導(dǎo)出復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組。將場矢量都按上述規(guī)則表示，則麥克斯韋第一方程(2-1-7a)可寫成

式中，是對空間坐標的微分運算，它與取實部符號Re可調(diào)換運算順序。省略等式兩邊的Re，同時為了簡便，約定不寫出時間因子ejωt，可得麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式為

(2-3-5a)同理可得

(2-3-5b)

(2-3-5c)

(2-3-5d)

例2-3-1

在無源無耗的理想介質(zhì)中，試由麥克斯韋方程導(dǎo)出時諧電磁場滿足的復(fù)數(shù)形式的波動方程

(2-3-6a)

(2-3-6b)

其中

(2-3-6c)

解

在無源無耗的理想介質(zhì)中，復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組是

對麥克斯韋第二方程兩邊取旋度，得

利用矢量恒等式，將麥克斯韋第一和第四方程代入上式，整理得

電磁場是具有能量的，如何表示電磁的能量？？

2.4坡印廷定理坡印廷矢量定義：S的單位為瓦特每平方米(W/m2)表示單位時間內(nèi)通過單位面積的能量，S也稱為功率流密度矢量或能流密度矢量，其方向就是功率流的方向。坡印廷定理：左邊單位時間流入封閉區(qū)域的能量。

右邊第一項是體積τ內(nèi)每秒電場能量和磁場能量的增加量，

第二項是體積τ內(nèi)焦耳熱損耗功率(即單位時間內(nèi)以熱能形式損耗在體積內(nèi)的能量)。

符合能量守恒原理。對于時諧電磁場，坡印廷定理可以用復(fù)數(shù)表示，計算一周的平均功率流密度矢量更有意義，下面來求坡印廷矢量的平均值Sav。時諧電磁場用復(fù)數(shù)表示為

式中“*”表示取共軛。坡印廷矢量瞬時值為

上式第一項與時間無關(guān)，第二項在一個周期內(nèi)的積分等于零，因此在一個周期T=2π/ω內(nèi)坡印廷矢量的平均值為

(2-4-5)

稱為平均坡印廷矢量。令復(fù)坡印廷矢量為

(2-4-6)下面從麥克斯韋方程出發(fā)，導(dǎo)出時變場中電磁能量的守恒關(guān)系——坡印廷定理。

用H點乘式(2-1-16b)，用E點乘式(2-1-16a)，將所得的兩式相減，可得

(2-4-1)

利用矢量恒等式

由E·E=E2、H·H=H2的關(guān)系，式(2-4-1)可寫為

(2-4-2)

將上式兩邊對封閉面S所包圍的體積τ進行積分，并利用散度定理，同時改變等式兩邊的符號，可得

(2-4-3)

例2-4-1

設(shè)同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a、b，它們都是理想導(dǎo)體，兩導(dǎo)體間填充介電常數(shù)為ε、磁導(dǎo)率為μ0的理想介質(zhì)，內(nèi)外導(dǎo)體分別通過電流I和－I，其間電壓為U。

(1)試求同軸線內(nèi)的坡印廷矢量；(2)證明內(nèi)外導(dǎo)體間向負載傳送的功率為UI。

解

(1)電場垂直于導(dǎo)體表面沿徑向，其大小沿圓周方向是軸對稱的，設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體上單位長度的帶電量分別為ρl和－ρl，應(yīng)用高斯定理，沿同軸線軸線方向取長度為l,半徑為ρ(a<ρ<b)的圓柱高斯面，可得

內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為

故

由安培環(huán)路定律得

故坡印廷矢量為

(2)傳輸功率為

該例題說明傳輸線所傳輸?shù)墓β势鋵嵤峭ㄟ^內(nèi)外導(dǎo)體間的電磁場傳送的，導(dǎo)體結(jié)構(gòu)只起著引導(dǎo)的作用。2.5.1位函數(shù)的定義

由麥克斯韋第三方程，又由于

，因而可以引入矢量位函數(shù)A

A的單位是韋伯每米(Wb/m)。將上式代入麥克斯韋第二方程，得

2.5電磁場的位函數(shù)(2-5-1)即

(2-5-2)

這說明，

是無旋場，因而可以引入標量位函數(shù)

(2-5-3)

即

(2-5-4)2.5.2達朗伯方程

下面推導(dǎo)位函數(shù)滿足的方程。將式(2-5-1)和式(2-5-4)代入麥克斯韋第一方程，得

(2-5-5)

利用矢量恒等式，上式簡化為

(2-5-6)要唯一地確定矢量位A，除規(guī)定它的旋度外，還必須規(guī)定它的散度，為了使上式簡化，可以規(guī)定

(2-5-7)

上式稱為洛倫茲條件，代入式(2-5-6)，得

(2-5-8)對于標量位函數(shù)

，把式(2-5-4)代入第四麥克斯韋方程，并利用洛侖茲條件，可得

(2-5-9)

式(2-5-8)和式(2-5-9)稱為達朗伯方程，也稱為A和

的非其次波動方程。采用洛侖茲條件，矢量位A僅由電流分布J決定，標量位

僅由電荷分布ρ決定，這對求解方程是特別有利的。當然，