2023-2024學(xué)年云南省昆明重點(diǎn)中學(xué)高三（上）第一次摸底數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年云南省昆明重點(diǎn)中學(xué)高三（上）第一次摸底數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.若集合A={x|?x2+4x?4≥0}，集合B={x∈N?A.{1,3,4} B.{0,1,3,4} C.{3,4} D.?2.已知復(fù)數(shù)z=3?i1+i，則|zA.2 B.3 C.53.在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC所在直線上，BC=2CD，若AD=xABA.x=12，y=?12 B.x=?12，y=32

C.4.沙漏也叫做沙鐘，是一種測(cè)量時(shí)間的裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱(chēng)為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)相同的圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm，細(xì)沙全部在上部，其高度為圓錐高度的23.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，則該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是(結(jié)果精確到整數(shù)，π≈3.14)A.817s B.837s C.1240s D.1256s5.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,14)，如果P(ξ≤32A.0.3413 B.0.6826 C.0.1581 D.0.07946.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，0<φ<2π)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)是(2,2)，由這個(gè)最高點(diǎn)到相鄰的最低點(diǎn)圖象與x軸的交點(diǎn)為(6,0)，則f(x)=A.2sin(π4x+π4)7.設(shè)a=ln22，b=ln33，c=A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<a<c8.已知正四棱錐的外接球半徑R=1，則該正四棱錐的體積的最大值為(

)A.1627 B.3281 C.6481二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A∈l，線段AF交拋物線C于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作l的垂線，垂足為H，若FA=3FBA.|BH|=53 B.|AF|=410.已知函數(shù)f(x)=ex?e?x+sinx，若f(t)+f(1?3t)<0A.12 B.1 C.2 D.11.如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB，EA.D1，F(xiàn)，B，E四點(diǎn)共面

B.直線B1E與直線BF所成的角為90°

C.直線B1E與平面FD1C1所成的角為90°

12.函數(shù)f(x)=lnx圖象上一點(diǎn)P到直線y=2x的距離可以是(

)A.22 B.32 C.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.x(x?2x)514.已知函數(shù)f(x)=axx+2，曲線y=f(x)在點(diǎn)(?1,f(?1))處的切線l垂直于直線x+2y?1=0，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．15.已知點(diǎn)A(?3,0)，B(3,0)，C(?1,0)，點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|=2|PB|，則點(diǎn)P到點(diǎn)C距離的最大值為_(kāi)_____．16.已知橢圓E：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為23，與坐標(biāo)軸不垂直的直線l過(guò)F1且與橢圓E交于A四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，其前n項(xiàng)和為Sn，且an=Sn+Sn?1(n≥2)．

(1)求S18.(本小題12.0分)

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF//AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)．

(1)證明：AG⊥平面ABCD；

(2)線段AC上是否存在一點(diǎn)M，使MG//平面ABF？若存在，求出MCAC的值；若不存在，說(shuō)明理由．19.(本小題12.0分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且3acosB=2c，c=1．

(1)證明：tanA=2tanB；

(2)若a2+b2=20.(本小題12.0分)

2023年1月1日起新修訂的《中華人民共和國(guó)體育法》正式施行，這對(duì)于引領(lǐng)我國(guó)體育事業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，推進(jìn)體育強(qiáng)國(guó)和健康中國(guó)建設(shè)具有十分重要的意義.某學(xué)校為調(diào)查學(xué)生性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，在全校范圍內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100名作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到了如圖所示的等高堆積條形圖：

(1)根據(jù)等高堆積條形圖，填寫(xiě)下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷是否可以認(rèn)為該校學(xué)生的性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián)；性別是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)合計(jì)是否男生女生合計(jì)(2)將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生，設(shè)其中喜歡排球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的人數(shù)為X，求使得P(X=k)取得最大值時(shí)的k(k∈N?)值．

附：x2α0.0500.0100.001x3.8416.63510.82821.(本小題12.0分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，若|PF1|?|PF2|=233b，且雙曲線焦距為422.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=(x?a)2lnx，a∈R．

(1)若f′(1)=0，求a；

(2)若a∈(1,e)，f(x)的極大值大于b，證明：3答案和解析1.【答案】A

【解析】解：集合A={x|?x2+4x?4≥0}={2}，集合B={x∈N?||x?2|≤2}={1,2,3,4}，

∴B∩(?RA)={1,3,4}．

故選：A2.【答案】D

【解析】解：復(fù)數(shù)z=3?i1+i=(3?i)(1?i)(1+i)(1?i)=2?4i2=1?2i，

∴z?=1+2i，

3.【答案】B

【解析】解：因?yàn)锽C=2CD，

所以AD=AB+BD=AB+32BC=AB+32(4.【答案】B

【解析】解：∵沙漏中的細(xì)沙對(duì)應(yīng)的圓錐底面半徑為23×3=2，高為6×23=4，

∴細(xì)沙體積為13×π×22×4=163π(cm5.【答案】A

【解析】解：∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,14)，P(ξ≤32)=0.8413，

∴P(12<ξ≤1)=P(1≤ξ<6.【答案】C

【解析】解：由于圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)是(2,2)，且A>0，

∴A=2，依題意知，2πω=16，

∴ω=π8．

又圖象經(jīng)過(guò)(2,2)，

∴2sin(π4+φ)=2，0<φ<2π，

∴π4+φ=π7.【答案】C

【解析】解：a=ln22，b=ln33，c=1e=lnee，

令f(x)=lnxx，得f′(x)=1?lnxx2，

∴當(dāng)x∈(0,e)時(shí)，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí)，f(x)為減函數(shù)，

則f(e)最大，而f(2)=ln22=ln68，f(3)=ln33=8.【答案】C

【解析】解：設(shè)正四棱錐P?ABCD的底面中心為點(diǎn)O，如圖所示：

設(shè)正四棱錐P?ABCD的高為?，即PO=?，再設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，

正四棱錐P?ABCD的外接球球心為點(diǎn)M，則點(diǎn)M在直線PO上，

∵正四棱錐P?ABCD的外接球半徑為R=1，∴OM=|??1|，

由正方形的幾何性質(zhì)可得AO=12AC=22a，

由勾股定理可得OA2+OM2=AM2，即(22a)2+|??1|2=1，整理可得a2=4??2?2，

∴VP?ABCD=13a2?=13(4??2?2)?=4?9.【答案】BC

【解析】解：已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A∈l，線段AF交拋物線C于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作l的垂線，垂足為H，若FA=3FB，

拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線l為x=?1，

設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)M，

∵FA=3FB，由△ABH與△AFM相似得：|BH||MF|=|AB||AF|=23，

∵|MF|=2，∴|BH|=23×2=43，即|BH|=43，故A錯(cuò)誤；10.【答案】AD

【解析】解：根據(jù)題意，f(x)=ex?e?x+sinx，其定義域?yàn)镽，

f(?x)=e?x?ex+sin(?x)=?(ex?e?x+sinx)=?f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，

f′(x)=ex+e?x+cosx≥2ex?e?x+cosx=2+cosx>0，則f(x)在R11.【答案】ACD

【解析】解：設(shè)AA1=2AB=2，

對(duì)A選項(xiàng)，如圖，取DD1的中點(diǎn)G，連接GE，GA，D1E，

又E、F分別為CC1和AA1的中點(diǎn)，∴GE//DC//AB，且GE=DC=AB，

∴四邊形ABEG為平行四邊形，∴AG//BE，AG=BE，

∵AF//D1G，AF=D1G，∴四邊形AFD1G為平行四邊形，

∴AG//DF1，AG=DF1，

∴D1F//BE，D1F=BE，四邊形BFD1E為平行四邊形，

∴D1，F(xiàn)，B，E四點(diǎn)共面，故A正確；

對(duì)B選項(xiàng)，∵四邊形BFD1E為平行四邊形，∴BF//D1E，

∴∠B1ED1或其補(bǔ)角為直線B1E與直線BF所成的角，

∵B1E=B1D1=D1E=2，∴∠B1ED1=60°，

∴直線B1E與直線BF所成的角為60°，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C選項(xiàng)，取BB1的中點(diǎn)H，連接FH，HE，HC1，

∵FH//A1B1//D1C1，F(xiàn)H=A1B1=D1C1，

∴四邊形FHC1D1為平行四邊形，F(xiàn)，H，C1，D1四點(diǎn)共面，

∵四邊形HEC1B1為正方形，∴B1E⊥HC1，

∵D1C1⊥平面BCC1B1，B1E?平面12.【答案】BC

【解析】解：如圖所示：

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，由圖可知，當(dāng)曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線與直線y=2x平行時(shí)，

點(diǎn)P到直線y=2x的距離取最小值，

由f(x)=lnx，得f′(x)=1x，由f′(t)=1t=2，可得t=12，則f(12)=?ln2，

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,?ln2)，

點(diǎn)(12,?ln2)到直線2x?y=0的距離為d=1+ln222+(?1)2=5(1+ln2)5，

∴函數(shù)f(x)=lnx圖象上一點(diǎn)P到直線y=2x的距離的取值范圍是[5(1+ln2)513.【答案】?80

【解析】解：二項(xiàng)式(x?2x)5的展開(kāi)式通項(xiàng)Tr+1=C5r?x5?r?(?2)r?x?r=C514.【答案】1

【解析】解：因?yàn)閒(x)=axx+2，則f′(x)=a(x+2)?ax(x+2)2=2a(x+2)2，所以，f′(?1)=2a，

因?yàn)橹本€x+2y?1=0的斜率為?12，

曲線y=f(x)在點(diǎn)(?1,f(?1))處的切線l垂直于直線x+2y?1=0，

所以2a×(?1215.【答案】10

【解析】解：設(shè)P(x,y)，

∵|PA|=2|PB|，

∴(x+3)2+y2=4[(x?3)2+y2]，化簡(jiǎn)得(x?5)2+y2=16．

則點(diǎn)P的軌跡是以D(5,0)為圓心，半徑等于4圓，

16.【答案】6【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)P為線段AF2的中點(diǎn)，∠ABF2=∠F2PB=90°，則|AB|=|BF2|，

所以△ABF2為等腰直角三角形，

設(shè)|AB|=|BF2|=m(m>0)，則|AF2|=2m，

由橢圓的定義可得|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=(2+2)m，

所以m=(4?22)a17.【答案】解：(1)∵an=Sn?Sn?1=Sn+Sn?1(n≥2)，

∴(Sn+Sn?1)(Sn?Sn?1)=Sn+Sn?1(n≥2)．

又Sn>0,Sn?1>0，∴Sn?Sn?1【解析】(1)利用an，Sn的關(guān)系，得Sn?Sn?1=1，可知數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列，即可求解；18.【答案】解：(1)證明：因?yàn)锳E=AF，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，所以AG⊥EF，

又因?yàn)镋F//AD，所以AG⊥AD，

由平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF?平面ABCD=AD，AG?平面ADEF，

所以AG⊥平面ABCD．

(2)由(1)得AG⊥平面ABCD，AD，AB?平面ABCD，所以AG⊥AD，AG⊥AB，

四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，所以AG、AD、AB兩兩垂直，

以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，如圖，

所以A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，

假設(shè)線段AC上存在一點(diǎn)M，使MG//平面ABF，

設(shè)AMAC=λ，則AM=λAC，

由AC=(4,4,0)，可得AM=(4λ,4λ,0)，

設(shè)AG=t(t>0)，則AG=(0,0,t),

所以MG=AG?AM=(?4λ,?4λ,t)，

F(0,?1,t),AF=(0,?1,t),AB=(4,0,0)，

設(shè)平面ABF的法向量為m=(x,y,z)，

AF?m=?y+t=0AB?m=4x=0，取m=(0,t,1),

由于MG//【解析】(1)直接利用面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直；

(2)利用題中的已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，首先假設(shè)存在點(diǎn)M，設(shè)AMAC=λ，求出平面ABF的法向量，進(jìn)一步利用線面平行建立等量關(guān)系，求解即可．19.【答案】解：(1)△ABC中，3acosB=2c，由正弦定理得3sinAcosB=2sinC，

∵A+B+C=π，∴C=π?(A+B)，

∴3sinAcosB=2sinC=2sin(A+B)=2sinAcosB+2cosAsinB，

∴sinAcosB=2cosAsinB，

∴tanA=2tanB．

(2)∵a2+b2=c2?105ab，

∴由余弦定理得，cosC=a2+b2?c22ab=?105ab2ab=?1010，

∵C∈(0,π)，cosC<0，∴C∈(π2,π)，sinC=1?cos2C=31010，

∴tanC=?3，即tan[π?(A+B)]=?3，則tan(A+B)=3，

∴tanA+tanB1?tanAtanB=3【解析】(1)由正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦公式求解；

(2)由余弦定理求出cosC，進(jìn)而得tanC=?3，即tan(A+B)=3，由兩角和的正切公式結(jié)合tanA=2tanB解得tanB，進(jìn)而得A=π4，由正弦定理求得a，由tanB=1220.【答案】解：(1)由等高堆積條形圖知，男生中喜歡排球運(yùn)動(dòng)的有100×0.3=30人，不喜歡排球運(yùn)動(dòng)的有70人，

女生中喜歡排球運(yùn)動(dòng)的有100×0.6=60人，不喜歡排球運(yùn)動(dòng)的有40人，

2×2列聯(lián)表為：性別是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)合計(jì)是否男生3070100女生6040100合計(jì)90110200χ2=200×(40×30?60×70)2100×100×110×90≈18.182>10.828=x0.001，

所以依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián)．

(2)由(1)知，喜歡排球運(yùn)動(dòng)的頻率90200=920,所以隨機(jī)變量X～B(50,920)，

【解析】(1)結(jié)合等高堆積條形圖寫(xiě)出列聯(lián)表，計(jì)算χ2即可判定；

(2)由題意知隨機(jī)變量X～B(50,92021.【答案】解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上