代數(shù)課程思想方法介紹課件

本科的代數(shù)類課程有三門：高等代數(shù)，近世代數(shù)和初等數(shù)論（暫且列入）．本次講座談?wù)劥鷶?shù)課的發(fā)展歷史思想方法和現(xiàn)代研究的方向．本科的代數(shù)類課程有三門：高等代數(shù)，近世代數(shù)和初等數(shù)論（暫1高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)一年級(jí)學(xué)生的專業(yè)基礎(chǔ)課，是進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的承上啟下的課程；近世代數(shù)課程則是進(jìn)一步研究學(xué)習(xí)近代數(shù)學(xué)的入門課程．代數(shù)課程在學(xué)習(xí)和掌握其中的基礎(chǔ)理論和基本方法的同時(shí)，更重要的是學(xué)習(xí)培養(yǎng)抽象思維，邏輯推理和空間直觀想像這三種基本的數(shù)學(xué)思維．高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)一年級(jí)學(xué)生的專業(yè)基礎(chǔ)課，是進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)的2代數(shù)學(xué)是以數(shù)、多項(xiàng)式﹑矩陣和它們的運(yùn)算，以及群﹑環(huán)﹑域和模等為研究對(duì)象的學(xué)科．簡(jiǎn)單地說，代數(shù)學(xué)是研究代數(shù)系統(tǒng)（帶有一些運(yùn)算的集合）的．下面從幾個(gè)問題談這門課程的幾個(gè)方面．代數(shù)學(xué)是以數(shù)、多項(xiàng)式﹑矩陣和它們的運(yùn)算，以及群﹑環(huán)﹑域和模3一．公理化方法公理化方法是數(shù)學(xué)演繹或數(shù)學(xué)思想方法的邏輯上的嚴(yán)謹(jǐn)化發(fā)展的結(jié)果，在數(shù)學(xué)理論中的概念定義和定理．命題的證明必須從一些已經(jīng)被大家熟知的概念和已公認(rèn)正確的結(jié)論出發(fā)，這些“約定”的概念為基本概念，“約定”公認(rèn)成立的結(jié)論成為公理．基本概念和公理組成的一個(gè)邏輯體系稱為某一理論的公理系統(tǒng)．基本概念公理命題定理理論體系邏輯推理一．公理化方法基本概念公命題定理理論邏輯推理4

典型的古典平面幾何﹑立體幾何

就是一個(gè)公理體系．最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w系是由希爾伯特在Euclid的《幾何原本》基礎(chǔ)之上完成的．希爾伯特的幾何公理體系：基本概念﹑點(diǎn)﹑直線和平面，三種關(guān)系：屬于，介于和合同于．第一組結(jié)合公理（關(guān)聯(lián)公理﹑從屬公理）共8條．典型的古典平面幾何﹑立體幾何5對(duì)于兩點(diǎn)A，B，存在通過這兩點(diǎn)的直線a；對(duì)于兩點(diǎn)A，B，至多存在一條直線通過這兩點(diǎn)；每條直線上至少有兩點(diǎn)至少存在三點(diǎn)不在同一直線上；對(duì)于不在同一直線上的三點(diǎn)A，B，C，存在通過三點(diǎn)的平面，在每個(gè)平面上至少有一個(gè)點(diǎn)．代數(shù)課程思想方法介紹課件6

對(duì)于不在同一直線上的三點(diǎn)A，B，C，至多有一個(gè)平面通過這三點(diǎn)；如果直線a和兩點(diǎn)A，B在平面上，那么直線a的每個(gè)點(diǎn)都在平面上；如果兩個(gè)平面，通過一點(diǎn)A，那么它們還通過另一個(gè)點(diǎn)B；至少存在四個(gè)不在同一平面上的點(diǎn)．對(duì)于不在同一直線上的三點(diǎn)A，B，C，至多7第二組順序公理，共4條．第三組合同公理，共5條．

第四組平行公理，只有一條．Ⅲ．如果a是任意直線，A是不在a上的一點(diǎn)，那么在a和A確定的平面上，只有一條直線通過A，且不與a相交．第二組順序公理，共4條．Ⅲ．如果a是任意直線，A是不8

第五組．連續(xù)公理，有2條．

公理化的三要素：完備性相容性獨(dú)立性

Hilbert在所著《幾何基礎(chǔ)》中從上述5組公理出發(fā)，純粹按照形式邏輯，不借助其它概念，方法和直觀，嚴(yán)格地推論出歐氏幾何的全部命題，使幾何學(xué)成為一純粹的邏輯演繹體系．第五組．連續(xù)公理，有2條．9

希爾伯特幾何公理體系成為一個(gè)典范促使數(shù)學(xué)公理化方法的形成，對(duì)20世紀(jì)的數(shù)學(xué)起了很大的推動(dòng)作用．歐氏幾何中的平行公理改成羅氏公理（改成過直線外的一點(diǎn)可以做兩條直線與該直線平行），就可以得到羅巴切夫幾何．?dāng)?shù)學(xué)公理化方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中也有體現(xiàn)，平面幾何和立體幾何都提出了基本概念和公理通過邏輯推理得到命題和定理．希爾伯特幾何公理體系成為一個(gè)典范促使數(shù)學(xué)公10

歐氏幾何是平面幾何和立體幾何．高等代數(shù)中的線性代數(shù)部分是Weyle于1918年用代數(shù)學(xué)中的向量空間（公理化）建立了幾何學(xué)的向量結(jié)構(gòu)．用集合論的觀點(diǎn)，用公理化方法建立向量空間的理論體系：向量空間線性相關(guān)，Ⅰ兩個(gè)運(yùn)算“+”，“”線性無關(guān)，坐標(biāo)，基．Ⅱ運(yùn)算法則①⑧維數(shù)，歐氏幾何是平面幾何和立體幾何．高等代數(shù)中的線性11

歐氏空間實(shí)數(shù)域上的向量空間，還有內(nèi)積<,>

長(zhǎng)度﹑兩向量的夾角，向量的正交性．高代課程中還有一些概念是直觀定義的，沒有嚴(yán)格公理化．如

歐氏空間12

公理化方法是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的思想方法，它深刻地影響了現(xiàn)代社會(huì)的思想觀念．社會(huì)科學(xué)中典型例子．（1）法制社會(huì)中的憲法﹑刑法以及各種法律文件是現(xiàn)代社會(huì)的公理體系，由此推理演繹出的法制法規(guī)條款每一次法庭判案都可看作是由這個(gè)公理體系所做的推理過程．公理化方法是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的思想方法，它深刻地影響13（2）現(xiàn)代選舉學(xué)是由造詣很高的數(shù)學(xué)家創(chuàng)立的數(shù)理理論．斯坦福大學(xué)教授阿羅（1922年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者）用公理化方法研究選舉法，證明了定理（阿羅不可能性定理）：絕對(duì)公平的選舉系統(tǒng)是不存在的．（2）現(xiàn)代選舉學(xué)是由造詣很高的數(shù)學(xué)家創(chuàng)立的數(shù)理理論．斯坦福大14

Hilbert的一個(gè)宏偉目標(biāo)是，將數(shù)學(xué)的全部理論公理化．但是奧地利數(shù)學(xué)家，，證明了任何形式化公理系統(tǒng)內(nèi)中不可判定命題的存在性．這就徹底讓Hilbert的計(jì)劃無法實(shí)現(xiàn)．哥維爾不完備性定理表明，任何形式系統(tǒng)內(nèi)不足以證明所有在系統(tǒng)中可以作出的判斷．體現(xiàn)在選舉學(xué)中就是阿羅不可能性定理．Hilbert的一個(gè)宏偉目標(biāo)是，將數(shù)學(xué)的全部理論公15二．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充和嚴(yán)格公理化定義代數(shù)在中學(xué)中的基本內(nèi)容之一是數(shù)的運(yùn)算．整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)，代數(shù)學(xué)中將這個(gè)體系完全建立起來了．二．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充和嚴(yán)格公理化定義代數(shù)在中學(xué)中的基16數(shù)的自然擴(kuò)充表：

正分?jǐn)?shù)

零正無理數(shù)

負(fù)數(shù)

數(shù)的自然擴(kuò)充表：正分?jǐn)?shù)零17

數(shù)的邏輯擴(kuò)充表：負(fù)元乘法逆元有理數(shù)基本列

18代數(shù)課程思想方法介紹課件19數(shù)系擴(kuò)充的方法、要求原則（1）新數(shù)系較原數(shù)系在保證運(yùn)算通行方面，功能更完備．（2）新數(shù)系的元素，以原有數(shù)系的元素為基礎(chǔ)，以某種方式構(gòu)作而成．（3）原有數(shù)系整個(gè)地“嵌入”新數(shù)系，作為其子系統(tǒng)．?dāng)?shù)系擴(kuò)充的方法、要求原則（1）新數(shù)系較原數(shù)系在保證運(yùn)算通行方20代數(shù)課程思想方法介紹課件21代數(shù)課程思想方法介紹課件22代數(shù)課程思想方法介紹課件23代數(shù)課程思想方法介紹課件24代數(shù)課程思想方法介紹課件25代數(shù)課程思想方法介紹課件26實(shí)數(shù)有理數(shù)無理數(shù)代數(shù)數(shù)超越數(shù)實(shí)數(shù)有理數(shù)無理數(shù)代數(shù)數(shù)超越數(shù)27三．代數(shù)方程的根式解和群中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及的古老數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容是解方程．一元二次方程

一元三次方程求根公式為三．代數(shù)方程的根式解和群中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及的古老數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容是28根為：其中為三次單位根，（卡爾達(dá)諾公式，1545年）根為：29四次方程歸結(jié)為兩個(gè)二次方程的求解．（有求根公式，根式解）四次方程30五次方程的根式解問題，經(jīng)過一百多年都沒有找到根式解公式．Abel（1802-1829）研究了一般情況，想證明高于四次的方程一般沒有根式解，但沒有最終證出．只證明一些特殊情況下的結(jié)論．伽羅華理論：伽羅華研究了這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)根式解的問題與根的對(duì)稱性有關(guān)系．五次方程的根式解問題，經(jīng)過一百多年都沒有找到根式解公式．31設(shè)不可約的，為其所有根．構(gòu)造這些根的具有有理系數(shù)的多元多項(xiàng)式：構(gòu)成一個(gè)環(huán)設(shè)K中元素為考慮K的自同構(gòu)設(shè)32可以知道K中具有性質(zhì)的所有雙射成一個(gè)群，K的伽羅華群（的伽羅華群），它是的子群．可以知道33定理相應(yīng)的伽羅華群是可解群．伽羅華理論是伽羅華21歲時(shí)提出的，論文寄給當(dāng)時(shí)一流的數(shù)學(xué)家龐加萊，他沒有看懂，丟在一邊．40~50年后，才被發(fā)現(xiàn)．創(chuàng)立了群的理論，創(chuàng)立了近代的代數(shù)學(xué)．

定理34四．三等分角與數(shù)域的擴(kuò)充三等分角、倍方問題和化圓為方的問題被稱為古希臘的三大幾何作圖問題．幾何的可作圖問題被化為代數(shù)域的擴(kuò)充問題來解決．這方面的知識(shí)是近世代數(shù)的內(nèi)容，但其中的內(nèi)容經(jīng)初等知識(shí)處理后，成為高中新課程中的選修課．平分已知角，可用尺規(guī)作圖（尺子不帶刻度）三等分角，尺規(guī)來做，兩千年都沒能做出來，代數(shù)方法證明了尺規(guī)三等分角是不可能的．四．三等分角與數(shù)域的擴(kuò)充三等分角、倍方問題和化圓為方的問題被35若想談?wù)摮咭?guī)作圖不能問題，要把含直觀因素的尺規(guī)作圖概念進(jìn)行公理化（數(shù)學(xué)模型），用代數(shù)方法解決問題．尺規(guī)作圖是從已知一些初等幾何圖形，一些線段，一些點(diǎn)，而求出一些初等幾何圖形，線段，點(diǎn)等．即，已知平面上的一些點(diǎn)，要求尺規(guī)作出另一些點(diǎn)來．若想談?wù)摮咭?guī)作圖不能問題，要把含直觀因素的尺規(guī)作圖概念進(jìn)行公36取定某線段為單位長(zhǎng)的坐標(biāo)系，平面上的點(diǎn)可以用表示．這樣，尺規(guī)作圖問題是：已知一些實(shí)數(shù)，要求用尺規(guī)作圖作另一些數(shù)尺規(guī)可以作出的是：若干線段之和；兩線段之差；已知三線段a，b，c，可作出x，使；已知二線段a，b，作y，使．取定某線段為單位長(zhǎng)的坐標(biāo)系，平面上的點(diǎn)可以用37代數(shù)課程思想方法介紹課件38代數(shù)課程思想方法介紹課件39代數(shù)課程思想方法介紹課件40代數(shù)課程思想方法介紹課件41代數(shù)課程思想方法介紹課件42五．矩陣工具的應(yīng)用，向量空間中的基本方法

線性變換的具體實(shí)現(xiàn)是矩陣對(duì)坐標(biāo)的變換．中學(xué)中的線性變換：平面解析幾何中平面上的旋轉(zhuǎn)，關(guān)于某條直線的翻轉(zhuǎn)、變換等．平面上點(diǎn)——點(diǎn)經(jīng)過變換后的象的點(diǎn)．線性變換都是這些的．矩陣可表示如下的線性變換：恒等、反射、伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變、投影．，五．矩陣工具的應(yīng)用，向量空間中的基本方法線性變換的具43“線性”的直觀含義：線性（矩陣）變換把平面上的直線變成直線．中學(xué)里的很多問題可以歸結(jié)到線性變換，你能發(fā)現(xiàn)這些問題嗎？用矩陣的方法來解決這些問題．矩陣也是向量空間理論的基本工具．向量空間是的抽象推廣，它不僅是幾何空間的推廣，而且還為整個(gè)數(shù)學(xué)建立了發(fā)展的空間，其抽象的模型無處不在．架構(gòu)：公理化定義向量空間．“線性”的直觀含義：線性（矩陣）變換把平面上的直線變成直線．44坐標(biāo)：基底：基底間的轉(zhuǎn)換：坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)換：基底間的轉(zhuǎn)換：坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)換：45線性代數(shù)的所有問題都可歸納為向量空間理論．①解線性方程組AX=b解釋為求b在變換下的原象．②二次型是中的幾何圖形的方程，維數(shù)、秩，其中的相必然的聯(lián)系．向量空間歐氏空間度量空間定義內(nèi)積幾何度量幾何空間抽象的幾何空間，拓?fù)洌汉治鼍€性代數(shù)的所有問題都可歸納為向量空間理論．①解線性方程組46六．同構(gòu)思想與映射反演方法比較兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的方法．最簡(jiǎn)單的是兩個(gè)三角形的全等：怎么比較，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，先建立對(duì)應(yīng)、映射．六．同構(gòu)思想與映射反演方法比較兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的方法．47則三角形全等的形式化為：向量空間V與W同構(gòu)的定義：環(huán)R與環(huán)R’同構(gòu)的定義：則三角形全等的形式化為：向量空間V與W同構(gòu)的定義：環(huán)R與環(huán)48例：上定義加法“”、數(shù)乘“”則是一個(gè)向量空間，且是上一維的向量空間．請(qǐng)同學(xué)們深刻理解此題，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，對(duì)數(shù)的公式都會(huì)在這個(gè)映射里．例：上定義加法“”、數(shù)乘“”則49由于映射和一一映射的概念的建立，開辟了數(shù)學(xué)中不同分支，不同領(lǐng)域相互聯(lián)系、相互溝通的渠道，這正是數(shù)學(xué)高度統(tǒng)一性的表現(xiàn)．映射同構(gòu)及映出來的數(shù)學(xué)對(duì)象在整體上的聯(lián)系，就是解決數(shù)學(xué)問題中的“關(guān)系、映射、反演方法”．由于映射和一一映射的概念的建立，開辟了數(shù)學(xué)中50原象關(guān)系結(jié)構(gòu)映射映象關(guān)系結(jié)構(gòu)目標(biāo)原象反演目標(biāo)映象原象關(guān)系結(jié)構(gòu)映射映象關(guān)系結(jié)構(gòu)目標(biāo)原象反51？？52代數(shù)課程思想方法介紹課件53七．?dāng)?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)研究數(shù)學(xué)無非是考察對(duì)象的運(yùn)算關(guān)系，次序關(guān)系和相互間的位置關(guān)系，稱這些關(guān)系是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的基本結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)，序結(jié)構(gòu)，和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)．代數(shù)結(jié)構(gòu)：群，環(huán)，域，模，向量空間，度量空間．七．?dāng)?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)研究數(shù)學(xué)無非是考察對(duì)象的運(yùn)算關(guān)系，次序關(guān)系和54序結(jié)構(gòu)偏序定義：非空集合S，關(guān)系，稱為S上偏序，若滿足：（1）（自反性）；（2）（對(duì)稱性）；（3）（傳遞性）．序結(jié)構(gòu)55對(duì)于為a，b在下的最小上界，為a，b在下的最大下界.（1）自然數(shù)按數(shù)大小排成的序：中學(xué)中出現(xiàn)的序.數(shù)列的極限按此序定義.（2）實(shí)數(shù)的序（按大小順序）對(duì)于為a，b在56復(fù)數(shù)在中學(xué)中沒有定義序，但也可以定義偏序（字典序）：廣義的拓?fù)渲卸x極限必須先有序復(fù)數(shù)在中學(xué)中沒有定義序，但也可以定義偏序（字典序）：57（3）整數(shù)集中的偏序．，定義則為上偏序.其意義在于這樣，便是上兩個(gè)運(yùn)算符號(hào).（3）整數(shù)集中的偏序．，定義58（4）集合X的子集合全體上定義：則為上偏序，（4）集合X的子集合全體上定義59（5）群G的子群的全體，定義：則為上的偏序，（5）群G的子群的全體，定義：60（6）多項(xiàng)式全體則是是中學(xué)數(shù)學(xué)中也有很多序結(jié)構(gòu)，證明不等式當(dāng)然是研究序結(jié)構(gòu).（6）多項(xiàng)式全體61畢業(yè)論文選題的類型（1）中學(xué)數(shù)學(xué)問題（2）中學(xué)數(shù)學(xué)問題（3）數(shù)學(xué)建模問題（實(shí)際問題解決）①中學(xué)理論問題（包括教學(xué)問題）②中學(xué)初等問題的延伸研究③創(chuàng)新性問題研究（有大學(xué)教學(xué)知識(shí)背景的問題深入研究）①本科課程中某一理論的總結(jié)性研究②課本內(nèi)容中或超出課本的問題研究③用課本知識(shí)解決某一創(chuàng)新性問題畢業(yè)論文選題的類型（1）中學(xué)數(shù)學(xué)問題（2）中學(xué)數(shù)學(xué)問題（3）62畢業(yè)論文選題的類型中學(xué)數(shù)學(xué)問題中學(xué)理論問題（包括教學(xué)問題）中學(xué)初等問題的延伸研究創(chuàng)新性問題研究（有大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)背景的問題深入研究）畢業(yè)論文選題的類型中學(xué)數(shù)學(xué)問題63大學(xué)數(shù)學(xué)問題本科課程中某一理論的總結(jié)性研究課本內(nèi)容中或超出課本的問題研究用課本知識(shí)解決某一創(chuàng)新性問題數(shù)學(xué)建模問題（實(shí)際問題解決）大學(xué)數(shù)學(xué)問題64畢業(yè)論文參考選題（代數(shù)類）中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題（1）平面幾何和立體幾何的公理體系（教材中公理體系的處理、討論）（2）尺規(guī)作圖問題的研究在數(shù)學(xué)模型下研究畢業(yè)論文參考選題（代數(shù)類）中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題65（3）用矩陣作工具研究平面幾何中的變換（4）用矩陣作工具研究立體幾何中的剛體運(yùn)動(dòng)（5）用同構(gòu)映射的思想總結(jié)研究中學(xué)數(shù)學(xué)中的“轉(zhuǎn)移、反演”問題如：平面幾何中的定理與立體幾何中的定理的對(duì)偶關(guān)系（3）用矩陣作工具研究平面幾何中的變換66（6）數(shù)形結(jié)合思想的研究（7）在高等代數(shù)、近世代數(shù)背景下中學(xué)數(shù)學(xué)中創(chuàng)新性問題的研究（6）數(shù)形結(jié)合思想的研究67高等代數(shù)中的問題（1）用線性方程組的理論討論空間中多條直線和多張平面的位置關(guān)系高等代數(shù)中的問題68（2）研究矩陣的問題①秩與維數(shù)的問題②矩陣方程的可解性③矩陣的廣義逆（半群意義上）④矩