培優(yōu)專題12-全等三角形及其應(yīng)用(含標(biāo)準(zhǔn)答案)

#/11中位線這個(gè)條件。證明：取CD中點(diǎn)F,連接BFBF=：AC,且BF〃AC（三角形中位線定理）??.ZACB=Z2（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）又AB=ACZACB=Z3（等邊對(duì)等角）Z3=Z2在乙CEB與乙CFB中，「BF二BEyZ3=Z2-CB=CB/.△CEB^ACFB（SAS）ce=cf=3CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）即CD=2CE（ii）加倍法證明：延長(zhǎng)CE至UF,使EF=CE,連BF.在乙AEC與八BEF中，「AE=BEJZ1=Z2（對(duì)頂角相等）Ice二fe.*.△AEC0ABEF（SAS）??AC=BF,Z4=Z3（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等）??BF〃AC（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）ZACB+ZCBF=180o,ZABC+ZCBD=180°,又AB=AC.??NACB=NABC??NCBF=NCBD（等角的補(bǔ)角相等）在^CFB與^CDB中，,_CB=CByZCBF=ZCBD，一BF=BD??△CFB0ACDB（SAS）.??CF=CD即CD=2CE說(shuō)明：關(guān)于折半法有時(shí)不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點(diǎn)F,連BF（如圖）（B為AD中點(diǎn)是利用這個(gè)辦法的重要前提），然后證CE=BF.（4）證明線段相互垂直例4：已知：如圖，A、D、B三點(diǎn)在同一條直線上，△ADC、△BDO為等腰三角形，AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。分析：本題沒(méi)有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后再證明所得出的結(jié)論正確。通過(guò)觀察，可以猜測(cè)：AO=BC,AO±BC.證明：延長(zhǎng)AO交BC于旦在^ADO和^CDB中，-AD=DCZADO=NCDB=90oOD=DB.△ADO0ACDB（SAS）?.AO=BC, ZOAD=ZBCD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等）?,ZAOD=ZCOE（對(duì)頂角相等）.ZCOE+ZOCE=90o.AO±BC5、中考點(diǎn)撥：例1.如圖，在△ABC中，AB=AC,E是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)。，連結(jié)ED，并延長(zhǎng)ED到點(diǎn)方，使DF=DE，連結(jié)FC.求證：NF=ZA.A分析：證明兩個(gè)角相等，常證明這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等，在已知圖形中NA、NF不在全等的兩個(gè)三角形中，但由已知可證得EF〃AC,因此把NA通過(guò)同位角轉(zhuǎn)到^BDE中的NBED,只要證△EBD/△FCD即可.證明：???AB=AC,ANACB=NB,「EB=ED,ANACB=NEDB.AED〃AC.ANBED=NA.「BE=EA.ABD=CD.又DE=DF,NBDE=NCDF??△BDE必CDF,ANBED=NF.ANF=NA.說(shuō)明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求全等條件時(shí)，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖中存在的對(duì)項(xiàng)角、公共角、公共邊、平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角等相等的關(guān)系。例2如圖，已知^ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D,延長(zhǎng)BA到E,并且使AE=BD,連接CE、DE.求證：EC=ED分析：把已知條件標(biāo)注在圖上，需構(gòu)造和^AEC全等的三角形，因此過(guò)D點(diǎn)作DF〃AC交BE于F點(diǎn)，證明△AEC04FED即可。證明：過(guò)D點(diǎn)作DF〃AC交BE于F點(diǎn)?「△ABC為等邊三角形???△BFD為等邊三角形.??BF=BD=FD???AE=BD.AE=BF=FD.??AE-AF=BF-AF即EF=AB.EF=AC在^ACE和^DFE中，,EF=AC（已證）ZEAC=ZEDF（兩直線平行，同位角相等）-AE=FD（已證）.△AEC^AFED（SAS）??.EC=ED（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）題型展示：例1如圖，△ABC中，/C=2ZB,N1=N2。求證：AB=AC+CD.分析：在AB上截取AE=AC,構(gòu)造全等三角形，△AED/△ACD，得DE=DC,只需證DE=BE問(wèn)題便可以解決.證明：在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE.??AE=AC,Z1=Z2,AD=AD,??△AEDSACD,??DE=DC,/AED=ZC.??/AED=/B+/EDB，/C=2/B,.??2/B=/B+/EDB.即/B=/EDB..EB=ED,即ED=DC,.AB=AC+DC.剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長(zhǎng)法（即在長(zhǎng)線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）；如作AE=AC是利用了角平分線是角的對(duì)稱軸的特性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補(bǔ)短法（即延長(zhǎng)一條短線段等于長(zhǎng)線段，再證明延長(zhǎng)的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問(wèn)題，實(shí)際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中考命題的重點(diǎn)考查的內(nèi)容.【實(shí)戰(zhàn)模擬】.下列判斷正確的是（ ）（A）有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（B）有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且有一角為30°的兩個(gè)等腰三角形全等（C）有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（D）有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.已知：如圖，CD±AB于點(diǎn)D,BE±AC于點(diǎn)E,BE、CD交于點(diǎn)O,且AO平分/BAC.求證：OB=OC..如圖，已知C為線段AB上的一點(diǎn)，AACM和ACBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點(diǎn)，BM和CN交于E點(diǎn)。求證：ACEF是等邊三角形。

.如圖，在^ABC中，AD為BC邊上的中線.求證：ADv1(AB+AC).如圖，在等腰Rt^ABC中，/C=90°,D是斜邊上AB上任一點(diǎn)，AE±CD于E,BF±CD交CD的延長(zhǎng)線于F,CH^AB于H點(diǎn)，交AE于G.求證：BD=CG.【試題答案】.D.證明：,:AO平分/ODB,CD±AB于點(diǎn)D,BE±AC于點(diǎn)E,BE、CE交于點(diǎn)O,?.OD=OE,zODB=zOEC=90°,ZBOD=zCOE。?.△BOD"COEA^SA).?.OB=OC3.分析由NACM=NBCN=60。，知NECF=60。，欲證ACEF是等邊三角形，只要證明ACEF是等腰三角形。先證ACAN0AMCB,得N1=N2.再證ACFN0ACEB,即可推得ACEF是等邊三角形的結(jié)論。證明：在ACAN和AMCB,VAC=MC,CN=CB,NCAN=NMCB=120。，?,.AACN0AMCB中，?，.ZFCB和ACEB中，,?ZFCN=ZECB=60O,Z1=Z2,CN=CB,.??ACFN0ACEB,?'.CF=CE,XVZECF=60O,Z.ACEF是等邊三角形.4.分析：關(guān)于線段不等的問(wèn)題，一般利用在同一個(gè)三角形中三邊關(guān)系來(lái)討論，由于AB、AC、AD不在同一個(gè)三角形，應(yīng)設(shè)法將這三條線段轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中，也就是將線段相等地轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的通常方法利用三角形全等來(lái)完成，注意AD是BC邊上的中線，延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,即可得到^ACD^^EBD.證明：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連結(jié)BE在AACD與AEBD中“AD=ED（作法）ZADC=ZEDB（對(duì)頂角相等）CD=BD（已知）.??AACD0AEBD（SAS）??.AC=EB（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在AABE中，AB+EB>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）.AB+AO2AD（等量代換）即Cab+ac）說(shuō)明：一般在有中點(diǎn)的條件時(shí)，考慮延長(zhǎng)中線來(lái)構(gòu)造全等三角形。5.分析：由于BD與CG分別在兩個(gè)三角形中，欲證BD與CG相等，設(shè)法證4CGE/△BD凡由于全等條件不充分，可先證4AEC/△CFB證明：在母△AEC與母△CFB中，VAC=CB,AE±CD于E,BF±C交CD的延長(zhǎng)線于FAZ