2022-2023學(xué)年吉林省四平市高一年級下冊學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年吉林省四平市高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)相等可求得的方程，解出的值，即可得解.【詳解】設(shè)，則，因為，則，所以，，解得，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故選:B.2．已知向量，且，則實數(shù)=A． B．0 C．3 D．【答案】C【詳解】試題分析:由題意得，，因為，所以，解得，故選C.【解析】向量的坐標(biāo)運算.3．如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【答案】A【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面，即可得出結(jié)論.【詳解】連，在正方體中，M是的中點，所以為中點，又N是的中點，所以，平面平面，所以平面.因為不垂直，所以不垂直則不垂直平面，所以選項B,D不正確;在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項C錯誤，選項A正確.故選:A.【點睛】關(guān)鍵點點睛:熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.4．已知甲、乙兩組按順序排列的數(shù)據(jù):甲組:27，28，37，，40，50;乙組:24，，34，43，48，52;若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)分別對應(yīng)相等，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意求出甲組的第30百分位數(shù)為第2項，求出，第50百分位數(shù)為中位數(shù)，從而求出，即可求出,【詳解】因為，所以第30百分位數(shù)為，第50百分位數(shù)為，所以，所以故選:B【點睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)中的數(shù)字特征，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5．從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為()A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)2名男生記為A1,A2,2名女生記為B1,B2,任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動,共有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),(A2,A1),(B1,A1),(B2,A1),(B1,A2),(B2,A2),(B2,B1)12種情況,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2)4種情況,則發(fā)生的概率為P=,故選:A.6．在三棱柱中，平面，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將三棱柱補成長方體，設(shè)，則，分析可知與所成角為或其補角，利用余弦定理求出，即可得解.【詳解】在三棱柱中，平面，，將三棱柱補成長方體，設(shè)，則，

因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，且，故與所成角為或其補角，在中，，，，由余弦定理可得，因此，直線與所成角的余弦值為.故選:D.7．已知中，角A、B、C的對邊分別為、、，若，則的值為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】先化為，將切化弦，結(jié)合正弦定理得到，再利用余弦定理求出，得到答案.【詳解】因為，所以即，由正弦定理得:，由余弦定理得:，整理得:，所以故選:C8．已知球的半徑，三棱錐內(nèi)接于球，平面，且，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先證明，，進(jìn)而可得平面，為與平面所成角，設(shè)的外接圓圓心為，利用勾股定理求出外接圓的半徑，利用正弦定理可求出，進(jìn)而可得的長，在中即可求解.【詳解】如圖，取的中點，連接，．

由，得;因為平面，平面，所以;因為，所以平面，故為與平面所成角．設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，連接，，，，則，即，解得．所以，所以．由題可知，則，所以，故選:D【點睛】結(jié)論點睛:三棱錐，平面，設(shè)的外接圓半徑為，三棱錐的外接球半徑為，則．二、多選題9．對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（

）A．若，則為等腰三角形B．若為銳角三角形，則C．若，則符合條件的有一個D．若，則是鈍角三角形【答案】AB【分析】對于A，利用余弦定理求解判斷即可，對于B，利用誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的性質(zhì)判斷即可，對于C，由條件知即可判斷，對于D，利用余弦定理判斷即可.【詳解】對于A:若，則，∴，得，∵，∴，故△ABC為等腰三角形，故A正確;對于B:若△ABC為銳角三角形，有，得，故，則，故B正確;對于C:由于，由得△ABC有兩解，故C錯誤;對于D:，利用正弦定理得，故，而，故，但的值不能確定，故D錯誤.故選:AB.10．（多選）設(shè)同時拋擲兩個質(zhì)地均勻的四面分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體一次．記事件{第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)};事件{第二個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)};事件{兩個四面體向下的一面同時出現(xiàn)奇數(shù)或者同時出現(xiàn)偶數(shù)}，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】根據(jù)古典概型計算概率可判斷A，根據(jù)獨立事件的概率計算可判斷B，由A、B、C三事件不能同時發(fā)生可判斷C，由A中計算可知D正確.【詳解】由題意知，，所以，故A正確;又事件兩兩獨立，所以,，所以，故B正確;事件不可能同時發(fā)生，故，故C錯誤;，故D正確．故選:ABD11．2020年，我國全面建成小康社會取得偉大歷史性成就，脫貧攻堅戰(zhàn)取得了全面勝利.下圖是2013—2019年我國農(nóng)村減貧人數(shù)(按現(xiàn)行農(nóng)村貧困標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計)統(tǒng)計圖，2019年末我國農(nóng)村貧困人口僅剩的551萬人也在2020年現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下全部脫貧.以下說法中正確的是（

）A．2013—2020年我國農(nóng)村貧困人口逐年減少B．2013—2019年我國農(nóng)村貧困人口平均每年減少了1300萬人以上C．2017年末我國農(nóng)村貧困人口有3046萬人D．2014年末與2016年末我國農(nóng)村貧困人口基本持平【答案】ABC【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖逐一判斷可得選項.【詳解】解:由題可知，2013—2020年我國農(nóng)村每年減貧人數(shù)均大于0，因此貧困人口逐年減少，故選項A正確;2013—2019年我國農(nóng)村每年減貧人數(shù)的平均值為(萬人)，又，故選項B正確;2017年末我國農(nóng)村貧困人口為(萬人)，故選項C正確;由于2013—2019年我國農(nóng)村貧困人口每一年都大量減少，故選項D錯誤.故選:ABC.12．如圖,正方形中,分別是的中點將分別沿折起,使重合于點.則下列結(jié)論正確的是A． B．平面C．二面角的余弦值為 D．點在平面上的投影是的外心【答案】ABC【分析】對于A選項，只需取EF中點H，證明平面;對于B選項，知三線兩兩垂直，可知正確;對于C選項，通過余弦定理計算可判斷;對于D選項，由于，可判斷正誤.【詳解】對于A選項，作出圖形，取EF中點H，連接PH，DH，又原圖知和為等腰三角形，故,，所以平面，所以，故A正確;根據(jù)折起前后，可知三線兩兩垂直，于是可證平面，故B正確;根據(jù)A選項可知為二面角的平面角，設(shè)正方形邊長為2，因此，，，，由余弦定理得:，故C正確;由于，故點在平面上的投影不是的外心，即D錯誤;故答案為ABC.【點睛】本題主要考查異面直線垂直，面面垂直，二面角的計算，投影等相關(guān)概念，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的分析能力，計算能力及空間想象能力，難度較大.三、填空題13．如圖正三棱柱的底面邊長為，高為2，一只螞蟻要從頂點沿三棱柱的表面爬到頂點，若側(cè)面緊貼墻面（不能通行），則爬行的最短路程是．

【答案】【分析】利用正三棱柱側(cè)面展開圖，結(jié)合兩點間的最短距離是線段來求解即可．【詳解】正三棱柱的側(cè)面部分展開圖如圖所示，

圖1，連接與交于點，則爬行的最短路程時沿著爬行，此時，圖2，連接，過作AB的垂線交于點，則，則，所以，∵，∴爬行的最短路程是.故答案為:.14．中國乒乓球隊甲、乙兩名運動員參加奧運乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率是，乙奪得冠軍的概率是，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為.【答案】【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可求解.【詳解】設(shè)“甲奪得冠軍”為事件A，“乙奪得冠軍”為事件B，則，.∵A，B是互斥事件，∴.15．如圖，梯形中，，，若點為邊上的動點，則的最小值是.【答案】/【分析】以為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖:，設(shè)，,，，則，解得，，點為邊上的動點，設(shè)，，，，，當(dāng)時，取得最小值，代入可得的最小值是.故答案為:四、雙空題16．已知圓錐的軸截面PAB是邊長為a的正三角形，AB為圓錐的底面直徑，球O與圓錐的底面以及每條母線都相切，記圓錐的體積為，球O的體積為，則;若M，N是圓錐底面圓上的兩點，且，則平面PMN截球O所得截面的面積為.【答案】;.【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出球O的半徑，從而可分別求出圓錐的體積為和球O的體積為;設(shè)MN的中點為C，連接PC，DM，首先求出點到直線的距離，然后結(jié)合球O的半徑，即可求出平面PMN截球O所得截面圓的半徑為r.【詳解】如圖，設(shè)D為AB的中點，連接PD，由題意知PD為圓錐的高，且，易知球O的半徑，所以，，所以;設(shè)MN的中點為C，連接PC，DM，則，易知，，所以，所以.過O點作，垂足為E，易知，則，又，則.設(shè)平面PMN截球O所得截面圓的半徑為r，則，所以截面的面積為.故答案為:;.五、解答題17．已知，．(1)求與的夾角;(2)求;(3)若，，求的面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把展開，利用向量的夾角公式可得答案;(2)可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積計算可得答案;(3)求出與的夾角，利用三角形面積公式計算可得答案.【詳解】（1）∵，∴，又，∴，∴，∴，又，∴;(2)，∴;(3)因為與的夾角，∴，又，，所以.18．已知為復(fù)數(shù)，和均為實數(shù)，其中為虛數(shù)單位．(1)求復(fù)數(shù)和;(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)，由和均為實數(shù)，虛部為0，列方程組求解;(2)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，則實部為正、虛部為負(fù)，列不等式組求實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)，，，則，，因為和均為實數(shù)，則，解得，，所以，．(2)由（1）知，，所以，又復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，則，解得或．所以實數(shù)的取值范圍是．19．交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，記交通指數(shù)為，其范圍為，分別有五個級別:，暢通;，基本暢通;，輕度擁堵;，中度擁堵;，嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時段（），從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€數(shù);(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿?個路段，求依次抽取的三個級別路段的個數(shù);(3)從(2)中抽取的6個路段中任取2個，求至少有1個路段為輕度擁堵的概率.【答案】（1）輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€數(shù)分別為6，9，3;（2）從交通指數(shù)在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分別抽取的個數(shù)為2,3,1;（3）【分析】（1）根據(jù)在頻率分布直方圖中，小長方形的面積表示各組的頻率，可以求出頻率，再根據(jù)頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量，求出頻數(shù);(2)根據(jù)（1）求出擁堵路段的個數(shù)，求出每層之間的占有比例，然后求出每層的個數(shù);(3)先求出從(2)中抽取的6個路段中任取2個，有多少種可能情況，然后求出至少有1個路段為輕度擁堵有多少種可能情況，根據(jù)古典概型概率公式求出.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得，這20個交通路段中，輕度擁堵的路段有(0.1+0.2)×1×20=6(個)，中度擁堵的路段有(0.25+0.2)×1×20=9(個)，嚴(yán)重?fù)矶碌穆范斡?0.1+0.05)×1×20=3(個).(2)由(1)知，擁堵路段共有6+9+3=18(個)，按分層抽樣，從18個路段抽取6個，則抽取的三個級別路段的個數(shù)分別為，，，即從交通指數(shù)在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分別抽取的個數(shù)為2,3,1.(3)記抽取的2個輕度擁堵路段為，，抽取的3個中度擁堵路段為，，，抽取的1個嚴(yán)重?fù)矶侣范螢椋瑒t從這6個路段中抽取2個路段的所有可能情況為:，共15種，其中至少有1個路段為輕度擁堵的情況為:，共9種.所以所抽取的2個路段中至少有1個路段為輕度擁堵的概率為.【點睛】本題考查了頻率直方圖的應(yīng)用、分層抽樣、古典概型概率的求法.解決本題的關(guān)鍵是對頻率直方圖所表示的意義要了解，分層抽樣的原則要知道，要能識別古典概型.20．在三棱錐中，點D在以AB為直徑的半圓弧上，且平面平面ABC，，．

(1)證明:平面BCD;(2)當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，求三棱錐的表面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面ABD，再利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理分析證明;(2)根據(jù)面面垂直分析可得當(dāng)點O為AB的中點時，三棱錐的體積取得最大值，進(jìn)而根據(jù)垂直關(guān)系求相應(yīng)的邊長和表面積.【詳解】（1）因為平面平面ABC，平面平面，，平面，所以平面ABD．且平面ABD，所以．又因為點D在以AB為直徑的半圓弧上，則．且，平面BCD，所以平面BCD．(2)過點D作AB的垂線DO交AB于點O，

因為平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC，所以當(dāng)點O為AB的中點時，三棱錐的體積取得最大值，則，因為平面ABD，平面ABD，所以，在中，，由（1）知平面BCD，平面