2022-2023學(xué)年江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校高一下學(xué)期5月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線與平面不平行，則（

）A．與相交B．C．與相交或D．以上結(jié)論都不對(duì)平行于同一個(gè)平面【答案】C【分析】利用空間中直線與平面的位置關(guān)系，即可判斷.【詳解】解：因?yàn)榭臻g中直線和平面的位置關(guān)系有三種，即直線和平面平行、直線和平面相交及直線在平面內(nèi)，因直線與平面不平行，所以直線與平面的位置關(guān)系是：直線與平面相交或．故選：C．2．在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】由于知道復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，所以根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得復(fù)數(shù)，然后求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義可得結(jié)果.【詳解】由題意，知，，所以，所以．故選：C.3．如圖，，，，且，直線，過(guò)三點(diǎn)的平面記作，則與的交線必通過(guò)（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn) C．點(diǎn)但不過(guò)點(diǎn) D．點(diǎn)和點(diǎn)【答案】D【分析】利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系證得與，從而得到，據(jù)此解答即可.【詳解】對(duì)于AB，易得，故必不在與的交線上，故AB錯(cuò)誤；對(duì)于CD，因?yàn)檫^(guò)三點(diǎn)的平面記作，所以面與是同一個(gè)面，因?yàn)橹本€，所以面，則，又面，則，所以；因?yàn)椋?，所以，又，所以，所以，所以與的交線必通過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D．4．已知平面向量，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與方向相同的單位向量的坐標(biāo)為B．當(dāng)時(shí)，可作為平面內(nèi)的一組基底C．若與的夾角為鈍角，則D．若，則在上的投影向量為【答案】D【分析】由單位向量定義求與向量方向相同的單位向量判斷選項(xiàng)A；利用向量平行的坐標(biāo)表示判斷選項(xiàng)BC；根據(jù)投影向量定義求向量在上的投影向量判斷選項(xiàng)D．【詳解】與方向相同的單位向量是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，向量，，，，不能作為平面內(nèi)的一組基底，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，與的夾角為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，則在上的投影向量為，D選項(xiàng)正確.故選：D.5．已知兩條不同的直線l，m與兩個(gè)不同的平面，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)空間中線面、面面的判定定理與性質(zhì)定理一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，，，則可能平行，可能相交，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以能在?nèi)找到一條直線，使得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以由面面垂直的判定定理可證明，故B正確；對(duì)于C，若，則或，故C不正確；對(duì)于D，若，，則或，故D不正確.故選：B.6．如圖是某烘焙店家烘焙蛋糕時(shí)所用的圓臺(tái)狀模具，它的高為8cm，下底部直徑為12cm，上面開(kāi)口圓的直徑為20cm，現(xiàn)用此模具烘焙一個(gè)跟模具完全一樣的兒童蛋糕，若蛋糕膨脹成型后的體積會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)液態(tài)狀態(tài)下體積的2倍（模具不發(fā)生變化），若用直徑為14cm的圓柱形容量器取液態(tài)原料（不考慮損耗），則圓柱中需要注入液態(tài)原料的高度為（

）（單位：cm）

A． B． C．16 D．32【答案】A【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式可得蛋糕體積，然后由圓柱體積公式可得.【詳解】圓臺(tái)狀蛋糕膨脹成型后的體積為，圓柱的體積為，故圓柱制作液態(tài)蛋糕原料高度約為.故選：A.7．下列結(jié)論中正確是（

）A．若直線a，b為異面直線，則過(guò)直線a與直線b平行的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)B．若直線m與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則直線m與平面α平行C．若平面α∥平面β，直線a?α，點(diǎn)M∈β，則過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線與a平行D．若直線l平面α，則過(guò)直線l與平面α垂直的平面有且只有一個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)直線與平面的有關(guān)性質(zhì)逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于A，過(guò)a作直線，使得，則是唯一的，因?yàn)閍與b是異面直線，所以a與相交，則由確定的平面是唯一的，錯(cuò)誤；對(duì)于B，可能有，錯(cuò)誤；對(duì)于C，，若過(guò)點(diǎn)M在平面內(nèi)有兩條直線，分別平行于a，則由于平行線的傳遞性，必有，又與有公共點(diǎn)M，則重合，故過(guò)M點(diǎn)只有唯一的一條直線與a平行，正確；對(duì)于D，顯然過(guò)l的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，并且每個(gè)平面都與垂直，錯(cuò)誤；故選：C.8．已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則是銳角三角形C．若，，，則有兩解D．若是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則是直角三角形【答案】D【分析】利用正弦定理結(jié)合余弦定理可得出或，可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的定義推導(dǎo)出為銳角，可判斷B選項(xiàng)；利用余弦定理可判斷C選項(xiàng)；由已知條件可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)推出，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋傻?，所以，，由正弦定理可得，因?yàn)椤?，則，，所以，，由正弦定理可得，所以，，整理可得，所以，或，故為等腰三角形或直角三角形，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則，因?yàn)?，則為銳角，但或可能不是銳角，故不一定是銳角三角形，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，顯然，因此，只有一解，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則，即，所以，，整理可得，因?yàn)?、均為非零向量，故，即為直角三角形，D對(duì).故選：D.二、多選題9．下列計(jì)算結(jié)果正確的是（

）A．B．C．D．若為第三象限角，則【答案】AC【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合二倍角的正弦公式可判斷A；二倍角的余弦公式可判斷B；兩角和的正切公式可判斷C；同角三角函數(shù)基本關(guān)系可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因?yàn)?，所以，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，，因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．在正方體中，，、、分別是棱、、的中點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)在平面內(nèi) B．直線與平面所成角為C．二面角的大小是 D．三棱錐體積為【答案】AB【分析】證明出，可判斷A選項(xiàng)；利用線面角的定義可判斷B選項(xiàng)；利用二面角的定義可判斷C選項(xiàng)；利用等體積法可判斷D選項(xiàng).【詳解】如下圖所示：

對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，則，所以，點(diǎn)在平面內(nèi)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，且，所以，與平面所成角為，又因?yàn)椋瑒t與平面所成角的大小為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，、平面，所以，，，故二面角的平面角為，因?yàn)椋瑒t，則，即二面角的大小不是，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，平面，平面，所以，平面，又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，點(diǎn)到平面的距離為，又因?yàn)椋?，，D錯(cuò).故選：AB.11．如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（

）

A．圓柱的側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為【答案】BCD【分析】分析出圓柱的底面半徑、高以及圓錐的底面半徑、高和母線長(zhǎng)，利用圓柱、圓錐的側(cè)面積公式、球體的表面積，圓錐、圓柱、球體的體積公式逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由題意可知，圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的底面半徑為，高為，對(duì)于A選項(xiàng)，圓柱的側(cè)面積為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，圓錐的母線長(zhǎng)為，所以，圓錐的側(cè)面積為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，球的表面積為，所以圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，圓柱的體積為，圓錐的體積為，球的體積為，因此，圓柱、圓錐、球的體積之比為，D對(duì).故選：BCD.12．正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面AD1CB．CN⊥平面ABMC．異面直線和所成的角不為定值D．若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線平面MNG【答案】ABD【分析】根據(jù)線面平行判定定理證明平面AD1C即可判斷A；利用正方體幾何性質(zhì)，結(jié)合線面垂直判定定理即可判斷B；利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可得，從而可判斷C；利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明線面平行，從而可判斷D.【詳解】對(duì)于A，連接，

在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，則，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，設(shè)

在正方形中，，所以，則，又，所以，所以，即，又正方體中，平面，平面，所以因?yàn)槠矫?，所以平面，故B正確；對(duì)于C，連接

在正方體中，平面，平面，所以，又由正方形得，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，則異面直線和所成的角為是定值，故C不正確；對(duì)于D，連接

若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則為與交點(diǎn)由得，又平面，平面，所以平面，又正方體中，，則四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，即，又平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，又平面，所以平面，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．已知空間中兩個(gè)角，且，若，則.【答案】或【分析】根據(jù)空間中兩個(gè)角的邊分別平行時(shí)，兩個(gè)角相等或互補(bǔ)即可得解.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)角，且，則的兩邊分別平行，所以相等或互補(bǔ)，又，所以或故答案為：或14．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)=.【答案】1【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，?由可得.所以.故答案為：1.15．如圖，9個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形排成一個(gè)大正方形，AB是大正方形的一條邊，是小正方形的其余各個(gè)頂點(diǎn)，則的不同值的個(gè)數(shù)為.【答案】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義及投影的數(shù)量，結(jié)合給定的表格，即可求解.【詳解】由向量的數(shù)量積的定義，可得，根據(jù)給定的表格，可得：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以的不同值的個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：.四、雙空題16．正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，若點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，滿足平面，則點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長(zhǎng)為；若點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，滿足，則點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長(zhǎng)為.【答案】【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，，，，即可得到平面平面，則的周長(zhǎng)即為所求，連接、、，可得平面，則四邊形的周長(zhǎng)即為所求.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，，則，又，，所以為平行四邊形，所以，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，平面，平面，所以平面，又，，且，，所以，，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因?yàn)辄c(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且平面，所以即為點(diǎn)的軌跡（除點(diǎn)），，，所以，所以點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長(zhǎng)為；連接、、，顯然，，所以，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，滿足，所以在四邊形上（除點(diǎn)外），又，，所以，故點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長(zhǎng)為.故答案為：；五、解答題17．已知向量.(1)若點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件；(2)若為直角三角形，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，即共線，利用向量共線的坐標(biāo)公式計(jì)算即可得出答案.（2）為直角三角形，分為直角，為直角和為直角，利用垂直向量的坐標(biāo)表示即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，所以，因?yàn)椋?，，所以，，，所以，解得，綜上可得，當(dāng)時(shí)，A，B，C不能構(gòu)成三角形；（2）①若為直角，則，所以，解得；②若為直角，則，所以，解得；③若為直角，則，所以，即，因?yàn)?，所以方程無(wú)解；綜上可得，當(dāng)或時(shí)為直角三角形.18．已知銳角，且滿足.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及兩角和的正弦公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，利用兩角和的余弦公式及三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)的特殊角即可求解.【詳解】（1）因?yàn)闉殇J角，，所以.因?yàn)?，是銳角，即，，所以，，又因?yàn)?，所?.（2）由（1）知，，因?yàn)槭卿J角，，所以，由，，所以，，因?yàn)?，所?19．在三棱柱中，底面，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，且.

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）連接，根據(jù)題意證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面.（2）由底面，證得，結(jié)合，證得平面，從而證得平面平面.【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)槿庵?，所以?cè)面為平行四邊形，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以為中點(diǎn)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，中，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）證明：因?yàn)榈酌?，平面，所以，又因?yàn)榈酌嫒切沃?，，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?

20．如圖，在四棱錐中，平面，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，平面平面.

(1)求證：平面；(2)證明：平面平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由平面結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理可得，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）取中點(diǎn)為，由平面平面可得平面，從而得到，再由即可證得平面，于是，然后再根據(jù)即可證得平面，最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出.【詳解】（1）證明：∵在四棱錐中，∵平面平面，平面平面，∴，∵平面平面，∴平面；（2）如圖，

取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，∴，∵平面平面，平面平面，面，∴平面，又平面，∴，又∵，，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵為中點(diǎn)，∴，且，平面，∴平面，且平面，∴平面平面.21．在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足__________.(1)求角；(2)若，，在線段上且與都不重合，，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，則由正弦定理結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，從而可求出角；若選②，則利用數(shù)量積的定義和三角形的面積公式可得，從而可求出角；若選③，則由正弦定理和兩角和的正弦公式對(duì)已知化簡(jiǎn)可得，再利用輔助角公式可求出角；（2）由已知結(jié)合余弦定理可求得，而，則，所以，設(shè)，則，，，然后分別在和分別利用正弦定理表示出，從而可表示出的面積，化簡(jiǎn)后由的范圍可求出其范圍.【詳解】（1）選①，，由正弦定理可得，又因?yàn)椋傻?，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以，解?選②，由，得，所以，因?yàn)?，所以；選③，，由正弦定理可得，，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以，?）由，由余弦定理知，又因?yàn)?，所以，所以，所以，如圖，設(shè)，則，，，在中，由正弦定理可知，在中，由正弦定理可知，

故，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，?/p>

.22．如圖，在正方體中，分別是棱的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)若點(diǎn)分別在上，且.求證：；(3)棱上是否存在點(diǎn)，使平面平面？若存在，確定點(diǎn)P的位置，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)存在，點(diǎn)P為棱CC1的中點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)正方體的特征得到AB1⊥B1A和BC⊥平面，進(jìn)而得到，利用線面垂直的判定得到AB1⊥平面A1D1CB，從而得到；（2）連接DE，CD1，利用三角形全等得到DE⊥AF，然后根據(jù)正方體的特征得到DD1⊥平面ABCD，進(jìn)而得到AF⊥DD1，利用線面垂直的判定得到AF⊥平面D1DE，從而得到AF⊥D1E，結(jié)合（1）的結(jié)論和線面垂直的判定得到D1E⊥平面AB1F和MN⊥平面B1AF，進(jìn)而得到；（3）連接FP，AP，