2022-2023學(xué)年江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校高一年級下冊學(xué)期5月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校高一下學(xué)期5月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線與平面不平行，則（

）A．與相交B．C．與相交或D．以上結(jié)論都不對平行于同一個平面【答案】C【分析】利用空間中直線與平面的位置關(guān)系，即可判斷.【詳解】解：因為空間中直線和平面的位置關(guān)系有三種，即直線和平面平行、直線和平面相交及直線在平面內(nèi)，因直線與平面不平行，所以直線與平面的位置關(guān)系是：直線與平面相交或．故選：C．2．在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點分別為，，則（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】由于知道復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標，所以根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得復(fù)數(shù)，然后求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義可得結(jié)果.【詳解】由題意，知，，所以，所以．故選：C.3．如圖，，，，且，直線，過三點的平面記作，則與的交線必通過（

）A．點A B．點 C．點但不過點 D．點和點【答案】D【分析】利用點線面的位置關(guān)系證得與，從而得到，據(jù)此解答即可.【詳解】對于AB，易得，故必不在與的交線上，故AB錯誤；對于CD，因為過三點的平面記作，所以面與是同一個面，因為直線，所以面，則，又面，則，所以；因為，，所以，又，所以，所以，所以與的交線必通過點和點，故C錯誤，D正確.故選：D．4．已知平面向量，，則下列說法正確的是（

）A．與方向相同的單位向量的坐標為B．當時，可作為平面內(nèi)的一組基底C．若與的夾角為鈍角，則D．若，則在上的投影向量為【答案】D【分析】由單位向量定義求與向量方向相同的單位向量判斷選項A；利用向量平行的坐標表示判斷選項BC；根據(jù)投影向量定義求向量在上的投影向量判斷選項D．【詳解】與方向相同的單位向量是，A選項錯誤；當時，向量，，，，不能作為平面內(nèi)的一組基底，B選項錯誤；當時，，與的夾角為，C選項錯誤；當時，，，則在上的投影向量為，D選項正確.故選：D.5．已知兩條不同的直線l，m與兩個不同的平面，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)空間中線面、面面的判定定理與性質(zhì)定理一一判斷即可.【詳解】對于A，若，，，則可能平行，可能相交，故A不正確；對于B，因為，所以能在內(nèi)找到一條直線，使得，因為，所以，又因為，所以由面面垂直的判定定理可證明，故B正確；對于C，若，則或，故C不正確；對于D，若，，則或，故D不正確.故選：B.6．如圖是某烘焙店家烘焙蛋糕時所用的圓臺狀模具，它的高為8cm，下底部直徑為12cm，上面開口圓的直徑為20cm，現(xiàn)用此模具烘焙一個跟模具完全一樣的兒童蛋糕，若蛋糕膨脹成型后的體積會變?yōu)樵瓉硪簯B(tài)狀態(tài)下體積的2倍（模具不發(fā)生變化），若用直徑為14cm的圓柱形容量器取液態(tài)原料（不考慮損耗），則圓柱中需要注入液態(tài)原料的高度為（

）（單位：cm）

A． B． C．16 D．32【答案】A【分析】根據(jù)圓臺的體積公式可得蛋糕體積，然后由圓柱體積公式可得.【詳解】圓臺狀蛋糕膨脹成型后的體積為，圓柱的體積為，故圓柱制作液態(tài)蛋糕原料高度約為.故選：A.7．下列結(jié)論中正確是（

）A．若直線a，b為異面直線，則過直線a與直線b平行的平面有無數(shù)多個B．若直線m與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則直線m與平面α平行C．若平面α∥平面β，直線a?α，點M∈β，則過點M有且只有一條直線與a平行D．若直線l平面α，則過直線l與平面α垂直的平面有且只有一個【答案】C【分析】根據(jù)直線與平面的有關(guān)性質(zhì)逐項分析.【詳解】對于A，過a作直線，使得，則是唯一的，因為a與b是異面直線，所以a與相交，則由確定的平面是唯一的，錯誤；對于B，可能有，錯誤；對于C，，若過點M在平面內(nèi)有兩條直線，分別平行于a，則由于平行線的傳遞性，必有，又與有公共點M，則重合，故過M點只有唯一的一條直線與a平行，正確；對于D，顯然過l的平面有無數(shù)個，并且每個平面都與垂直，錯誤；故選：C.8．已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，則下列說法正確的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則是銳角三角形C．若，，，則有兩解D．若是所在平面內(nèi)的一點，且，則是直角三角形【答案】D【分析】利用正弦定理結(jié)合余弦定理可得出或，可判斷A選項；利用平面向量數(shù)量積的定義推導(dǎo)出為銳角，可判斷B選項；利用余弦定理可判斷C選項；由已知條件可得出，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)推出，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，可得，所以，，由正弦定理可得，因為、，則，，所以，，由正弦定理可得，所以，，整理可得，所以，或，故為等腰三角形或直角三角形，A錯；對于B選項，因為，則，因為，則為銳角，但或可能不是銳角，故不一定是銳角三角形，B錯；對于C選項，因為，，，顯然，因此，只有一解，C錯；對于D選項，因為，則，即，所以，，整理可得，因為、均為非零向量，故，即為直角三角形，D對.故選：D.二、多選題9．下列計算結(jié)果正確的是（

）A．B．C．D．若為第三象限角，則【答案】AC【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合二倍角的正弦公式可判斷A；二倍角的余弦公式可判斷B；兩角和的正切公式可判斷C；同角三角函數(shù)基本關(guān)系可判斷D.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，因為，所以，所以，所以，故C正確；對于D，，因為為第三象限角，所以，所以，故D錯誤.故選：AC.10．在正方體中，，、、分別是棱、、的中點，則（

）A．點在平面內(nèi) B．直線與平面所成角為C．二面角的大小是 D．三棱錐體積為【答案】AB【分析】證明出，可判斷A選項；利用線面角的定義可判斷B選項；利用二面角的定義可判斷C選項；利用等體積法可判斷D選項.【詳解】如下圖所示：

對于A選項，因為、分別為、的中點，則，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，則，所以，點在平面內(nèi)，A對；對于B選項，因為平面，且，所以，與平面所成角為，又因為，則與平面所成角的大小為，B對；對于C選項，因為平面，、平面，所以，，，故二面角的平面角為，因為，則，則，即二面角的大小不是，C錯；對于D選項，因為，平面，平面，所以，平面，又因為，為的中點，所以，點到平面的距離為，又因為，所以，，D錯.故選：AB.11．如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（

）

A．圓柱的側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為【答案】BCD【分析】分析出圓柱的底面半徑、高以及圓錐的底面半徑、高和母線長，利用圓柱、圓錐的側(cè)面積公式、球體的表面積，圓錐、圓柱、球體的體積公式逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】由題意可知，圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的底面半徑為，高為，對于A選項，圓柱的側(cè)面積為，A錯；對于B選項，圓錐的母線長為，所以，圓錐的側(cè)面積為，B對；對于C選項，球的表面積為，所以圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，C對；對于D選項，圓柱的體積為，圓錐的體積為，球的體積為，因此，圓柱、圓錐、球的體積之比為，D對.故選：BCD.12．正方體中，分別為的中點，點P在線段上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面AD1CB．CN⊥平面ABMC．異面直線和所成的角不為定值D．若點為線段的中點，則直線平面MNG【答案】ABD【分析】根據(jù)線面平行判定定理證明平面AD1C即可判斷A；利用正方體幾何性質(zhì)，結(jié)合線面垂直判定定理即可判斷B；利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可得，從而可判斷C；利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明線面平行，從而可判斷D.【詳解】對于A，連接，

在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為為中點，所以，則，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，設(shè)

在正方形中，，所以，則，又，所以，所以，即，又正方體中，平面，平面，所以因為平面，所以平面，故B正確；對于C，連接

在正方體中，平面，平面，所以，又由正方形得，因為為中點，所以，則，因為平面，所以平面，又平面，所以，則異面直線和所成的角為是定值，故C不正確；對于D，連接

若點為線段的中點，則為與交點由得，又平面，平面，所以平面，又正方體中，，則四邊形為平行四邊形，所以，因為分別為的中點，所以，即，又平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．已知空間中兩個角，且，若，則.【答案】或【分析】根據(jù)空間中兩個角的邊分別平行時，兩個角相等或互補即可得解.【詳解】因為兩個角，且，則的兩邊分別平行，所以相等或互補，又，所以或故答案為：或14．已知向量，，且，則實數(shù)=.【答案】1【分析】利用向量垂直的坐標表示，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】因為，，.由可得.所以.故答案為：1.15．如圖，9個邊長為1的小正方形排成一個大正方形，AB是大正方形的一條邊，是小正方形的其余各個頂點，則的不同值的個數(shù)為.【答案】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義及投影的數(shù)量，結(jié)合給定的表格，即可求解.【詳解】由向量的數(shù)量積的定義，可得，根據(jù)給定的表格，可得：當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時，所以的不同值的個數(shù)為個.故答案為：.四、雙空題16．正方體的棱長為，點，分別是棱，的中點，若點在正方體的表面上運動，滿足平面，則點的軌跡所構(gòu)成的周長為；若點在正方體的表面上運動，滿足，則點的軌跡所構(gòu)成的周長為.【答案】【分析】取的中點，的中點，連接，，，，，，，即可得到平面平面，則的周長即為所求，連接、、，可得平面，則四邊形的周長即為所求.【詳解】取的中點，的中點，連接，，，，，，，因為點，分別是棱，的中點，所以，，則，又，，所以為平行四邊形，所以，所以，所以、、、四點共面，平面，平面，所以平面，又，，且，，所以，，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因為點在正方體的表面上運動，且平面，所以即為點的軌跡（除點），，，所以，所以點的軌跡所構(gòu)成的周長為；連接、、，顯然，，所以，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，因為點在正方體的表面上運動，滿足，所以在四邊形上（除點外），又，，所以，故點的軌跡所構(gòu)成的周長為.故答案為：；五、解答題17．已知向量.(1)若點A，B，C不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)應(yīng)滿足的條件；(2)若為直角三角形，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）當三點共線時，點A，B，C不能構(gòu)成三角形，即共線，利用向量共線的坐標公式計算即可得出答案.（2）為直角三角形，分為直角，為直角和為直角，利用垂直向量的坐標表示即可得出答案.【詳解】（1）因為點A，B，C不能構(gòu)成三角形，所以，因為，，，所以，，，所以，解得，綜上可得，當時，A，B，C不能構(gòu)成三角形；（2）①若為直角，則，所以，解得；②若為直角，則，所以，解得；③若為直角，則，所以，即，因為，所以方程無解；綜上可得，當或時為直角三角形.18．已知銳角，且滿足.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及兩角和的正弦公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，利用兩角和的余弦公式及三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)的特殊角即可求解.【詳解】（1）因為為銳角，，所以.因為，是銳角，即，，所以，，又因為，所以..（2）由（1）知，，因為是銳角，，所以，由，，所以，，因為，所以.19．在三棱柱中，底面，點分別是的中點，且.

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）連接，根據(jù)題意證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面.（2）由底面，證得，結(jié)合，證得平面，從而證得平面平面.【詳解】（1）證明：連接，因為三棱柱，所以側(cè)面為平行四邊形，又因為為中點，所以，所以為中點，因為為中點，中，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）證明：因為底面，平面，所以，又因為底面三角形中，，是的中點，所以，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.

20．如圖，在四棱錐中，平面，為等邊三角形，為的中點，，平面平面.

(1)求證：平面；(2)證明：平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由平面結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理可得，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）取中點為，由平面平面可得平面，從而得到，再由即可證得平面，于是，然后再根據(jù)即可證得平面，最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出.【詳解】（1）證明：∵在四棱錐中，∵平面平面，平面平面，∴，∵平面平面，∴平面；（2）如圖，

取中點為，連接，因為為等邊三角形，∴，∵平面平面，平面平面，面，∴平面，又平面，∴，又∵，，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵為中點，∴，且，平面，∴平面，且平面，∴平面平面.21．在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足__________.(1)求角；(2)若，，在線段上且與都不重合，，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，則由正弦定理結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，從而可求出角；若選②，則利用數(shù)量積的定義和三角形的面積公式可得，從而可求出角；若選③，則由正弦定理和兩角和的正弦公式對已知化簡可得，再利用輔助角公式可求出角；（2）由已知結(jié)合余弦定理可求得，而，則，所以，設(shè)，則，，，然后分別在和分別利用正弦定理表示出，從而可表示出的面積，化簡后由的范圍可求出其范圍.【詳解】（1）選①，，由正弦定理可得，又因為，可得，即，所以，又因為，所以，所以，解得.選②，由，得，所以，因為，所以；選③，，由正弦定理可得，，，因為，所以，，因為，所以，所以，所以，（2）由，由余弦定理知，又因為，所以，所以，所以，如圖，設(shè)，則，，，在中，由正弦定理可知，在中，由正弦定理可知，

故，因為，所以，所以，所以，所以，即

.22．如圖，在正方體中，分別是棱的中點.

(1)求證：；(2)若點分別在上，且.求證：；(3)棱上是否存在點，使平面平面？若存在，確定點P的位置，若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)存在，點P為棱CC1的中點【分析】（1）根據(jù)正方體的特征得到AB1⊥B1A和BC⊥平面，進而得到，利用線面垂直的判定得到AB1⊥平面A1D1CB，從而得到；（2）連接DE，CD1，利用三角形全等得到DE⊥AF，然后根據(jù)正方體的特征得到DD1⊥平面ABCD，進而得到AF⊥DD1，利用線面垂直的判定得到AF⊥平面D1DE，從而得到AF⊥D1E，結(jié)合（1）的結(jié)論和線面垂直的判定得到D1E⊥平面AB1F和MN⊥平面B1AF，進而得到；（3）連接FP，AP，