2022-2023學(xué)年江蘇省泰州市高二年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省泰州市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量與垂直，則實數(shù)x的值為（

）A． B． C．4 D．10【答案】A【分析】由向量垂直，數(shù)量積等于直接應(yīng)用空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算公式即可.【詳解】向量與垂直，解得故選：2．書架上有3本不同的數(shù)學(xué)書，4本不同的物理書，圖書管理員從中任取2本，則不同的取法種數(shù)為（

）A．7 B．12 C．21 D．42【答案】C【分析】根據(jù)分類加法原理以及組合數(shù)的概念，可得答案.【詳解】由題可知不同的取法的種數(shù)為.故選：C.3．口袋中有2個黑球，2個紅球和1個白球，這些球除顏色外完全相同.任取兩球，用隨機變量X表示取到的黑球數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由超幾何分布的概率計算公式，代入計算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，.故選：B4．某中學(xué)通過問卷調(diào)查的形式統(tǒng)計了該校1000名學(xué)生完成作業(yè)所需的時間，發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生每天完成作業(yè)所需的時間（單位：小時）近似地服從正態(tài)分布.則這1000名學(xué)生中每天完成作業(yè)所需的時間不少于1.5小時的人數(shù)大約為（

）附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，.A．23 B．46 C．158 D．317【答案】A【分析】求出，可得，則，進而可得答案.【詳解】因為學(xué)生每天完成作業(yè)所需的時間（單位：小時）近似地服從正態(tài)分布，所以，因為，則，所以，則，所以這1000名學(xué)生中每天完成作業(yè)所需的時間不少于1.5小時的人數(shù)大約為：（人），故選：A.5．在的展開式中，含的項的系數(shù)為（

）A．6 B．10 C．24 D．35【答案】B【分析】分四個因式中有一個因式選常數(shù)相乘時，則剩余三個因式都選x相乘求解.【詳解】解：當(dāng)選1相乘時，都選x相乘，此時的項的系數(shù)為1；當(dāng)選2相乘時，都選x相乘，此時的項的系數(shù)為2；當(dāng)選3相乘時，都選x相乘，此時的項的系數(shù)為3；當(dāng)選4相乘時，都選x相乘，此時的項的系數(shù)為4；綜上：的項的系數(shù)為1+2+3+4=10.故選：B6．已知x，y的取值如下表所示，從散點圖分析可知y與x線性相關(guān)，如果線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（

）A．m的值為6.2B．回歸直線必過點（2，4.4）C．樣本點（4，m）處的殘差為0.1D．將此圖表中的點（2，4.4）去掉后，樣本相關(guān)系數(shù)r不變【答案】C【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義及樣本中心在經(jīng)驗回歸直線方程上，利用殘差的定義及樣本相關(guān)系數(shù)的公式即可求解.【詳解】由題意可知，所以樣本中心為，將點代入，可得，解得，故A正確；由，得樣本中心為，所以回歸直線必過點（2，4.4），故B正確；當(dāng)時，，由，得樣本點處的殘差為，故C錯誤；因為樣本中心為，所以由相關(guān)系數(shù)公式知，，將此圖表中的點（2，4.4）去掉后，樣本相關(guān)系數(shù)r不變，故D正確；故選：C.7．已知三棱柱的側(cè)棱長為2，底面是邊長為2的正三角形，，若和相交于點M.則（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】以為基底表示，利用平方的方法求得.【詳解】依題意可知是的中點，所以，所以.故選：D

8．在概率論中，馬爾可夫不等式給出了隨機變量的函數(shù)不小于某正數(shù)的概率的上界，它以俄國數(shù)學(xué)家安德雷·馬爾可夫命名，由馬爾可夫不等式知，若是只取非負(fù)值的隨機變量，則對，都有.某市去年的人均年收入為10萬元，記“從該市任意選取3名市民，則恰有1名市民去年的年收入超過100萬元”為事件A，其概率為.則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記該市去年人均收入為萬元，從該市任意選取3名市民，年收入超過100萬元的人數(shù)為,設(shè)從該市任選1名市民，年收入超過100萬元的概率為，根據(jù)馬爾可夫不等式可得，再根據(jù)二項分布求得，令，求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可求得最大值.【詳解】記該市去年人均收入為萬元，從該市任意選取3名市民，年收入超過100萬元的人數(shù)為.設(shè)從該市任選1名市民，年收入超過100萬元的概率為，則根據(jù)馬爾可夫不等式可得，，因為，所以，令，則，，即，在上單調(diào)遞增.，即.故選：B二、多選題9．隨機變量X服從以下概率分布：X123Pab若，則下列說法正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)離散型隨機變量的性質(zhì)，以及均值的計算公式，建立方程組，可得參數(shù)的值，根據(jù)均值的性質(zhì)以及方差的計算公式，可得答案.【詳解】由題意，，則；，則.由方程組，解得.，.故選：AD.10．關(guān)于二項式的展開式，下列說法正確的有（

）A．含的項的系數(shù)為B．二項式系數(shù)和為32C．常數(shù)項為10D．只有第3項的二項式系數(shù)最大【答案】BC【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后逐個分析判斷即可.【詳解】二項式的展開式的通項公式為，對于A，令，得，所以含的項的系數(shù)為，所以A錯誤，對于B，二項式系數(shù)和為，所以B正確，對于C，令，得，所以常數(shù)項為，所以C正確，對于D，因為二項式的展開式共有6項，所以第3項和第4項的二項式系數(shù)最大，即，所以D錯誤，故選：BC11．下列說法正確的有（

）A．若隨機變量X～0－1分布，則方差B．正態(tài)密度曲線在曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1C．若兩個變量的相關(guān)性越強，則其相關(guān)系數(shù)越接近于1D．若，，，則事件A與B相互獨立【答案】ABD【分析】對于，根據(jù)兩點分布的方差公式，再利用基本不等式即可；對于，由正態(tài)密度曲線在曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為概率，即可判定；對于，當(dāng)兩個變量為負(fù)相關(guān)時，相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)越接近于可判定錯誤；對于根據(jù)相互獨立事件的定義，結(jié)合概率計算，即可判定正確.【詳解】對于，因為隨機變量X～0－1分布，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以正確；對于，因為正態(tài)密度曲線在曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積就是概率，全區(qū)域概率為，所以面積為，故正確；對于,當(dāng)兩個變量為負(fù)相關(guān)時，相關(guān)性越強，其相關(guān)系數(shù)越接近于，故錯誤；對于，，，則事件A與B相互獨立，故正確.故選：12．如圖，正方形ABCD的邊長為2，和都與平面垂直，，點P在棱DE上，則下列說法正確的有（

）

A．四面體外接球的表面積為B．四面體外接球的球心到直線AE的距離為C．當(dāng)點P為DE的中點時，點到平面的距離為D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ACD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，列方程確定四面體外接球球心的坐標(biāo)和半徑，再求球的表面積判斷A，利用向量方法求球心到直線AE的距離判斷B，求平面的法向量，利用向量方法求點到平面的距離判斷C，求平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求直線與平面所成角的正弦值的最大值判斷D.【詳解】因為與平面垂直，平面，所以，因為四邊形為正方形，所以，以點為原點，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)四面體外接球的球心的坐標(biāo)為，則，所以，化簡可得，所以，所以球心的坐標(biāo)為，所以球的半徑，所以四面體外接球的表面積，A正確；直線的方向向量，又，所以向量在向量上的投影向量的模的大小為，所以點到直線的距離為，B錯誤；設(shè)平面的法向量為，則，又，，所以，取,則，所以為平面的一個法向量，若點P為DE的中點，則點的坐標(biāo)為，所以，所以點到平面的距離為，C正確；設(shè)，，則，又，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，所以為平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以，設(shè)，，則，，所以，由基本不等式可得當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以當(dāng)點為棱的靠近點的三分點時，直線與平面所成角的正弦值的最大，最大值為，D正確；故選：ACD.

【點睛】知識點點睛：本題考查的知識點有四面體的外接球，球的表面積，點到直線的距離，點到平面的距離，直線與平面的夾角，考查直觀想象，數(shù)學(xué)運算方面的核心素養(yǎng).三、填空題13．計算：.（用數(shù)字作答）【答案】35【分析】利用組合數(shù)公式計算即可.【詳解】.故答案為：3514．設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，則的一個可能的值為.【答案】（答案不唯一，在內(nèi)均可）【分析】先求出的范圍，然后利用條件概率公式求解即可.【詳解】因為A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，當(dāng)事件A，B為互斥事件時，，當(dāng)事件B包含事件A時，，即，所以，所以的一個可能的值為（答案不唯一，在內(nèi)均可）.故答案為：（答案不唯一，在內(nèi)均可）15．在棱長為6的正四面體（四個面都是正三角形）ABCD中，，，則直線AM與CN夾角的余弦值為.【答案】【分析】根據(jù)題意，連接，取上的三等分點，使得，連接，，即可得到直線AM與CN夾角為，再結(jié)合余弦定理，即可得到結(jié)果.【詳解】

由題意，連接，取上的三等分點，使得，連接，，因為，則，所以直線AM與CN夾角為，因為四面體的棱長為，則,，且，在中，由余弦定理可得，，則，又因為，則，且，所以，因為，所以，在中，由余弦定理可得，.故答案為：.四、雙空題16．一質(zhì)點從平面直角坐標(biāo)系原點出發(fā)，每次只能向右或向上運動1個單位長度，且每次運動相互獨立，質(zhì)點向上運動的概率為.質(zhì)點運動5次后，所在位置對應(yīng)的坐標(biāo)為（3，2）的概率為，質(zhì)點運動2023次后，最有可能運動到的位置對應(yīng)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)二項分布的概率公式，以及組合數(shù)的對稱性質(zhì)，可得答案.【詳解】由運動次后，所在位置對應(yīng)坐標(biāo)為，則運動中有次向右，次向上，由題意可得：其概率；設(shè)質(zhì)點運動次，所在位置對應(yīng)的坐標(biāo)為，則其概率，令，，解得，故當(dāng)時，取得最大值，此時質(zhì)點所在位置對應(yīng)的坐標(biāo)為.故答案為：；.五、解答題17．設(shè).(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)1【分析】（1）利用二項式定理即可求解；（2）利用賦值法即可求解.【詳解】（1）依題意得，，，∴（2）令，得，令，得，∵，∴.18．某市舉辦大型車展，為了解該市人民對此次大型車展的關(guān)注情況，在該市隨機地抽取男性和女性各100人進行調(diào)查統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：關(guān)注不關(guān)注合計男性5050100女性3070100合計80120200(1)能否有99%的把握認(rèn)為男性和女性對此次大型車展的關(guān)注程度有明顯差差異？(2)有3位市民去參觀此次大型車展，假設(shè)每人去新能源汽車展區(qū)的概率均為，且相互獨立.設(shè)這3位市民參觀新能源汽車展區(qū)的人數(shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)有(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)利用公式求解，再根據(jù)臨界值表進行判斷即可，（2）由題意知的可能取值為：0，1，2，3，而，所以利用二項分布的概率公式求出各自對應(yīng)的概率，從而可求得的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）提出假設(shè)：男性和女性對此次大型車展的關(guān)注程度沒有明顯差異.由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得：，因為當(dāng)成立時，，這里的，所以我們有99%的把握認(rèn)為男性和女性對此次大型車展的關(guān)注程度有明顯差異.（2）由題意知的可能取值為：0，1，2，3.因為，所以，其中0，1，2，3，故的概率分布表為：0123P所以，所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望為1.19．某校舉行勞動技術(shù)比賽，該校高二（1）班的班主任從本班的5名男選手和4名女選手中隨機地選出男、女選手各2名參加本次勞動技術(shù)比賽中的團體賽，并排好團體賽選手的出場順序.在下列情形中各有多少種不同的安排方法？(1)男選手甲必須參加，且第4位出場；(2)男選手甲和女選手乙都參加，且出場的順序不相鄰；(3)男選手甲和女選手乙至少有一人參加.【答案】(1)144(2)144(3)1008【分析】根據(jù)先選后排的原則，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運算求解.【詳解】（1）完成該件事情可分兩步進行：第一步，選出選手，有種方法；第二步，排好出場順序，有種方法，所以，共有種不同的安排方法.（2）完成該件事情可分兩步進行：第一步，選出選手，有種方法；第二步，排好出場順序，有種方法，所以，共有種不同的安排方法.（3）完成該件事情可分兩步進行：第一步，選出選手，“有男選手甲且無女選手乙”的選法種數(shù)為；“無男選手甲且有女選手乙”的選法種數(shù)為；“有男選手甲且有女選手乙”的選法種數(shù)為；第二步，排好出場順序，有種排法，所以，共有種不同的安排方法.20．設(shè)甲袋中有個白球和個紅球，乙袋中有1個白球和m（，）個紅球，這些球除顏色外完全相同，現(xiàn)先從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任意取出2個球，已知從乙袋中取出的是兩個紅球的概率為.(1)求的值；(2)在從乙袋中取出的兩球是一個紅球和一個白球的條件下，求從甲袋中取出的是兩個紅球的概率.【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)從乙袋中取出的是兩個紅球的概率列方程，化簡求得的值.（2）先求得“從乙袋中取出1個紅球和1個白球”的概率、求得“從甲袋中取出2個紅球”且“從乙袋中取出1個紅球和1個白球”的概率，根據(jù)條件概率計算公式求得正確答案.【詳解】（1）記事件：從甲袋中取出2個紅球，事件：從甲袋中取出2個白球，事件：從甲袋中取出1個紅球和1個白球，事件：從乙袋中取出2個紅球，事件：從乙袋中取出1個紅球和1個白球.因為，所以，所以（負(fù)舍），故的值為2.（2），，.所以在從乙袋中取出1個紅球和1個白球的條件下，從甲袋中取出兩個紅球的概率為.21．如圖，在直三棱柱中，，，D為AC的中點.請從條件①、②、③中選擇合適的兩個作為已知，并解答下面的問題：

(1)求二面角所成角的正弦值；(2)點P是矩形（包含邊界）內(nèi)任一點，且，求CP與平面所成角的正弦值的取值范圍.條件①：平面的面積為；條件②：；條件③：點到平面的距離為.【答案】(1)(2)【分析】首先以為一組正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系.若選①②，通過條件①②，的長度，進一步利用平面法向量的求法，求出平面和平面的法向量，利用公式計算即可；若選①③，通過條件①③，的長度，進一步利用平面法向量的求法，求出平面和平面的法向量，利用公式計算即可；若選②③，通過條件②③，的長度，進一步利用平面法向量的求法，求出平面和平面的法向量，利用公式計算即可；解法一：根據(jù)條件確定點的軌跡，設(shè)出點的坐標(biāo)后，利用條件可建立坐標(biāo)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，近一步利用向量求出線面的正弦值，利用函數(shù)關(guān)系可求出范圍；解法二：利用三個向量共面，建立三個向量之間的線性關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)后，可表示出點的坐標(biāo)，利用條件可建立坐標(biāo)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，近一步利用向量求出線面的正弦值，利用函數(shù)關(guān)系可求出范圍.【詳解】（1）因為直三棱柱，所以平面ABC，又CA，平面ABC，所以，，又.以為一組正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，（，），則，，，，，.

選①②因為直三棱柱中，平面平面且平面平面又，平面,又平面，.則又由①得平面的面積為，由②得，解得，.所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，，取，則，設(shè)平面的一個法向量為，則,，取，則，設(shè)二面角所成角的平面角為，所以，因為，所以，所以二面角所成角的正弦值為.選①③因為直三棱柱中，平面平面且平面平面又，平面,又平面，.又由①得平面的面積為，由①③得，即，解得，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，，取，則，設(shè)平面的一個法向量為，則,，取，則設(shè)二面角所成角的平面角為，所以因為，所以，所以二面角所成角的正弦值為.選②③，由②得，由②③得，即，解得，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，，取，則，設(shè)平面的一個法向量為，則,，取，則設(shè)二面角所成角的平面角為，所以，因為，所以，所以二面角所成角的正弦值為.（2）解法一：取AB中點Q，連接PQ，CQ，因為平面，平面，所以，因為，，所以，

所以