高等數(shù)學(上)總結(jié)

.大學課程教學總結(jié)課程名稱：高等數(shù)學（AdvancedMathematics）教學單位：課程代碼：微積分學（上）-----概括與總結(jié)第一、二章函數(shù)的極限與連續(xù)一、函數(shù)1、理解函數(shù)的概念(要求：會求定義域、對應法則、函數(shù)值)------函數(shù)的定義、分段函數(shù)、顯函數(shù)：yf(x)，隱函數(shù)：F(x,y)0參數(shù)式函數(shù)、反函數(shù)（求法）、復合函數(shù)、基本初等函數(shù)與初等函..頁腳.，.數(shù)2、掌握函數(shù)的幾何性質(zhì)1）．有界性：f(x)M（利用---定義、或閉區(qū)間上連續(xù)的有界性、或存在極限必有界-----判別）2）．奇偶性：若f(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)若f(x)f(x)，則f(x)為偶函數(shù)（注意：奇偶的結(jié)合律）單調(diào)增：(),()xxfxfx21123）．單調(diào)性：單調(diào)減：(),()xxfxfx2121則在上為單調(diào)增fxa,b（注意利用-----若fx0fx0加（減少），則稱最小正數(shù)l為f(x)的周期，f(x)為4）．周期性：若fxlfx周期函數(shù)。二、極限（重點-----極限、無窮大量與無窮小量的概念、求極限的方法）..頁腳..1、極限的概念與性質(zhì)1)函數(shù)與數(shù)列極限的定義（略）2）左右極限、極限存在的充要條件limfxA(存在）limfxlimfxA(存在）xx0xxxx00即--------------極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。3）極限的性質(zhì)-----有界性、唯一性、保號性。2、無窮大量與無窮小量1)定義：若f(x)0，則稱xxx時，f(x)為無窮小lim（或）0xx(x)0量limgx，則稱xx0(x)若)，時，g（x）是無窮大xx（或x0量。2)無窮大與無窮小的關系：lim0lim,limlim1013）、極限與無窮小量的關系：limf(x)=Af(x)Alim0無窮小量的性質(zhì)-----主要的：fx)0lim0,fx有界，lim（..頁腳..4）無窮小的階的比較定義：設,是同一種變化趨勢下的無窮小,即lim0,lim0,則：（1）如果（2）如果（3）如果,就說是比高階的無窮小,記作o；lim0lim,就說是比低階的無窮?。?就說與是同階無窮??；limc0（4）如果limc0，k0,就說是關于的k階無窮?。籯（5）如果,就說與是等價無窮小,記作～.lim1常見的等階無窮小：x0時，sinx~x,ln(1+x)~x,tanx:x，。ex1:x3、求極限的主要方法1）極限運算法則2）左右極限存在且相等3）極限存在的準則（兩邊夾Th.（準則）、單調(diào)有界Th.（準則））4）無窮大與無窮小的關系、無窮小量的性質(zhì)limsinx1lim(1)15）兩個重要極限（、e）xxxx0x00fx6）洛必塔法則（）或型0limxx0gxf'x=limxx0g'x=A(或)。..頁腳..三、連續(xù)1、函數(shù)連續(xù)的概念1）函數(shù)y=f（x）在x點連續(xù)的定義——（設y=f(x)在x點的某個00內(nèi)有定義）鄰域Ux0若limx0lim(f(x)x0fxfx)())（0或lim()則稱f(x)在x點0())yxfx000xx0連續(xù)，x稱為連續(xù)點。02）連續(xù)函數(shù)的定義-----若f(x)在(a,b)上點點都連續(xù)，則稱f（x）是（a，b）上的連續(xù)函數(shù)。(a,b)稱為f(x)的連續(xù)區(qū)間。若f(x)在a,b上連續(xù)，則還要求：limfxfa,(a點右連續(xù)）xalimfxfb,(b點左連續(xù)）xb3）間斷點的分類第一類間斷點（左、右極限存在的間斷點）：limf(x)limf(x)有窮跳躍間斷點可去間斷點：limf(x)limf(x)f(x)(舉例）xx0xx00xxxx00..頁腳..第二類間斷點（左、右極限至少一個不存在的間斷點）無窮間斷點(左、右極限至少一個是無窮的）振蕩間斷點2、連續(xù)函數(shù)的主要性質(zhì)1）一切初等函數(shù)在其定義域?qū)膮^(qū)間內(nèi)連續(xù)一定2）連續(xù)與極限的關系：連續(xù)3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)極限存在不一定若f(x)在[a,b]（1）、一定有界：|f(x)|M,x[a,b]（2）、一定存在最大值M和最小值m（最大和最小值Th.）。上連續(xù)，則（有界性Th.）。（3）、對于任一個u：muM，存在(a,b)使f()u（介值Th.）。（4）、如果f(a)f(b)0,那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點c，使f(c)（零點Th.）。=0第三章導數(shù)與微分一、導數(shù)與微分的概念..頁腳..1、導數(shù)定義f(xx)f(x)1)f'(x)limx0xf(xx)f(x)x2）f'(x)limx0000fxxfxfxlimx000x0fxhfx導數(shù)定義的幾種等價形式：limh000hlimfxfx0xxxx003）導數(shù)存在的充要條件是：左、右導數(shù)存在且相等，即f(xx)f(x)limf(x)f(x)f'(x)lim0（左導數(shù)）000xxx0x0xx0f(xx)f(x)limf(x)f(x)f'(x)lim0（右導數(shù)）000xxx0x0xx0'f'x（存在）f'xfx（存在）0002、導數(shù)的幾何意義tg=曲線f(x)在點f'(x)limy處的切線的斜率0(x,y)x00x0因此,曲線在點的yf(x)(x,y)00切線方程為：yy0'0()(fxxx)0..頁腳..1法線方程為：yy0(xx)0f'(x)03、微分的定義若Axoxyf(xx)f(x)增量微分dy==Axf'xdx4、連續(xù)、導數(shù)與微分的關系：一定可導不一定連續(xù)不一定不可導一定不連續(xù)連續(xù)不一定可導一定可微一定一定二、導數(shù)與微分基本公式）（導數(shù)）（微分）dc(c)'00d(x)x.dx1(x)'x1(sinx)'cosxdsinxcosx.dxdcosxsinxdxdtanxsec2xdxdcotxcsc2xdx(cosx)'sinx(tanx)(cotx)secx2''cscx2..頁腳..(secx)'secx.tanx(cscx)'cscx.cotx(ax)ax.lnadsecxsec.tanxxdxdcscxcscx.cotxdxdaxax.lnadxdexexdxex(ex)'11(logx)xlnad(logx)xlnadxaa(lnx)1xd(lnx)1dxx11x211x2(arcsinx)d(arcsinx)dx11x211x2(arccosx)d(arccosx)dx11(arctanx)1x2d(arctanx)1x2dx11dx(arccotx)1x2d(arccotx)1x2三、導數(shù)與微分法則1、四則運算法則設uu(x),vv(x)均可導、可微，則u也可導、可微uv,cu,vu,(v0)vduvdudv且①(uv)'u'v'dcucdu②(cu)'cu'duvvduudv③(uv)'u'vuv'uu'vuv'vduudvud④()'vvvv22..頁腳..ccv'ccdv⑤()'dvvv2v22、復合函數(shù)的微分法則（導數(shù)）若y=f(u),u=(x)均可導，則yfx也可導，且'y''fxfxx'dydydudxdudx或(微分)微分形式不變性：dfufudu'dfxf'xdxf'xxdx'的求導方法Fx,y03、隱函數(shù)方法一：復合求導法----方程兩邊對x求導，再解出y'方法二：微分法求導法----方程兩邊微分先出微分，再求導數(shù)4、對數(shù)求導法------先取對數(shù)后求導的方法5、高階求導法-----一階、一階地求導，再找規(guī)律..頁腳..xt6、參數(shù)方程確定的函數(shù)y=f(x)求導法12yt'd2y''1tttdydx'2dt'2---------y'2'dxdttdxtdxtt2'1'11t第四章微分中值定理與導數(shù)應用一、微分中值定理------費馬Th.、羅爾Th.、拉格朗日Th.、柯西Th.、泰勒Th.1、若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，則，羅爾fafbf'0(Th).至少存在一點a,b使fbfabafafb,(拉格朗日Th）f'a,b使一點.至少存在f'g'fbfa使,(柯西）Th.gx也滿足fx的條件gbga至少存在一點a,b2、2個推論f'(x）0f（x）cf'(x)g'(x)f(x)g(x)c,ab3、泰勒Th.若在含有x的某個區(qū)間內(nèi)存在直到n1階導fx0數(shù)，則對該區(qū)間內(nèi)任意點x都有：a,b..頁腳..fxfxnfxfxfxxxxxxxRx00n2!n!00000nfn1其中：xxn10，（在x與x之間的數(shù)）稱為拉0Rxnn1!格朗日型余項，且oxxn0另外有LL佩亞諾型余項Rxxxn0limxx00當x0時，泰勒公式稱為麥克勞林公式：0xxn1fn1n1!fx0fnnxkRxn,Rxn,01k!k0二、洛必塔法則00limfx（）或型gxxx0f'x=limg'xxx0=A(或)。00（其他未定型極限要先化為或型后才用該法則）三、函數(shù)單調(diào)性\曲線的凹凸性及拐點的判別方法1、（）函數(shù)為單調(diào)增加的（減少的）f'x0f'x0fx>0(<0)，曲線曲線f(x)xa,b在上為a,b2、f"xf''x凹（凸）的；..頁腳..為曲03、若''()=0，且x點左、右邊二階導數(shù)變號，則0fx,()xfx00線的拐點。四、函數(shù)的極值與最大、最小值及其求法fx001、可微的在點取得極值的必要條件為：yfxxx02、極值的判別方法：0（或x點左邊，右邊）fx0fx00fx1）若100fx00則fx為極大值00fx2）若（或x點左邊,右邊）20fx0fx00fx000則fx為極小值03、函數(shù)的最大、最小值求法-----------求出駐點，奇異點和區(qū)間端點的函數(shù)值加以比較，最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲翟赼,b內(nèi)有唯一駐點，且是極大值（極小值），那么fx一若fxx0fx00在[a,b]fx上的最大值（最小值），這時fx在[a,b]上的最小值（最大值）定是一定是fa和fb的最小者（最大者）.五、求漸近線的方法1、若(),則yc為曲線yf(x)的一水平漸近線Limfxcx..頁腳..2、若Limf(x),則xx為曲線yf(x)的一垂直漸近線0xx0f(x)3、若Lima,且Limf(x)axb,則yaxb為曲線yf(x)的一斜漸近線xxx作圖(略)六導數(shù)與微分在經(jīng)濟中的簡單應用1、經(jīng)濟學中常用的函數(shù)（1）需求函數(shù)Qf(p)（單調(diào)減函數(shù)）（2）供給函數(shù)（單調(diào)增函數(shù)）Qp（3）成本函數(shù)總成本函數(shù)Cf(x)或CvxC0其中v為單位可變成本（如需用的勞力、原材料等），C為固定成本0總成本函數(shù)C除以產(chǎn)量x稱為平均成本函數(shù).記為C(x)f(x).x（4）收益函數(shù)Rpq.其中p為單價，q為產(chǎn)品銷量.（5）利潤函數(shù)總利潤函數(shù)為總收入減去總成本，即LRC平均利潤函數(shù)為..頁腳..LRCq2、邊際函數(shù)與邊際分析一個函數(shù)的導數(shù)在經(jīng)濟上稱為邊際函數(shù)。一般上，函數(shù)的導數(shù)在經(jīng)濟上稱為邊際。例如總成本（收益、利潤）函數(shù)的導數(shù)在經(jīng)濟上稱為邊際成本（收益、利潤），利用導數(shù)分析解決經(jīng)濟上的問題，稱為邊際分析。最大利潤的原則是：必要條件：充分條件：R'xCx(Lx0)''R''xCx(Lx0)''''3、彈性函數(shù)與彈性分析在經(jīng)濟上，把某一個經(jīng)濟變量對另一個經(jīng)濟變量變化的反映程度稱為彈性(或彈性系數(shù))。例如，商品的需求量（商品的供給量）對價格變化的反映程度稱為需求的價格彈性(供給的價格彈性)，簡稱需求彈性（供給彈性）。且在經(jīng)濟上，邊際函數(shù)彈性函數(shù)=。平均函數(shù)設某商品的需求函數(shù)為，則該商品的Qfp(Q為需求量，p為價格）需求彈性定義為EQpdQEpQdp。當價格上升（下降）百分之一時，需求量減少（增加）百分之EQ。Ep..頁腳..在經(jīng)濟中，一般上當<1時，說明需求量的變化幅度小于價格的變化幅度（缺乏彈性）EQ>1時，說明需求量的變化幅度大于價格的變化幅度（富有彈性）Ep=1時，說明需求量的變化幅度等于價格的變化幅度（單位彈性）第五章不定積分一、不定積分的概念與性質(zhì)1、概念：若F‘(x)=f(x),xI，則稱F(x)是f(x)（xI）的一個原函數(shù).F（x）+c稱為f(x)的不定積分，記為f(x)dx，即f(x)dxF(x)c，2、不定積分的性質(zhì)1）積分與微分的關系：(f(x)dx)'f(x)f'(x)dxf(x)cdf(x)f(x)cd(f(x)dx)f(x)dx2)積分的運算性質(zhì)：..頁腳..kf(x)dxkf(x)dx2[f(x)f(x)]dxf(x)dxf(x)dx1213)積分的形式與積分變量選擇無關若f(x)dx=F(x)+c則。fuduFuc二、積分基本公式1、0dxc3、xndx2、kdxkxc1n14、1xxn1c(n不為1)dxln|x|c5、axdxa6、exdxxcecxlna7、cosxdxsinxc8、sinxdxcosxcsec2xdx1dxtanxc9、10、cos2xcsc2xdx1dxcotxcsin2x11、12、cscxcotxdxcscxcsecxtanxdxsecxc13、1dxarcsinxc（或arccosxc）1x214、11x2dxarctanxc(或arccotxc)15、tanxdxLncosxc16、cotxdxLnsinxc17、secxdxLnsecxtanxc18、cscxdxLncscxcotxc19、120、1a2x2dx1arctanadxarcsinxcaxcaa2x2..頁腳..21、等。LnxdxxLnx1c三、掌握主要的積分方法與技巧1、第一換元積分法（湊微分法）若,可微F'(u)f(u)ux()xdx（對比積分公式-------）fuduFuc則[()]'()fxxfxdx湊微分'xdxd換元fuduxu積分Fuc代回Fxcxu2、第二換元積分法（變量代換法）fxdx（對x難積分）換元（）t單調(diào)可微，且t0'fttdtx'xt化簡gtdt（變形后對t易積分）Gtc積分反代G1xct1x一般上，若f(x)含有因子：1）．a(chǎn)xb或eaxb,則設t求積分2）．3）.a2x2,則設xasint或xacost求積分a2x2,則設xatant或xacott求積分..頁腳..4）.x2a2積分,則設xasect或xacsct求3、分部積分法（或部分積分法）1fxfxfxfxdx或dx12給出2LIATE如何udvuvvdu方法4、有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式的積分法tan2x（用綜合除法、（設t待定系數(shù)法）或tsinx等）第六章定積分一、定積分的概念與性質(zhì)1、定積分的概念s=n或0fxnlimbfxdxiiai1積分變量選擇無關，即bf(x)dxbf(t)dt。aa..頁腳..定積分的幾何意義-------曲邊梯形的面積S2、定積分的性質(zhì)bkdxk(ba)(k為常數(shù)，下同）1）、ak1時bdxbak0時b0dx0aa2）、（規(guī)定）af(x)dx0a3）、bf(x)dxaf(x)dxab4）、bkf(x)dxkbf(x)dxaa5）、b[()fxf(x)]dxbf(x)dxbf(x)dx1212aaa6）、bf(x)dx=cf(x)dxbf(x)dxaac7）、若f(x)g(x),x[a,b]，則|()||bf(x)dxbgxdx()特別地，fxdxbf(x)dx|baaaa若最小值mfxM最大值,xa,b8）、（積分估值Th.）則mbabfxdxMbaa9）、（積分中值Th.）若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則在（a,b）內(nèi)至少存在一點c，使得bf(x)dxf(c)(ba)a10）、（奇偶性）2afxdx,(fx為偶函數(shù)00,(fx為奇函數(shù)）afxdx)a二、可變上、下限積分及其求導Th..頁腳..1．'xddxxftdtfxag'xddx2．bftdtfxxfxx'3．ddxxftdta=fxx'4．d[dxf（t）dt]b（x）''xfxx5．ddxftdtxfx2x22111三、牛頓---萊布尼茲公式Newton----Leibniz公式：，則Fxfx若在[a,b]上連續(xù).且fxbf(x)dxF(x)|bF(b)F(a)aa四、定積分的換元積分法與分部積分法1、第一換元積分法設F(u)f(u),u(x)可微則有..頁腳