第43講利用空間向量求空間角和距離備戰(zhàn)2021年新高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)精講與達(dá)標(biāo)測(cè)試

第第#頁(yè)/共18頁(yè),n.OP=2z=0 ,可得丙=（2,i,o）,nfOC=-x+2y=0?BM1jT\\\]PCO所成角為“則sin0os<BM>1=1則sin0os<BM>1=1BM?汛I帀IIBMI11?（2020*長(zhǎng)春四模）已知正方體ABCDfBCU的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M,N分別是棱BC,CC；的中點(diǎn)，則二而角C-AM-N的余弦值為若動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCCE包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且PA,//平而AMN,則線段f的長(zhǎng)度范用是—?【分析】易知ZNQC為二面角C-AM-N的平面角,利用相似的性質(zhì)可求得CQ,進(jìn)而求得NQ,由此得解二面角C-AM-N的余嘲建立空間直角出棟系，可求得點(diǎn)P的軌跡為經(jīng)過(guò)碼,中點(diǎn)的線段，再根據(jù)對(duì)稱性即可求得線段P\長(zhǎng)度的最值，進(jìn)而得到取值范國(guó).【解答】解：延長(zhǎng)AM至0，使得C0丄AQ,連接阿，如圖，由于ABCD-AB.C.D,為疋方體，由三垂線左理易知ZNQC為二而角C-/\M-N的平而角，而4nZCM0=sinZAM〃=竺=竺=j?=二故CQ=2cM-,CMAMVFnV5 75書

皿俗二尋Z恥C喘斗以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Pg2,“)(0W加，，02)，A(2,0,0),M(l,2,0),N(0,2,1),兒(2,0,2),v*AM=-x+2y=0v^AN=-2x+2y+z=0則麗=(一1,2,0),麗=(一221)?喬=(加一v*AM=-x+2y=0v^AN=-2x+2y+z=0,故町取v=(2丄2).乂PA//T?而血V，???喬.0=2(加一2)+2+2(n-2)=加+”一3=0,??.點(diǎn)P的軌跡為經(jīng)過(guò)坊q中點(diǎn)的線段,111摳對(duì)稱性可知，、”1點(diǎn)P在兩個(gè)中點(diǎn)時(shí)，If嚴(yán)Q+1=75?、”|點(diǎn)P在兩個(gè)中點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí),IP4I還=押)二(當(dāng))2=罕，故選段S的長(zhǎng)度范國(guó)是［婆,石］.故答案為：扌，［學(xué),石］.故答案為：扌，［學(xué),石］.如圖，四棱錐PJBCD中，刃丄底而ABCD..1D//BC,AB=AD=AC=3,E」=EC=4,M為線段AD±一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).證明：胚V〃平而E1B：求直線AN與平而RMV所成角的正弦值.

2解:(1)證明：由已知得JM=〒LD=2?取腫的中點(diǎn)八連接皿TN.由N為PC的中點(diǎn)知TN//BC,TN=^BC=2.又AD//BC、故TN臥1M、四邊形為平行四邊形，于是MN//AT.因?yàn)镴Tu平而REMN/平而刃D所以MV〃平而刃B(2)取BC的中點(diǎn)E,連接/E由.1B=AC得 丄EC.從而AEL.1D,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，ME,.ID,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.由題意知，P(0,04)，A/(020),C&L2,0),爭(zhēng)，1，2)，PM=(0,2,-4),7?/=伴,1,-2),陽(yáng)=(羋，1,2)設(shè)n=(x,y.2)為平而PMV的法向量，則〃加=0,"麗〃加=0,"麗=0,2v~4z=0t即儈+宀“可取n=(021)?于是|cos(n,~AN)1=KJ^1=^網(wǎng)屈I25設(shè)dV與平而PMN所成的角為&，則sin&=警,即宜線zLV與平而FMV所成角的正弦值為攀.已知在四棱錐PJBCD中，平而PDC丄平WiABCD.AD丄DC—15〃CD.15=2,DC=4,E為PC的中點(diǎn)，PD=PC、BC=2?求證：BE〃平ifiiPW；若丹與平面.133所成角為45。，點(diǎn)P在平而■拐CD上的射影為O,問(wèn)：EC上是否存在一點(diǎn)F,使平而POF與平而所成的角為60。？若存在，試求點(diǎn)F的位置；若不存在，諳說(shuō)明理由.解：(1)證明：取PD的中點(diǎn)連接dH,EH、則E7/〃CD,EH=*D,頭AB//CD.AB=^CD=2,:.EH//AB9且EH=AB9???四邊形,毎￡円為平行四邊形，故BE//H丄又BE?平面RID.HJu平面RLD,.??恥〃平面R1D.(2)存在，點(diǎn)F為BCM)中點(diǎn)?理由：???平面PDC丄平面ABCD,PD=PC,作PO丄DC,交DC于點(diǎn)O,連接0從可知O為點(diǎn)P在平面JPCD上的射影.則ZPBO=45Q.由題可知OB9OC9OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)P,OCtOP所在直線為x軸，y軸，2軸建立空間直角坐標(biāo)系O刃已由題知OC=2,BC=2逗,:?OB=2,由ZP5(9=45°,可知OP=OB=2,AP(0.0,2),J(2t一2,0),2(200),C(0,2、0)?設(shè)F(x,y,z),5F=xTc,則(x-2,y,z)=2(—220),解得x=2—2人y=2Afz=0,可知F(2_2A,2a,0),設(shè)平面E15的一個(gè)法向量為m=(xi,vi,zi),???正『=(2,-2,-2), (0.2,0),7/1PA=0,/O|2xi-2yi-2zi=0,得LjirAB=0,[2yi=0,令zi=l,得m=(1Q1)?設(shè)平面POF60—個(gè)法向量為n=(X2,yz,Z2),???O0=(OQ2).PF=Q_2兒22,0),

nOP=0,

nOP=0,

jroF=0,得乃L”.(2—2x)x2+2Ay2=0,令》2=1,得n=(；1,0)解得2=]可知當(dāng)F為PC的中點(diǎn)吋，兩平面所成的角為60°.14?如圖，四棱錐人拐CD的底而是平行四邊形，且PD丄從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件證明:朋丄平而EID①O是-Q的中點(diǎn)，且BO=CO；?AC=BD.在(1)條件下，若,Q=215=4,PA=PD,點(diǎn)M在側(cè)棱PD上，且加=3A/D,二而角RBC-D的大解：(1)證明：選擇條件②???四邊形為平行四邊形，且AC=BD,:.四邊形ABCD為矩形,MB丄又9：AB丄PD,JLADQPD=D9古攵丄平面E1D選擇條件①在平行四邊形.15CD中，設(shè)N是EC的中點(diǎn)，連接ON,如圖，因?yàn)镺是.3的中點(diǎn).所以AB//ON.頭BO=CO,所以O(shè)NA.BC.所以“松丄BC,又在平行四邊形JBCD中，BC//AD,所以ABLAD.

US丄PD,且PDC\AD=D9-Wc平面RID,PDu平面RID,故丄平面RID.(2)由⑴知MB丄平面PAD,又平面ABCD、于是平面RLD丄平面?￡5CD.連接PO,PN,由PA=PD,可得PO丄JD,則PO丄BC,又ON丄BC,POaNO=O,所以BC丄平面TWO,所以PN丄PC,由此得PO=AB=2.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn).ON,OD,OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則2(0,—2,0),B(2,-2,0),C(2,2,0),P(0.0,2),由PD=3MD可得頼0,扌，扌)，>.(102\ ?所以AC=(2A0),dAf=(0,y,計(jì)，BP=(-2,2,2)?設(shè)平面MAC的法向量為n=(xf”z),”zLVf=02x+4y=0,”zLVf=02x+4y=0,=>.l(h+2z=0,所以n=(—2,1,—5)為平面M4C的一個(gè)法向瑩.設(shè)直線腫與平面M4C所成的角為0,則sm0=則sm0=14+2-iQ_yio2y[3y[30_15?故直線BP與平面NL1C所成角的正弦值為警.15.(2020-合肥三模)如圖,邊長(zhǎng)為2的等邊A4BC所在平而與菱形A.ACC.所在平而互相垂直，Ac=屈5M為線段AQ的中點(diǎn).求證：平而B(niǎo)MC；丄平面A.BC；；求點(diǎn)C到平而ABG的距離.

【分析】(1)山Ll知得AC丄AC「求解三角形得GM丄AC.進(jìn)?步得到GM丄AG?在等邊AABC中，丄AC,可得BM丄AC；.由直線與平面垂直的刈左得到AG丄T?而B(niǎo)MC；,從而得到平而B(niǎo)MC；丄丫而ABC]:(2)ill：明丄平而ACC}\,知直線MS，MC，MG兩兩垂宜.以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以MB，MC，MC；所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)琨，求出平而\BCX的一個(gè)法向量亓，再求出疋的坐標(biāo)，利用公式d=冬割求點(diǎn)c到平而4BG的趴離.【解答】(1)證明：???四邊形AACG是菱形????4C丄AC「乂?.?AXC=y/3AC},/.tanZACAt=-= =——?詁c3得"3=30。，則ZACC,=60°?可得AACG是等邊三角形.?.?點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，二丄AC.又VAC/Z^Q,/.C}M丄4G????在等邊4WC中，BM丄AC?由AC//4G可得，BM丄4G?又?.?BMp|C、M=M,/.AG丄平面BMC\,???AGu平而/\BC「???平而B(niǎo)MC、丄平而ABC,:(2)解:\丄AC.平而ABC丄平而AACC「且交線為AC,:BM丄平而ACG4，???直線MB,MC, 兩兩垂直.以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以MB,MC,MC；所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則 C,(0,0,>/3),A(0,—2?>/T),C(0,b0),???月石=(020),bGZLoJ),CCt=(0,-L^).

i-zTini\BCX的一個(gè)法向雖為n=(a;”z),令令x=得>i=(LOJ),\CC\.n\_y/3_y/6l/il=V2=T[B組]—強(qiáng)基必備1.已知四棱錐P-ABCD的底而ABCD是直角梯形,AD//BC,丄BC,AB=書,BC=2AD=2,E為CQ的中點(diǎn)，PBSE.(1)證明：平而PBD丄平而J5CD；(2)若PB=PD,PC與平而腫CD所成的角為務(wù)試問(wèn)“在側(cè)而PCD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使得丄平面PCD?-若存在，求出點(diǎn)N到平而?毎CZ)的距離：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)證明：由四邊形ABCD是直角梯形,AB=EBC=2AD=2,AB丄BC\可得DC=29ABCD=j,從而△BCD是等邊三角形，BD=2,BZ)平分ZADC.?:E為CD的中點(diǎn)，/.D￡=-W=1t???ED丄2E,漢???PB丄JE,PBQBD=B9:.AE丄平面PBD又???d￡u平面ABCD,

???平面丄平面ABCD.(2)在平面內(nèi)作PO丄BD于O,連接OC,又???平面丄平面ABCD.平面PBDC平面ABCD=BD9:.PO丄平面ABCD.:.ZPCO為PC與平面ABCD所成的角.則ZPCO=*???由題意得OP=OC=E?:PB=PD,POIBD,二。為肋的中點(diǎn)，：.OC丄BD以O(shè)B,OC9OP所在的直線分別為x軸，y軸.z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則