信號(hào)與系統(tǒng)-第8章

第8章連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析主要內(nèi)容8.1拉普拉斯變換分析法8.2系統(tǒng)函數(shù)的表示8.3極點(diǎn)零點(diǎn)分布與時(shí)域響應(yīng)特性8.4極點(diǎn)零點(diǎn)分布與系統(tǒng)頻率特性8.5波特圖8.6線性系統(tǒng)的模擬8.1拉普拉斯變換分析法

拉普拉斯變換在線性電路的分析與設(shè)計(jì)中占有相當(dāng)重要的地位，利用拉普拉斯變換方法分析電路稱為電路的復(fù)頻域分析或s域分析。電路的某些特性在s域中分析較為方便。當(dāng)電路中含有沖激電壓或電流時(shí)，用拉普拉斯變換法分析要比時(shí)域分析方便。由于s域電路方程為代數(shù)方程，因而電路設(shè)計(jì)常常在s域中進(jìn)行。此外，電路的頻率響應(yīng)特性也常常借助于s域函數(shù)進(jìn)行分析。應(yīng)用拉普拉斯變換求解微分方程

當(dāng)電路或系統(tǒng)的輸入輸出微分方程已知時(shí)，可直接對(duì)微分方程應(yīng)用單邊拉普拉斯變換，利用時(shí)域微分性質(zhì)求出s域輸出Y(s)，對(duì)其取逆變換得到時(shí)域解y(t)。

從該例可看出，用拉普拉斯變換法求解微分方程不需要專門求解t=0+時(shí)刻的輸出及其導(dǎo)數(shù)，并且可直接得到全響應(yīng)。通過(guò)上例可以看到，利用拉普拉斯變換可以避開煩瑣的求解微分方程的過(guò)程。特別是對(duì)于高階微分方程，拉氏變換法可以使計(jì)算量大大減小。電路元件的復(fù)頻域模型

對(duì)于比較復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)（支路或結(jié)點(diǎn)較多），列寫微分方程本身也是一件煩瑣的事情。對(duì)于線性時(shí)不變電路，可不必列寫微分方程，直接把時(shí)域的電路模型轉(zhuǎn)換為s域電路模型，在s域內(nèi)寫出電路的代數(shù)方程形式，然后進(jìn)行求解。電路元件的s域串聯(lián)模型元件s域模型（串聯(lián)形式）

電路元件的s域并聯(lián)模型元件的s域模型（并聯(lián)模式）

把電路中的每個(gè)元件都用它的s域模型來(lái)代替，將信號(hào)用其變換式代替，于是就得到該電路的s域模型圖。對(duì)此模型利用KVL和KCL分析可以得到所需求解的變換式，這樣就用代數(shù)運(yùn)算代替了求解微分方程。線性電路的復(fù)頻域分析

使用復(fù)頻域分析法分析線性電路的過(guò)程為：（1）求解電容的初始電壓和電感的初始電流；（2）給出電路的復(fù)頻域模型；（3）建立復(fù)頻域電路的代數(shù)方程并求解；（4）對(duì)輸出量的復(fù)頻域函數(shù)取逆變換。8.2系統(tǒng)函數(shù)的表示法系統(tǒng)函數(shù)的定義:線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)可定義為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)的拉氏變換Y(s)與系統(tǒng)激勵(lì)x(t)的拉氏變換X(s)之比。

系統(tǒng)函數(shù)也稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。在系統(tǒng)分析中，由于激勵(lì)與響應(yīng)信號(hào)可以是電壓，也可以是電流，因此系統(tǒng)函數(shù)可以是阻抗（電壓除以電流）或?qū)Ъ{（電流除以電壓），也可以是數(shù)值比（電壓除以電壓或電流除以電流）。此外，當(dāng)系統(tǒng)為一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)，激勵(lì)與響應(yīng)在同一端口，如圖8.2(a)中的Ui(s)與Ii(s)，則系統(tǒng)函數(shù)稱為策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)或驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)。

若系統(tǒng)為一個(gè)四端網(wǎng)絡(luò)，激勵(lì)與響應(yīng)不在同一端口，如圖8.2(b)中的Ui(s)［或Ii(s)］與Uo(s)［或Io(s)］，則此系統(tǒng)函數(shù)稱為轉(zhuǎn)移函數(shù)或傳輸函數(shù)。由此可知，策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)可能是阻抗或?qū)Ъ{，而傳輸函數(shù)可能是阻抗、導(dǎo)納或傳輸比值。圖8.2系統(tǒng)函數(shù)（策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)與轉(zhuǎn)移函數(shù)）在實(shí)際中，通常用系統(tǒng)函數(shù)描述系統(tǒng)，其框圖表示如圖5.8所示。

圖8.3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述5.5.3用系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)在求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)時(shí)，它等于系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)與激勵(lì)信號(hào)x(t)之卷積，即y(t)=h(t)*x(t)若Y(s)、H(s)、X(s)分別表示y(t)、h(t)、x(t)的拉氏變換，根據(jù)拉氏變換的時(shí)域卷積定理，式（5-28）可表示為Y(s)=H(s)X(s)因此，只要知道了系統(tǒng)函數(shù)H(s)，對(duì)任意激勵(lì)信號(hào)x(t)拉普拉斯變換為X(s)后，二者相乘即可得到任意信號(hào)下的零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換Y(s)，再求拉氏逆變換即可得y(t)。系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)極點(diǎn)pi與零點(diǎn)zj的數(shù)值可以是實(shí)數(shù)、純虛數(shù)或復(fù)數(shù)。由于A(s)與B(s)的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，所以零極點(diǎn)中若有虛數(shù)或復(fù)數(shù)，則必然共軛成對(duì)，因此H(s)的極點(diǎn)或零點(diǎn)存在以下幾種類型：一階實(shí)極點(diǎn)或?qū)嵙泓c(diǎn)；一階共軛極點(diǎn)或共軛零點(diǎn)；二階或二階以上的實(shí)、共軛極點(diǎn)或零點(diǎn)。

8.3極點(diǎn)零點(diǎn)分布與時(shí)域響應(yīng)特性

系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖:把系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)在s平面上標(biāo)注出來(lái)，極點(diǎn)用×表示，零點(diǎn)用○表示，就稱為系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)圖。從零極點(diǎn)圖可以看出系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)在s平面的分布情況。利用系統(tǒng)函數(shù)在s平面的零極點(diǎn)分布可以分析系統(tǒng)的時(shí)域特性，求解系統(tǒng)的自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)、暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。利用H(s)的零極點(diǎn)分布還可以方便地求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，從而對(duì)系統(tǒng)的頻域特性進(jìn)行分析。

H(s)的零極點(diǎn)圖如圖8.4所示。用符號(hào)○表示零點(diǎn)，×表示極點(diǎn)，在同一位置畫出了兩個(gè)相同的符號(hào)表示二階極點(diǎn)或零點(diǎn)。圖8.4H（s）的零極點(diǎn)圖

系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布確定時(shí)域特性系統(tǒng)函數(shù)H(s)與沖激響應(yīng)h(t)是一對(duì)拉氏變換，因此根據(jù)H(s)的零極點(diǎn)在s平面上的分布就可以確定系統(tǒng)的時(shí)域特性。1.系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)與時(shí)域特性的關(guān)系（1）若一階極點(diǎn)位于s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)（2）若一階極點(diǎn)位于s平面的實(shí)軸上，且極點(diǎn)為負(fù)實(shí)數(shù)，p=-a<0

（3）若一階極點(diǎn)位于s平面的實(shí)軸，且極點(diǎn)為正實(shí)數(shù)，p1=a>0（4）若有一對(duì)共軛極點(diǎn)位于虛軸，p1=jω0及p2=-jω0

（5）若有一對(duì)共軛極點(diǎn)位于s左半平面，即p1=-a+jω0，p2=-a-jω0，-a<0（6）若有一對(duì)共軛極點(diǎn)位于s右半平面，即p1=a+jω0，p2=a-jω0，a>0（7）若有二階極點(diǎn)位于s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，即p1，2=0（8）若有二階極點(diǎn)位于負(fù)實(shí)軸，即p1，2=-a，a>0（9）若二階共軛極點(diǎn)位于虛軸，即p1，2=jω0，p3，4=-jω0

綜上所述，若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)位于s左半平面，則沖激響應(yīng)h(t)的波形呈衰減變化，若H(s)的極點(diǎn)位于s右半平面，則h(t)呈增幅變化。當(dāng)一階極點(diǎn)位于虛軸時(shí)，對(duì)應(yīng)的h(t)成等幅振蕩或階躍變化。若二階極點(diǎn)位于虛軸，則相應(yīng)的h(t)呈增幅變化。系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)與時(shí)域特性的關(guān)系:

H(s)的極點(diǎn)位置與沖激函數(shù)的形狀有著重要關(guān)系，而H(s)的零點(diǎn)分布只影響到?jīng)_激函數(shù)的振幅與相位，而對(duì)于h(t)的波形形式不起作用。

8.4極點(diǎn)零點(diǎn)分布與系統(tǒng)頻率特性

在s平面，任一復(fù)數(shù)都可用一有方向的線段表示，這稱為矢量。例如，某一極點(diǎn)pi可以看成自坐標(biāo)原點(diǎn)指向該極點(diǎn)的矢量，如圖5.19（a）所示。矢量的長(zhǎng)度表示模|pi|，其相角是自實(shí)軸反時(shí)針?lè)较蛑猎撌噶康膴A角，變量jω也可以用矢量表示，如圖5.19（b）所示。于是jω-pi就是矢量jω與矢量pi的差矢量，當(dāng)ω變化時(shí)，差矢量也隨之變化。圖8.8零點(diǎn)與極點(diǎn)的矢量表示8.5波特圖

頻率特性曲線是實(shí)際中表示系統(tǒng)特性最常用的形式，但要比較精確地繪制頻率特性，則是非常麻煩的事，一種簡(jiǎn)便繪制系統(tǒng)頻率特性且具有實(shí)用精度的方法，由美國(guó)貝爾實(shí)驗(yàn)室的學(xué)者波特(波德)(H.W.Bode)提出，并得到廣泛應(yīng)用。波特圖：以對(duì)數(shù)標(biāo)尺，根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極零點(diǎn)分布用折線近似來(lái)繪制頻率響應(yīng)曲線。

其縱坐標(biāo)2.繪制原理對(duì)上式兩邊取自然對(duì)數(shù)得式中：為對(duì)數(shù)增益，單位奈培(Np)；()為相位，單位為弧度(rad)或度。增益更常用的單位是分貝(dB)：由上式可知，只要先求出每個(gè)因式的特性曲線，再用加減組合的方法就可以求得系統(tǒng)總的頻率特性。2.畫法對(duì)數(shù)幅值(1)常數(shù)(不隨頻率變化)20lgH0相位為零。(2)位于原點(diǎn)的極點(diǎn)這是一條斜率為-20的直線，與軸相交于=1當(dāng)lg移動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，相當(dāng)于坐標(biāo)移動(dòng)一個(gè)10倍。因?yàn)閘g10=1，所以對(duì)數(shù)幅值直線的斜率為-20dB/10倍頻。

相位()=-90o(對(duì)所有的)同理，位于原點(diǎn)的零點(diǎn)：20lg是一條通過(guò)=1,斜率為20dB/10倍頻的直線

相位()=90o（對(duì)所有的）20110-20100

G()(dB)20dB/10倍頻-20dB/10倍頻1-90o90o()

10100(3)一階零點(diǎn)（極點(diǎn)）令

1/T1,G1(

)10lg1=0稱為對(duì)數(shù)頻率特性的低頻漸近線方程,與橫坐標(biāo)軸重合。

1/T1,G1(

)20lgT1=20lg

高頻漸近線方程式，它與低頻漸近線交于

=1/T1處。這里研究1/T1稱為交接頻率(斷點(diǎn)）。相頻特性若當(dāng)

遠(yuǎn)離斷點(diǎn)時(shí)，此折線較精確地表示實(shí)際曲線，在斷點(diǎn)處誤差最大為3dB2040-40-20110102103

20dB/10倍頻-20dB/10倍頻45o90o110102103