一些特殊曲線課件

5旋輪線

6旋輪線也叫擺線7旋輪線是最速降線8心形線9星形線10圓的漸伸線11笛卡兒葉形線1213阿基米德螺線14線

主目錄（1–25）1516231曲邊梯形的面積4曲邊扇形的面積2021/12/21一些特殊曲線19平行截面面積為已知的立體的體積。20半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。21求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積。22旋轉(zhuǎn)體體積(y

=f(x)繞x軸)23旋轉(zhuǎn)體體積(x

=g(y)繞y軸）24旋轉(zhuǎn)體體積（柱殼法）

25旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積1817求由雙紐線內(nèi)部的面積。.2021/12/22一些特殊曲線元素法1化整為零2以直代曲

(以常代變)3積零為整yxoy=f(x)ab..分法越細，越接近精確值1.

曲邊梯形的面積f(

i).2021/12/23一些特殊曲線元素法4取極限yxoy=f(x)令分法無限變細.ab...分法越細，越接近精確值1化整為零2以直代曲

(以常代變)3積零為整1.

曲邊梯形的面積.f(

i)2021/12/24一些特殊曲線元素法4取極限yxoy=f(x)令分法無限變細....分法越細，越接近精確值1化整為零2以直代曲

(以常代變)3積零為整1.

曲邊梯形的面積.f(

i)S

=.S.ab2021/12/25一些特殊曲線–2。。0yx2.44–4解方程組：得交點：(8,4)，(2,–2)問題：選誰為積分變量？2021/12/26一些特殊曲線。。3.xyo3–3得兩切線的斜率為故兩切線為其交點的橫坐標為。。S=l1l22021/12/27一些特殊曲線

(

)d

o

+d

r=

(

)元素法1取極角

為積分變量，其變化區(qū)間為[,]以圓扇形面積近似小曲邊扇形面積，得到面積元素：..

4.曲邊扇形的面積dSS3作定積分.r

2021/12/28一些特殊曲線xa圓上任一點所畫出的曲線。5.

旋輪線一圓沿直線無滑動地滾動，2021/12/29一些特殊曲線x來看動點的慢動作圓上任一點所畫出的曲線。.一圓沿直線無滑動地滾動，5.

旋輪線2021/12/210一些特殊曲線2a2

a0yx

ax=a(t–sint)y=a(1–

cost)t

的幾何意義如圖示ta當

t

從0

2，x從0

2a即曲線走了一拱a圓上任一點所畫出的曲線。5.

旋輪線.一圓沿直線無滑動地滾動，2021/12/211一些特殊曲線x=a(t–sint)y=a(1–

cost)將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板6.

旋輪線也叫擺線單擺2021/12/212一些特殊曲線x=a(t–sint)y=a(1–

cost)將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板.單擺6.

旋輪線也叫擺線2021/12/213一些特殊曲線單擺.6.

旋輪線也叫擺線x=a(t–sint)y=a(1–

cost)將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板2021/12/214一些特殊曲線兩個旋輪線形狀的擋板,

使擺動周期與擺幅完全無關。在17世紀，旋輪線即以此性質(zhì)出名，所以旋輪線又稱擺線。單擺.6.

旋輪線也叫擺線x=a(t–sint)y=a(1–

cost)將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板2021/12/215一些特殊曲線x=a(t–sint)BA答案是：當這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。最速降線問題:

質(zhì)點在重力作用下沿曲線從固定點A滑到固定點B，當曲線是什么形狀時所需要的時間最短？y=a(1–

cost)7.旋輪線是最速降線生活中見過這條曲線嗎？2021/12/216一些特殊曲線x=a(t–sint)BA答案是：當這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。最速降線問題:

質(zhì)點在重力作用下沿曲線從固定點A滑到固定點B，當曲線是什么形狀時所需要的時間最短？y=a(1–

cost).生活中見過這條曲線嗎？7.

旋輪線是最速降線2021/12/217一些特殊曲線x=a(t–sint)BA答案是：當這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。最速降線問題:

質(zhì)點在重力作用下沿曲線從固定點A滑到固定點B，當曲線是什么形狀時所需要的時間最短？y=a(1–

cost)生活中見過這條曲線嗎？7.

旋輪線是最速降線.2021/12/218一些特殊曲線x=a(t–sint)BA答案是：當這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。最速降線問題:

質(zhì)點在重力作用下沿曲線從固定點A滑到固定點B，當曲線是什么形狀時所需要的時間最短？y=a(1–

cost)生活中見過這條曲線嗎？滑板的軌道就是這條曲線7.

旋輪線是最速降線.2021/12/219一些特殊曲線xyoaa一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。8.

心形線(圓外旋輪線)2021/12/220一些特殊曲線xyoa來看動點的慢動作一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。.8.

心形線(圓外旋輪線)a2021/12/221一些特殊曲線xyoaa2a來看動點的慢動作一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。.(圓外旋輪線)8.

心形線2021/12/222一些特殊曲線xyo2ar=a(1+cos

)0

20

r2aP

r一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。.(圓外旋輪線)8.

心形線2021/12/223一些特殊曲線xyoa–a一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。9.

星形線(圓內(nèi)旋輪線)2021/12/224一些特殊曲線xyoa–a來看動點的慢動作一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。.9.

星形線(圓內(nèi)旋輪線)2021/12/225一些特殊曲線xyoa–a一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。來看動點的慢動作.9.

星形線(圓內(nèi)旋輪線)2021/12/226一些特殊曲線xyoa–a0

2或.P

.一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。.9.

星形線(圓內(nèi)旋輪線)2021/12/227一些特殊曲線0xy一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動）直線上一個定點的軌跡10.

圓的漸伸線a2021/12/228一些特殊曲線0xy一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動）直線上一個定點的軌跡.a10.

圓的漸伸線再看一遍2021/12/229一些特殊曲線0xy.a一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動）直線上一個定點的軌跡10.

圓的漸伸線2021/12/230一些特殊曲線0xy.a一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動）直線上一個定點的軌跡10.

圓的漸伸線2021/12/231一些特殊曲線a0xMttaat(x,y)0xy試由這些關系推出曲線的方程.一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動）直線上一個定點的軌跡10.

圓的漸伸線2021/12/232一些特殊曲線1.曲線關于y=x對稱2.曲線有漸進線x+y+a=0分析3.令

y=tx,

得參數(shù)式故在原點，曲線自身相交.11.狄卡兒葉形線4.2021/12/233一些特殊曲線0xyx+y+a=0曲線關于

y=x

對稱曲線有漸近線

x+y+a=0.11.狄卡兒葉形線2021/12/234一些特殊曲線0xyPr

...........曲線在極點自己相交，與此對應的角度為

=.....距離之積為a2的點的軌跡直角系方程12.

雙紐線2021/12/235一些特殊曲線0xy.所圍面積...由對稱性.12.

例求雙紐線2021/12/236一些特殊曲線0rr=a

曲線可以看作這種點的軌跡：動點在射線上作等速運動同時此射線又繞極點作等速轉(zhuǎn)動從極點射出半射線13.

阿基米德螺線2021/12/237一些特殊曲線0r曲線可以看作這種點的軌跡：動點在射線上作等速運動同時此射線又繞極點作等速轉(zhuǎn)動從極點射出半射線.13.

阿基米德螺線r=a

2021/12/238一些特殊曲線0r曲線可以看作這種點的軌跡：動點在射線上作等速運動同時此射線又繞極點作等速轉(zhuǎn)動從極點射出半射線再看一遍請問：動點的軌跡什么樣？.13.

阿基米德螺線r=a

2021/12/239一些特殊曲線0r.13.

阿基米德螺線r=a

2021/12/240一些特殊曲線0rr=a

.13.

阿基米德螺線2021/12/241一些特殊曲線0rr=a

.13.

阿基米德螺線2021/12/242一些特殊曲線r這里

從0+8r=a

02

a每兩個螺形卷間沿射線的距離是定數(shù).13.

阿基米德螺線2021/12/243一些特殊曲線0r8當

從0–r=a

.13.

阿基米德螺線2021/12/244一些特殊曲線r0.這里

從0+8a..14.

雙曲螺線2021/12/245一些特殊曲線r0.當

從0–8a.14.

雙曲螺線2021/12/246一些特殊曲線xyo15.2..S=

=1+cos

3r=3cos

由3cos=1+cos

得交點的坐標S2...2021/12/247一些特殊曲線....16.10xy令cos2

=0,由sin>0,

聯(lián)立后得交點坐標...[S=2].2021/12/248一些特殊曲線xyo17.1s1s2......sS=

=1+cos

2021/12/249一些特殊曲線求由雙紐線0xy....由對稱性.18.a內(nèi)部的面積。雙紐線化成極坐標令r=0,S=4+.2021/12/250一些特殊曲線xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面積為A(x)的立體.aV以下是幾個例子19.

平行截面面積為已知的立體的體積b2021/12/251一些特殊曲線半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。R

oxy20.2021/12/252一些特殊曲線oyRx–RR20..半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。2021/12/253一些特殊曲線oyRxxy–RR....ytan

問題：還有別的方法嗎？(x,y),截面積A(x).半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。20..2021/12/254一些特殊曲線oyRx–RR

方法2.20.半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。2021/12/255一些特殊曲線oyRx–RR

方法2ABCD

BCDC....截面積S(y)

(x,y)=2x=ytan

.S(y).20.半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。2021/12/256一些特殊曲線hRxoy–R21.

求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積。2021/12/257一些特殊曲線hRxoxA(x)A(x)V=....–Ry21..

求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積。y2021/12/258一些特殊曲線xf(x)ab

曲邊梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0

繞x軸旋轉(zhuǎn)22.求旋轉(zhuǎn)體體積2021/12/259一些特殊曲線xf(x)abx..111111111.

曲邊梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0

繞x

軸旋轉(zhuǎn)22.求旋轉(zhuǎn)體體積V=2021/12/260一些特殊曲線x=g(y)yx0cd曲邊梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

繞y軸23.

求旋轉(zhuǎn)體體積2021/12/261一些特殊曲線x=g(y)yx0cd曲邊梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

繞y軸.23.

求旋轉(zhuǎn)體體積2021/12/262一些特殊曲線x=g(y)yx0cdy...23.

求旋轉(zhuǎn)體體積.曲邊梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

繞y軸2021/12/263一些特殊曲線abf(x)yx024.求旋轉(zhuǎn)體體積—柱殼法曲邊梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

繞y

軸xdx2021/12/264一些特殊曲線xabyx0內(nèi)表面積.dx.24.求旋轉(zhuǎn)體體積—柱殼法曲邊梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

繞y

軸dV=2

xf(x)dxf(x