人教版九年級數(shù)學(xué)上冊教案(全冊)

/人教版九年級數(shù)學(xué)上冊教案（全冊）第二十一章二次根式教材內(nèi)容．本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式．．本單元在教材中的地位和作用：二次根式是在學(xué)完了八年級下冊第十七章《反比例正函數(shù)》、第十八章《勾股定理與其應(yīng)用》等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，它也是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)．教學(xué)目標．知識與技能（）理解二次根式的概念．（）理解（≥）是一個非負數(shù)，（）（≥），（≥）．（）掌握·＝（≥，≥），·；（≥，>），（≥，>）．（）了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減．．過程與方法（）先提出問題，讓學(xué)生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念．再對概念的內(nèi)涵進行分析，得出幾個重要結(jié)論，并運用這些重要結(jié)論進行二次根式的計算和化簡．（）用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規(guī)定，并運用規(guī)定進行計算．（）利用逆向思維，得出二次根式的乘（除）法規(guī)定的逆向等式并運用它進行化簡．（）通過分析前面的計算和化簡結(jié)果，抓住它們的共同特點，給出最簡二次根式的概念．利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和化簡的目的．．情感、態(tài)度與價值觀通過本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹?shù)目茖W(xué)精神，經(jīng)過探索二次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力．教學(xué)重點．二次根式（≥）的內(nèi)涵．（≥）是一個非負數(shù)；（）＝（≥）；（≥）與其運用．．二次根式乘除法的規(guī)定與其運用．．最簡二次根式的概念．．二次根式的加減運算．教學(xué)難點．對（≥）是一個非負數(shù)的理解；對等式（）＝（≥）與（≥）的理解與應(yīng)用．．二次根式的乘法、除法的條件限制．．利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式．教學(xué)關(guān)鍵．潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的推理能力，突出重點，突破難點．．培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進行準確計算的能力，培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神．單元課時劃分本單元教學(xué)時間約需課時，具體分配如下：．二次根式課時．二次根式的乘法課時．二次根式的加減課時教學(xué)活動、習(xí)題課、小結(jié)課時．二次根式第一課時教學(xué)內(nèi)容二次根式的概念與其運用教學(xué)目標理解二次根式的概念，并利用（≥）的意義解答具體題目．提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實際問題．教學(xué)重難點關(guān)鍵．重點：形如（≥）的式子叫做二次根式的概念；．難點與關(guān)鍵：利用“（≥）”解決具體問題．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活動）請同學(xué)們獨立完成下列三個問題：問題：已知反比例函數(shù)，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標相等的點的坐標是．問題：如圖，在直角三角形中，，，∠°，那么邊的長是．問題：甲射擊次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：、、、、、，那么甲這次射擊的方差是，那么．老師點評：問題：橫、縱坐標相等，即，所以．因為點在第一象限，所以，所以所求點的坐標（，）．問題：由勾股定理得問題：由方差的概念得.二、探索新知很明顯、、，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根．像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式．因此，一般地，我們把形如（≥）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．（學(xué)生活動）議一議：．有算術(shù)平方根嗎？．的算術(shù)平方根是多少？．當<，有意義嗎？老師點評:（略）例．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（>）、、、、、（≥，≥）．分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或．解：二次根式有：、（>）、、、（≥，≥）；不是二次根式的有：、、、．例．當是多少時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于，所以≥，才能有意義．解：由≥，得：≥當≥時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．三、鞏固練習(xí)教材練習(xí)、、．四、應(yīng)用拓展例．當是多少時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？分析：要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時滿足中的≥和中的≠．解：依題意，得由①得：≥由②得：≠當≥且≠時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．例()已知，求的值．(答案)()若，求的值．(答案:)五、歸納小結(jié)（學(xué)生活動，老師點評）本節(jié)課要掌握：．形如（≥）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．．要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù)．六、布置作業(yè)．教材復(fù)習(xí)鞏固、綜合應(yīng)用．．選用課時作業(yè)設(shè)計．.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》第一課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題

．下列式子中，是二次根式的是（）．．．．．下列式子中，不是二次根式的是（）．．．．．已知一個正方形的面積是，那么它的邊長是（）．．．．以上皆不對二、填空題．形如的式子叫做二次根式．．面積為的正方形的邊長為．．負數(shù)平方根．三、綜合提高題．某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m．當是多少時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？．若有意義，則．.使式子有意義的未知數(shù)有（）個．．．．．無數(shù).已知、為實數(shù)，且，求、的值．第一課時作業(yè)設(shè)計答案:一、．．．二、．（≥）．．沒有三、．設(shè)底面邊長為，則，解答：．．依題意得：，∴當>且≠時，＋在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義．.．．，二次根式()第二課時教學(xué)內(nèi)容．（≥）是一個非負數(shù)；．（）（≥）．教學(xué)目標理解（≥）是一個非負數(shù)和（）（≥），并利用它們進行計算和化簡．通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出（≥）是一個非負數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出（）（≥）；最后運用結(jié)論嚴謹解題．教學(xué)重難點關(guān)鍵．重點：（≥）是一個非負數(shù)；（）（≥）與其運用．．難點、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出（≥）是一個非負數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出（）（≥）．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活動）口答．什么叫二次根式？．當≥時，叫什么？當<時，有意義嗎？老師點評（略）．二、探究新知議一議：（學(xué)生分組討論，提問解答）（≥）是一個什么數(shù)呢？老師點評：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出（≥）是一個非負數(shù)．做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）．老師點評：是的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，是一個平方等于的非負數(shù)，因此有（）．同理可得：（），（），（），（），（），（），所以（）（≥）例計算．（）．（）．（）．（）分析：我們可以直接利用（）（≥）的結(jié)論解題．解：（），（）·（）·，（），（）．三、鞏固練習(xí)計算下列各式的值：（）（）（）（）（）四、應(yīng)用拓展例計算．（）（≥）．（）．（）．（）分析：（）因為≥，所以>；（）≥；（）2a（）≥；（）（）··（）≥．所以上面的題都可以運用（）（≥）的重要結(jié)論解題．解：（）因為≥，所以>（）（）∵≥，∴（）（）∵2a（）又∵（）≥，∴2a≥，∴2a（）∵（）··（）又∵（）≥∴≥，∴（）例在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:（）（）()分析：(略)五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：．（≥）是一個非負數(shù)；．（）（≥）;反之（）（≥）．六、布置作業(yè)．教材復(fù)習(xí)鞏固．（）、（）．．選用課時作業(yè)設(shè)計．.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》第二課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題．下列各式中、、、、、，二次根式的個數(shù)是（）．．．．．．數(shù)沒有算術(shù)平方根，則的取值范圍是（）．．>．≥．<．二、填空題．（）．．已知有意義，那么是一個數(shù)．三、綜合提高題．計算（）（）（）（）（）（）（）（）()．把下列非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式:（）（）（）（）（≥）．已知，求的值．．在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:（）（）第二課時作業(yè)設(shè)計答案:一、．．二、．．非負數(shù)三、．（）（）（）（）（）（）×（）（）×()．（）（）（）（）（）（）（）（）（≥）．.（）（）（）（）（）（）（）（）（）()略以上已經(jīng)編排二次根式()第三課時教學(xué)內(nèi)容＝（≥）教學(xué)目標理解（≥）并利用它進行計算和化簡．通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究（≥），并利用這個結(jié)論解決具體問題．教學(xué)重難點關(guān)鍵．重點：＝（≥）．．難點：探究結(jié)論．．關(guān)鍵：講清≥時，＝才成立．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容；．形如（≥）的式子叫做二次根式；．（≥）是一個非負數(shù)；．()＝（≥）．那么，我們猜想當≥時，是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題．二、探究新知（學(xué)生活動）填空：；；；；；．（老師點評）：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：；；；；；．因此，一般地：（≥）例化簡（）（）（）（）分析：因為（），（）（），（），（）（），所以都可運用（≥）去化簡．解：（）（）（）（）三、鞏固練習(xí)教材練習(xí)．四、應(yīng)用拓展例填空：當≥時，；當<時，，并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題．（）若，則可以是什么數(shù)？（）若，則可以是什么數(shù)？（）>，則可以是什么數(shù)？分析：∵（≥），∴要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“（）2”中的數(shù)是正數(shù)，因為，當≤時，，那么≥．（）根據(jù)結(jié)論求條件；（）根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想；（）根據(jù)（）、（）可知││，而││要大于，只有什么時候才能保證呢？<．解：（）因為，所以≥；（）因為，所以≤；（）因為當≥時，要使>，即使>所以不存在；當<時，，要使>，即使>，<綜上，<例當>，化簡．分析：(略)五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：（≥）與其運用，同時理解當<時，＝－的應(yīng)用拓展．六、布置作業(yè)．教材習(xí)題．、、、．．選作課時作業(yè)設(shè)計．.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》第三課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題．的值是（）．．．．．以上都不對．≥時，、、，比較它們的結(jié)果，下面四個選項中正確的是（）．．≥．>>．<<．>二、填空題．．．若是一個正整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是．三、綜合提高題．先化簡再求值：當時，求的值，甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式（）；乙的解答為：原式（）2a．兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是．．若││，求的值．（提示：先由≥，判斷的值是正數(shù)還是負數(shù)，去掉絕對值）.若≤≤時，試化簡││。答案:一、．．二、．．．三、．甲甲沒有先判定是正數(shù)還是負數(shù)．由已知得≥，≥所以，，，所以．.．二次根式的乘除第一課時教學(xué)內(nèi)容·＝（≥，≥），反之·（≥，≥）與其運用．教學(xué)目標理解·＝（≥，≥），·（≥，≥），并利用它們進行計算和化簡由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出·＝（≥，≥）并運用它進行計算；利用逆向思維，得出·（≥，≥）并運用它進行解題和化簡．教學(xué)重難點關(guān)鍵重點：·＝（≥，≥），·（≥，≥）與它們的運用．難點：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出·＝（≥，≥）．關(guān)鍵：要講清（<<），如或×．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下列各題．．填空（）×，；（）×，．（）×，．參考上面的結(jié)果，用“>、<或＝”填空．×，×，×．利用計算器計算填空（）×，（）×，（）×，（）×，（）×．老師點評（糾正學(xué)生練習(xí)中的錯誤）二、探索新知（學(xué)生活動）讓、個同學(xué)上臺總結(jié)規(guī)律．老師點評：（）被開方數(shù)都是正數(shù)；（）兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，并且把這兩個二次根式中的數(shù)相乘，作為等號另一邊二次根式中的被開方數(shù)．一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為·＝．（≥，≥）反過來:·（≥，≥）例．計算（）×（）×（）×（）×分析：直接利用·＝（≥，≥）計算即可．解：（）×（）×（）×（）×例化簡（）（）（）（）（）分析：利用·（≥，≥）直接化簡即可．解：（）××（）××（）××（）×××（）×三、鞏固練習(xí)（）計算（學(xué)生練習(xí)，老師點評）①×②×③·()化簡:;;;;教材練習(xí)全部四、應(yīng)用拓展例．判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：（）（）××××解：（）不正確．改正：＝××（）不正確．改正：××＝五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：（）·＝（≥，≥），·（≥，≥）與其運用．六、布置作業(yè)．課本，，，．（）（）．．選用課時作業(yè)設(shè)計．.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》第一課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題．若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為和，那么此直角三角形斜邊長是（）．．3c．3c．9cm．化簡的結(jié)果是（）．．．．．．等式成立的條件是（）．≥．≥．≤≤．≥或≤．下列各等式成立的是（）．．×．×．×．×二、填空題．．．自由落體的公式為（為重力加速度，它的值為10m），若物體下落的高度為720m，則下落的時間是．三、綜合提高題．一個底面為30cm×30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水例入一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長是多少厘米？．探究過程：觀察下列各式與其驗證過程．（）驗證：×（）驗證：×同理可得：，……通過上述探究你能猜測出：（>）,并驗證你的結(jié)論．答案:一、．．二、．．三、．設(shè)：底面正方形鐵桶的底面邊長為，則×××，××，×．．驗證：.．二次根式的乘除第二課時教學(xué)內(nèi)容（≥，>），反過來（≥，>）與利用它們進行計算和化簡．教學(xué)目標理解（≥，>）和（≥，>）與利用它們進行運算．利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式與利用它們進行計算和化簡．教學(xué)重難點關(guān)鍵．重點：理解（≥，>），（≥，>）與利用它們進行計算和化簡．．難點關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下列各題：．寫出二次根式的乘法規(guī)定與逆向等式．．填空（），；（），；（），；（），．規(guī)律：；；；．．利用計算器計算填空:（），（），（），（）．規(guī)律：；；；。每組推薦一名學(xué)生上臺闡述運算結(jié)果．（老師點評）二、探索新知剛才同學(xué)們都練習(xí)都很好，上臺的同學(xué)也回答得十分準確，根據(jù)大家的練習(xí)和回答，我們可以得到：一般地，對二次根式的除法規(guī)定：（≥，>），反過來，（≥，>）下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目．例．計算：（）（）（）（）分析：上面小題利用（≥，>）便可直接得出答案．解：（）（）×（）（）例．化簡：（）（）（）（）分析：直接利用（≥，>）就可以達到化簡之目的．解：（）（）（）（）三、鞏固練習(xí)教材練習(xí)．四、應(yīng)用拓展例．已知，且為偶數(shù)，求（）的值．分析：式子，只有≥，>時才能成立．因此得到≥且>，即<≤，又因為為偶數(shù)，所以．解：由題意得，即∴<≤∵為偶數(shù)∴∴原式（）（）（）∴當時，原式的值．五、歸納小結(jié)本節(jié)課要掌握（≥，>）和（≥，>）與其運用．六、布置作業(yè)．教材習(xí)題．、、、．．選用課時作業(yè)設(shè)計．.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》第二課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題．計算的結(jié)果是（）．．．．．．閱讀下列運算過程：，數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”，那么，化簡的結(jié)果是（）．．．．．二、填空題．分母有理化:();();().．已知，，，那么的最后結(jié)果是．三、綜合提高題．有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩形的長與寬之比為：，現(xiàn)用直徑為3c的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？．計算（）·（）÷（>，>）（）÷（）×（>）答案:一、．．二、．();();()．三、．設(shè)：矩形房梁的寬為（），則長為，依題意，得：（）（），×，（），·（）．．（）原式＝÷（）原式二次根式的乘除()第三課時教學(xué)內(nèi)容最簡二次根式的概念與利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運算．教學(xué)目標理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式．通過計算或化簡的結(jié)果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據(jù)它的特點來檢驗最后結(jié)果是否滿足最簡二次根式的要求．重難點關(guān)鍵．重點：最簡二次根式的運用．．難點關(guān)鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下列各題（請三位同學(xué)上臺板書）．計算（），（），（）老師點評：，，．現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別是1km，2它們的比是．二、探索新知觀察上面計算題的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個特點：．被開方數(shù)不含分母；．被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次根式．學(xué)生分組討論，推薦～個人到黑板上板書．老師點評：不是．.例．();();()例．如圖，在△中，∠°，2.5cm，6cm，求的長．解：因為所以（）因此的長為6.5cm．三、鞏固練習(xí)教材練習(xí)、四、應(yīng)用拓展例．觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：，，同理可得：，……從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算（……）（）的值．分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達到化簡的目的．解：原式（……）×（）（）（）五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：最簡二次根式的概念與其運用．六、布置作業(yè)．教材習(xí)題．、、．．選用課時作業(yè)設(shè)計．.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》第三課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題．如果（>）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（）．．（>）．（>）．（>）．以上都不對．把（）中根號外的（）移入根號內(nèi)得（）．．．．．．在下列各式中，化簡正確的是（）．．±．．．化簡的結(jié)果是（）．．．．二、填空題．化簡．（≥）．化簡二次根式號后的結(jié)果是．三、綜合提高題．已知為實數(shù)，化簡：，閱讀下面的解答過程，請判斷是否正確？若不正確，請寫出正確的解答過程：解：·（）．若、為實數(shù)，且，求的值．答案:一、．．二、．．三、．不正確，正確解答：因為，所以<，原式＝···()．∵∴，∴±，但∵≠，∴，∴.二次根式的加減()第一課時教學(xué)內(nèi)容二次根式的加減教學(xué)目標理解和掌握二次根式加減的方法．先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解．再總結(jié)經(jīng)驗，用它來指導(dǎo)根式的計算和化簡．重難點關(guān)鍵．重點：二次根式化簡為最簡根式．．難點關(guān)鍵：會判定是否是最簡二次根式．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入學(xué)生活動：計算下列各式．（）；（）；（）；（）3a教師點評：上面題目的結(jié)果，實際上是我們以前所學(xué)的同類項合并．同類項合并就是字母不變，系數(shù)相加減．二、探索新知學(xué)生活動：計算下列各式．（）（）（）（）老師點評：（）如果我們把當成，不就轉(zhuǎn)化為上面的問題嗎？（）（）把當成；（）（）把當成；（）（）看為，看為．（）因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如與表面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以的．（板書）所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并．例．計算（）（）分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合并．解：（）（）（）（）例．計算（）（）（）（）解：（）（）（）（）（）三、鞏固練習(xí)教材練習(xí)、．四、應(yīng)用拓展例．已知，求（）（）的值．分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得（）（），即，．其次，根據(jù)二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值．解：∵∵∴（）（）∴，原式當，時，原式×五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：（）不是最簡二次根式的，應(yīng)化成最簡二次根式；（）相同的最簡二次根式進行合并．六、布置作業(yè)．教材習(xí)題．、、、．．選作課時作業(yè)設(shè)計．.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》第一課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題．以下二次根式：①；②；③；④中，與是同類二次根式的是（）．．①和②．②和③．①和④．③和④．下列各式：①；②；③；④，其中錯誤的有（）．．個．個．個．個二、填空題．在、、、、、、中，與是同類二次根式的有．．計算二次根式的最后結(jié)果是．三、綜合提高題．已知≈，求（）（）的值．（結(jié)果精確到）．先化簡，再求值．（）（），其中，．答案:一、．．二、．．三、．原式≈×≈．原式（）（3-4-6），當，時，原式二次根式的加減()第二課時教學(xué)內(nèi)容利用二次根式化簡的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題．教學(xué)目標運用二次根式、化簡解應(yīng)用題．通過復(fù)習(xí)，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡二次根式，進行合并后解應(yīng)用題．重難點關(guān)鍵講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點，又是本節(jié)課的難點、關(guān)鍵點．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，下面我們講三道例題以做鞏固．二、探索新知例．如圖所示的△中，∠°，點從點開始沿邊以厘米秒的速度向點移動；同時，點也從點開始沿邊以厘米秒的速度向點移動．問：幾秒后△的面積為平方厘米？的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）分析：設(shè)秒后△的面積為平方厘米，那么，，根據(jù)三角形面積公式就可以求出的值．解：設(shè)后△的面積為平方厘米．則有，依題意，得：·所以秒后△的面積為平方厘米．答：秒后△的面積為平方厘米，的距離為厘米．例．要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）？分析：此框架是由、、、組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的長度．解：由勾股定理，得所需鋼材長度為≈×≈（）答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材．三、鞏固練習(xí)教材練習(xí)四、應(yīng)用拓展例．若最簡根式與根式是同類二次根式，求、的值．（同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式）分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；事實上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡成·，才由同類二次根式的定義得3a，2a4a．解：首先把根式化為最簡二次根式：·由題意得∴∴，五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問題．六、布置作業(yè)．教材習(xí)題．．．選用課時作業(yè)設(shè)計．.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》作業(yè)設(shè)計一、選擇題．已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為和，那么斜邊的長應(yīng)為（）．（結(jié)果用最簡二次根式）．．．．以上都不對．小明想自己釘一個長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，為了增加其穩(wěn)定性，他沿長方形的對角線又釘上了一根木條，木條的長應(yīng)為（）米．（結(jié)果同最簡二次根式表示）．．．．二、填空題．某地有一長方形魚塘，已知魚塘的長是寬的倍，它的面積是1600m．已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為，那么這個等腰直角三角形的周長是．（結(jié)果用最簡二次根式）三、綜合提高題．若最簡二次根式與是同類二次根式，求、的值．．同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式±（±），你一定熟練掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的正數(shù)（包括）都可以看作是一個數(shù)的平方，如（），（），你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察：（）（）··反之，（）∴（）∴求：（）；（）；（）你會算嗎？（）若，則、與、的關(guān)系是什么？并說明理由．答案:一、．．二、．．三、．依題意，得，，所以或或或．（）（）（）（）理由：兩邊平方得±±所以二次根式的加減()第三課時教學(xué)內(nèi)容含有二次根式的單項式與單項式相乘、相除；多項式與單項式相乘、相除；多項式與多項式相乘、相除；乘法公式的應(yīng)用．教學(xué)目標含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應(yīng)用．復(fù)習(xí)整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運算．重難點關(guān)鍵重點：二次根式的乘除、乘方等運算規(guī)律；難點關(guān)鍵：由整式運算知識遷移到含二次根式的運算．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入學(xué)生活動：請同學(xué)們完成下列各題:．計算（）（）·（）（）÷．計算（）（）（）（）（）（）老師點評：這些內(nèi)容是對八年級上冊整式運算的再現(xiàn)．它主要有（）單項式×單項式；（）單項式×多項式；（）多項式÷單項式；（）完全平方公式；（）平方差公式的運用．二、探索新知如果把上面的、、改寫成二次根式呢？以上的運算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立．整式運算中的、、是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當然也可以代表二次根式，所以，整式中的運算規(guī)律也適用于二次根式．例．計算:（）（）×（）（）÷分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運算規(guī)律，所以直接可用整式的運算規(guī)律．解：（）（）×××解：（）÷÷÷例．計算（）（）（）（）（）（）分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立．解：（）（）（）（）（）（）（）（）（）三、鞏固練習(xí)課本練習(xí)、．四、應(yīng)用拓展例．已知，其中、是實數(shù)，且≠，化簡，并求值．分析：由于（）（），因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到的值，代入化簡得結(jié)果即可．解：原式（）∵∴（）（）∴∴（）∴（）（）∵≠∴∴原式（）五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握二次根式的乘、除、乘方等運算．六、布置作業(yè)．教材習(xí)題．、、．．選用課時作業(yè)設(shè)計．.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》作業(yè)設(shè)計一、選擇題．（）×的值是（）．．．．．．計算（）（）的值是（）．．．．．二、填空題．（）的計算結(jié)果（用最簡根式表示）是．．（）（）（）的計算結(jié)果（用最簡二次根式表示）是．．若，則．．已知，，則．三、綜合提高題．化簡．當時，求的值．（結(jié)果用最簡二次根式表示）課外知識．同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數(shù)相同，這些二次根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式．練習(xí)：下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（）．．與．與．與．與．互為有理化因式：互為有理化因式是指兩個二次根式的乘積可以運用平方差公式（）（），同時它們的積是有理數(shù)，不含有二次根式：如與就是互為有理化因式；與也是互為有理化因式．練習(xí)：的有理化因式是；的有理化因式是．的有理化因式是．．分母有理化是指把分母中的根號化去，通常在分子、分母上同乘以一個二次根式，達到化去分母中的根號的目的．練習(xí)：把下列各式的分母有理化（）；（）；（）；（）．．其它材料：如果是任意正整數(shù)，那么理由：練習(xí)：填空；；．答案:一、．．二、．．．．三、．原式＝（）．原式＝（）∵原式＝（）.二次根式復(fù)習(xí)課教學(xué)目標．使學(xué)生進一步理解二次根式的意義與基本性質(zhì)，并能熟練地化簡含二次根式的式子；．熟練地進行二次根式的加、減、乘、除混合運算．教學(xué)重點和難點重點：含二次根式的式子的混合運算．難點：綜合運用二次根式的性質(zhì)與運算法則化簡和計算含二次根式的式子．教學(xué)過程設(shè)計一、復(fù)習(xí)．請同學(xué)回憶二次根式有哪些基本性質(zhì)？用式子表示出來，并說明各式成立的條件．指出：二次根式的這些基本性質(zhì)都是在一定條件下才成立的，主要應(yīng)用于化簡二次根式．．二次根式的乘法與除法的法則是什么？用式子表示出來．指出：二次根式的乘、除法則也是在一定條件下成立的．把兩個二次根式相除，計算結(jié)果要把分母有理化．．在二次根式的化簡或計算中，還常用到以下兩個二次根式的關(guān)系式：．在含有二次根式的式子的化簡與求值等問題中，常運用三個可逆的式子：二、例題例取什么值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義：分析：()題是兩個二次根式的和，的取值必須使兩個二次根式都有意義；()題是兩個二次根式的和，的取值必須使兩個二次根式都有意義；()題的分子是二次根式，分母是含的單項式，因此的取值必須使二次根式有意義，同時使分母的值不等于零．≥且≠．解因為≥，≥，且≠，所以且≠，所以例分析：第一個二次根式的被開方數(shù)的分子與分母都可以分解因式．把它們分別分解因式后，再利用二次根式的基本性質(zhì)把式子化簡，化簡中應(yīng)注意利用題中的隱含條件≥和＞．解因為＞，≥，所以＜，＝．()()[()][()]()()≥．這些性質(zhì)化簡含二次根式的式子時，要注意上述條件，并要闡述清楚是怎樣滿足這些條件的．問：上面的代數(shù)式中的兩個二次根式的被開方數(shù)的式子如何化為完全平方式？分析：先把第二個式子化簡，再把兩個式子進行通分，然后進行計算．解注意：所以在化簡過程中，例分析：如果把兩個式子通分，或把每一個式子的分母有理化再進行計算，這兩種方法的運算量都較大，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，分別把兩個式子的分母看作一個整體，用換元法把式子變形，就可以使運算變?yōu)楹喗荩?)，()()＝()，三、課堂練習(xí)．選擇題：．≤．≥．≠．＜．．．．．．2a．．-2a．填空題：．計算：四、小結(jié)．本節(jié)課復(fù)習(xí)的五個基本問題是“二次根式”這一章的主要基礎(chǔ)知識，同學(xué)們要深刻理解并牢固掌握．．在一次根式的化簡、計算與求值的過程中，應(yīng)注意利用題中的使二次根式有意義的條件(或題中的隱含條件)，即被開方數(shù)為非負數(shù)，以確定被開方數(shù)中的字母或式子的取值范圍．．運用二次根式的四個基本性質(zhì)進行二次根式的運算時，一定要注意論述每一個性質(zhì)中字母的取值范圍的條件．．通過例題的討論，要學(xué)會綜合、靈活運用二次根式的意義、基本性質(zhì)和法則以與有關(guān)多項式的因式分解，解答有關(guān)含二次根式的式子的化簡、計算與求值等問題．五、作業(yè)．是什么值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？．把下列各式化成最簡二次根式：第二十三章旋轉(zhuǎn)單元要點分析教學(xué)內(nèi)容．主要內(nèi)容：圖形的旋轉(zhuǎn)與其有關(guān)概念：包括旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角．圖形旋轉(zhuǎn)的有關(guān)性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．通過不同形式的旋轉(zhuǎn)，設(shè)計圖案．中心對稱與其有關(guān)概念：中心對稱、對稱中心、關(guān)于中心的對稱點；關(guān)于中心對稱的兩個圖形．中心對稱的性質(zhì)：對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分；關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．中心對稱圖形：概念與性質(zhì)：包括中心對稱圖形、對稱中心．關(guān)于原點對稱的點的坐標：兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號都相反，即點（，）關(guān)于原點的對稱點為′（，）．課題學(xué)習(xí)．圖案設(shè)計．．本單元在教材中的地位與作用：學(xué)生通過平移、平面直角坐標系，軸對稱、反比例函數(shù)、四邊形等知識的學(xué)習(xí)，初步積累了一定的圖形變換數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．本章在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進行觀察、分析、畫圖、簡單圖案的欣賞與設(shè)計等操作性活動形成圖形旋轉(zhuǎn)概念．它又對今后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，尤其是幾何，包括圓等內(nèi)容的學(xué)習(xí)起著橋梁鋪墊之作用．教學(xué)目標．知識與技能了解圖形的旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念并理解它的基本性質(zhì)．了解中心對稱的概念并理解它的基本性質(zhì)．了解中心對稱圖形的概念；掌握關(guān)于原點對稱的兩點的關(guān)系并應(yīng)用；再通過幾何操作題的練習(xí)，掌握課題學(xué)習(xí)中圖案設(shè)計的方法．．過程與方法（）讓學(xué)生感受生活中的幾何，通過不同的情景設(shè)計歸納出圖形旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念，并用這些概念來解決一些問題．（）通過復(fù)習(xí)圖形旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念從中歸納出“對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等”等重要性質(zhì)，并運用它解決一些實際問題．（）經(jīng)歷復(fù)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念和性質(zhì)，分析不同的旋轉(zhuǎn)中心，不同的旋轉(zhuǎn)角，出現(xiàn)不同的效果并對各種情況進行分類．（）復(fù)習(xí)對稱軸和軸對稱圖形的有關(guān)概念，通過知識遷移講授中心對稱圖形和對稱中心的有關(guān)內(nèi)容，并附加練習(xí)鞏固這個內(nèi)容．（）通過幾何操作題，探究猜測發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并給予證明，附加例題進一步鞏固．（）復(fù)習(xí)中心對稱圖形和對稱中心的有關(guān)概念，然后提出問題，讓學(xué)生觀察、思考，老師歸納得出中心對稱圖形和對稱中心的有關(guān)概念，最后用一些例題、練習(xí)來鞏固這個內(nèi)容．（）復(fù)習(xí)平面直角坐標系的有關(guān)概念，通過實例歸納出兩個點關(guān)于原點對稱時，坐標符號之間的關(guān)系，并運用它解決一些實際問題．（）通過復(fù)習(xí)平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等有關(guān)概念研究如何進行圖形設(shè)計．．情感、態(tài)度與價值觀讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等過程，了解圖形旋轉(zhuǎn)的概念，從事圖形旋轉(zhuǎn)基本性質(zhì)的探索活動，進一步發(fā)展空間觀察，培養(yǎng)運動幾何的觀點，增強審美意識．讓學(xué)生通過獨立思考，自主探究和合作交流進一步體會旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，獲得知識，體驗成功，享受學(xué)習(xí)樂趣．讓學(xué)生從事應(yīng)用所學(xué)的知識進行圖案設(shè)計的活動，享受成功的喜悅，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情．教學(xué)重點．圖形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)．．中心對稱的基本性質(zhì)．．兩個點關(guān)于原點對稱時，它們坐標間的關(guān)系．教學(xué)難點．圖形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)的歸納與運用．．中心對稱的基本性質(zhì)的歸納與運用．教學(xué)關(guān)鍵．利用幾何直觀，經(jīng)歷觀察，產(chǎn)生概念；．利用幾何操作，通過觀察、探究，用不完全歸納法歸納出圖形的旋轉(zhuǎn)和中心對稱的基本性質(zhì)．單元課時劃分本單元教學(xué)時間約需課時，具體分配如下：．圖形的旋轉(zhuǎn)課時．中心對稱課時．課題學(xué)習(xí)；圖案設(shè)計課時教學(xué)活動、習(xí)題課、小結(jié)課時圖形的旋轉(zhuǎn)（）第一課時教學(xué)內(nèi)容．什么叫旋轉(zhuǎn)？旋轉(zhuǎn)中心？旋轉(zhuǎn)角？．什么叫旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點？教學(xué)目標了解旋轉(zhuǎn)與其旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角的概念，了解旋轉(zhuǎn)對應(yīng)點的概念與其應(yīng)用它們解決一些實際問題．通過復(fù)習(xí)平移、軸對稱的有關(guān)概念與性質(zhì)，從生活中的數(shù)學(xué)開始，經(jīng)歷觀察，產(chǎn)生概念，應(yīng)用概念解決一些實際問題．重難點、關(guān)鍵．重點：旋轉(zhuǎn)與對應(yīng)點的有關(guān)概念與其應(yīng)用．．難點與關(guān)鍵：從活生生的數(shù)學(xué)中抽出概念．教具、學(xué)具準備小黑板、三角尺教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下面各題．．將如圖所示的四邊形平移，使點的對應(yīng)點為點，作出平移后的圖形．．如圖，已知△和直線，請你畫出△關(guān)于的對稱圖形△′′′．．圓是軸對稱圖形嗎？等腰三角形呢？你還能指出其它的嗎？（口述）老師點評并總結(jié)：（）平移的有關(guān)概念與性質(zhì)．（）如何畫一個圖形關(guān)于一條直線（對稱軸）的對稱圖形并口述它既有的一些性質(zhì)．（）什么叫軸對稱圖形？二、探索新知我們前面已經(jīng)復(fù)習(xí)平移等有關(guān)內(nèi)容，生活中是否還有其它運動變化呢？回答是肯定的，下面我們就來研究．．請同學(xué)們看講臺上的大時鐘，有什么在不停地轉(zhuǎn)動？旋繞什么點呢？從現(xiàn)在到下課時鐘轉(zhuǎn)了多少度？分針轉(zhuǎn)了多少度？秒針轉(zhuǎn)了多少度？（口答）老師點評：時針、分針、秒針在不停地轉(zhuǎn)動，它們都繞時針的中心．如果從現(xiàn)在到下課時針轉(zhuǎn)了度，分針轉(zhuǎn)了度，秒針轉(zhuǎn)了度．．再看我自制的好像風(fēng)車風(fēng)輪的玩具，它可以不停地轉(zhuǎn)動．如何轉(zhuǎn)到新的位置？（老師點評略）．第、兩題有什么共同特點呢？共同特點是如果我們把時針、風(fēng)車風(fēng)輪當成一個圖形，那么這些圖形都可以繞著某一固定點轉(zhuǎn)動一定的角度．像這樣，把一個圖形繞著某一點轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角．如果圖形上的點經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c′，那么這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點．下面我們來運用這些概念來解決一些問題．例．如圖，如果把鐘表的指針看做三角形，它繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△，在這個旋轉(zhuǎn)過程中：（）旋轉(zhuǎn)中心是什么？旋轉(zhuǎn)角是什么？（）經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，點、分別移動到什么位置？解：（）旋轉(zhuǎn)中心是，∠、∠等都是旋轉(zhuǎn)角．（）經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，點和點分別移動到點和點的位置．例．（學(xué)生活動）如圖，四邊形、四邊形都是邊長為的正方形．（）這個圖案可以看做是哪個“基本圖案”通過旋轉(zhuǎn)得到的？（）請畫出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角．（）指出，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，點、、、分別移到什么位置？（老師點評）（）可以看做是由正方形的基本圖案通過旋轉(zhuǎn)而得到的．（）畫圖略．（）點、點、點、點移到的位置是點、點、點、點．最后強調(diào)，這個旋轉(zhuǎn)中心是固定的，即正方形對角線的交點，但旋轉(zhuǎn)角和對應(yīng)點都是不唯一的．三、鞏固練習(xí)教材練習(xí)、、．四、應(yīng)用拓展例．兩個邊長為的正方形，如圖所示，讓一個正方形的頂點與另一個正方形中心重合，不難知道重合部分的面積為，現(xiàn)把其中一個正方形固定不動，另一個正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)，問在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個正方形重疊部分面積是否發(fā)生變化？說明理由．分析：設(shè)任轉(zhuǎn)一角度，如圖中的虛線部分，要說明旋轉(zhuǎn)后正方形重疊部分面積不變，只要說明△`△`，那么只要說明△′≌△′．解：面積不變．理由：設(shè)任轉(zhuǎn)一角度，如圖所示．在△′和△′中∠′∠′°∠′∠′°∠∴△′≌△′∴△`△`∴四邊形``正方形五、歸納小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點評）本節(jié)課要掌握：．旋轉(zhuǎn)與其旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角的概念．．旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點與其它們的應(yīng)用．六、布置作業(yè)．教材復(fù)習(xí)鞏固、、．．《同步練習(xí)》一、選擇題．在個英文大寫字母中，通過旋轉(zhuǎn)°后能與原字母重合的有（）．．個．個．個．個．從點分到點分，分針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為（）．．°．°．°．°．如圖，在△中，∠°，∠°，以直角頂點為旋轉(zhuǎn)中心，將△旋轉(zhuǎn)到△′′的位置，其中′、′分別是、的對應(yīng)點，且點在斜邊′′上，直角邊′交于，則旋轉(zhuǎn)角等于（）．．°．°．°．°()()()二、填空題．．在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿著某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為，這個定點稱為，轉(zhuǎn)動的角為．．如圖，△與△都是等腰直角三角形，∠和∠都是直角，點在上，如果△經(jīng)旋轉(zhuǎn)后能與△重合，那么旋轉(zhuǎn)中心是點；旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是．．如圖，△為等邊三角形，為△內(nèi)一點，△經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達△的位置，則，（）旋轉(zhuǎn)中心是；（）旋轉(zhuǎn)角度是；（）△是三角形．三、綜合提高題．．閱讀下面材料：如圖，把△沿直線平行移動線段的長度，可以變到△的位置．如圖，以為軸把△翻折°，可以變到△的位置．()()()()如圖，以點為中心，把△旋轉(zhuǎn)°，可以變到△的位置，像這樣，其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法變成的，這種只改變位置，不改變形狀和大小的圖形變換，叫做三角形的全等變換．回答下列問題如圖，在正方形中，是的中點，是延長線上一點，．（）在如圖所示，可以通過平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法，使△移到△的位置？（）指出如圖所示中的線段與之間的關(guān)系．．一塊等邊三角形木塊，邊長為，如圖，現(xiàn)將木塊沿水平線翻滾五個三角形，那么點從開始至結(jié)束所走過的路徑長是多少？答案:一、．．．二、．旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角．°．點°等邊三、．（）通過旋轉(zhuǎn)，即以點為旋轉(zhuǎn)中心，將△逆時針旋轉(zhuǎn)°．（），⊥．翻滾一次滾°翻滾五個三角形，正好翻滾一個圓，所以所走路徑是．圖形的旋轉(zhuǎn)()第二課時教學(xué)內(nèi)容．對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．．對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．．旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等與其它們的運用．教學(xué)目標理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；理解對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；理解旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．掌握以上三個圖形的旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)的運用．先復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)與其旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點概念，接著用操作幾何、實驗探究圖形的旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)．重難點、關(guān)鍵．重點：圖形的旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)與其應(yīng)用．．難點與關(guān)鍵：運用操作實驗幾何得出圖形的旋轉(zhuǎn)的三條基本性質(zhì)．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活動）老師口問，學(xué)生口答．．什么叫旋轉(zhuǎn)？什么叫旋轉(zhuǎn)中心？什么叫旋轉(zhuǎn)角？．什么叫旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點？．請獨立完成下面的題目．如圖，是六個正三角形的公共頂點，正六邊形能否看做是某條線段繞點旋轉(zhuǎn)若干次所形成的圖形？（老師點評）分析：能．看做是一條邊（如線段）繞點，按照同一方法連續(xù)旋轉(zhuǎn)°、°、°、°、°形成的．二、探索新知上面的解題過程中，能否得出什么結(jié)論，請回答下面的問題：．、、、、、到點的距離是否相等？．對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角∠、∠、∠、∠、∠是否相等？．旋轉(zhuǎn)前、后的圖形這里指三角形△、△、△、△、△、△全等嗎？老師點評：（）距離相等，（）夾角相等，（）前后圖形全等，那么這個是否有一般性？下面請看這個實驗．請看我手里拿著的硬紙板，我在硬紙板上挖下一個三角形的洞，再挖一個點作為旋轉(zhuǎn)中心，把挖好的硬紙板放在黑板上，先在黑板上描出這個挖掉的三角形圖案（△），然后圍繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動硬紙板，在黑板上再描出這個挖掉的三角形（△′′′），移去硬紙板．（分組討論）根據(jù)圖回答下面問題（一組推薦一人上臺說明）．線段與′，與′，與′有什么關(guān)系？．∠′，∠′，∠′有什么關(guān)系？．△與△′′′形狀和大小有什么關(guān)系？老師點評：．′，′，′，也就是對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心相等．．∠′∠′∠′，我們把這三個相等的角，即對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角稱為旋轉(zhuǎn)角．．△和△′′′形狀相同和大小相等，即全等．綜合以上的實驗操作和剛才作的（），得出（）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．例．如圖，△繞點旋轉(zhuǎn)后，頂點的對應(yīng)點為點，試確定頂點對應(yīng)點的位置，以與旋轉(zhuǎn)后的三角形．分析：繞點旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點是點，那么旋轉(zhuǎn)角就是∠，根據(jù)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，即∠′，又由對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，即′，就可確定′的位置，如圖所示．解：（）連結(jié)（）以為一邊作∠，使得∠∠（）在射線上截取′則′即為所求的的對應(yīng)點．（）連結(jié)′則△′就是△繞點旋轉(zhuǎn)后的圖形．例．如圖，四邊形是邊長為的正方形，且，△是△的旋轉(zhuǎn)圖形．（）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點？（）旋轉(zhuǎn)了多少度？（）的長度是多少？（）如果連結(jié)，那么△是怎樣的三角形？分析：由△是△的旋轉(zhuǎn)圖形，可直接得出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，要求的長度，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)線段相等，只要求的長度，由勾股定理很容易得到．△與△是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（）旋轉(zhuǎn)中心是點．（）∵△是由△旋轉(zhuǎn)而成的∴是的對應(yīng)點∴∠°就是旋轉(zhuǎn)角（）∵，∴∵對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等且是的對應(yīng)點∴（）∵∠°（與旋轉(zhuǎn)角相等）且∴△是等腰直角三角形．三、鞏固練習(xí)教材練習(xí)、．四、應(yīng)用拓展例．如圖，是正方形內(nèi)一點，以為一邊作正方形，使、在的同旁，連接和，試用旋轉(zhuǎn)的思想說明線段與的關(guān)系．分析：要用旋轉(zhuǎn)的思想說明就是要用旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點的知識來說明．解：∵四邊形、四邊形是正方形∴，，且∠∠為旋轉(zhuǎn)角且為°∴△是以為旋轉(zhuǎn)中心，∠為旋轉(zhuǎn)角由△旋轉(zhuǎn)而成的∴五、歸納小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點評）本節(jié)課應(yīng)掌握：．對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；．對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；．旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等與其它們的應(yīng)用．六、布置作業(yè)．教材復(fù)習(xí)鞏固綜合運用、．．作業(yè)設(shè)計．作業(yè)設(shè)計一、選擇題．△繞著點旋轉(zhuǎn)后得到△′′，若∠′°，∠°，則旋轉(zhuǎn)角等于（）．°．°．°或°．°．在圖形旋轉(zhuǎn)中，下列說法錯誤的是（）．在圖形上的每一點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．圖形上每一點移動的角度相同．圖形上可能存在不動的點．圖形上任意兩點的連線與其對應(yīng)兩點的連線長度相等．如圖，下面的四個圖案中，既包含圖形的旋轉(zhuǎn)，又包含圖形的軸對稱的是（）二、填空題．在作旋轉(zhuǎn)圖形中，各對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的距離．．如圖，△和△均是頂角為°的等腰三角形，、分別是底邊，圖中的△繞旋轉(zhuǎn)°后得到的圖形是，它們之間的關(guān)系是，其中．．如圖，自正方形的頂點引兩條射線分別交、于、，∠°，在保持∠°的前提下，當點、分別在邊、上移動時，與的關(guān)系是．三、綜合提高題．如圖，正方形的中心為，為邊上任意一點，過隨意連一條曲線，將所畫的曲線繞點按同一方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)次，每次旋轉(zhuǎn)角度都是°，這四個部分之間有何關(guān)系？．如圖，以△的三頂點為圓心，半徑為，作兩兩不相交的扇形，則圖中三個扇形面積之和是多少？．如圖，已知正方形的對角線交于點，若點在的延長線上，⊥，交的延長線于點，的延長線交的延長線于點，則△與△重合嗎？如果重合給予證明，如果不重合請說明理由？答案:一、．．．二、．相等．△圖形全等．相等三、．這四個部分是全等圖形．∵∠∠∠°，∴繞、的中點旋轉(zhuǎn)°，可以得到一個半圓，∴面積之和．．重合：證明：∵⊥∴∠∠°∵∠∠°°∵∠∠°∴∠∠同理∠∠，∵四邊形是正方形，∴∴△≌△，∴，∴，∵∴△繞點旋轉(zhuǎn)°便可和△重合．圖形的旋轉(zhuǎn)()第三課時教學(xué)內(nèi)容選擇不同的旋轉(zhuǎn)中心或不同的旋轉(zhuǎn)角，設(shè)計出不同的美麗的圖案．教學(xué)目標理解選擇不同的旋轉(zhuǎn)中心、不同的旋轉(zhuǎn)角度，會出現(xiàn)不同的效果，掌握根據(jù)需要用旋轉(zhuǎn)的知識設(shè)計出美麗的圖案．復(fù)習(xí)圖形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，著重強調(diào)旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角然后應(yīng)用已學(xué)的知識作圖，設(shè)計出美麗的圖案．重難點、關(guān)鍵．重點：用旋轉(zhuǎn)的有關(guān)知識畫圖．．難點與關(guān)鍵：根據(jù)需要設(shè)計美麗圖案．教具、學(xué)具準備小黑板教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入．（學(xué)生活動）老師口問，學(xué)生口答．（）各對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離有何關(guān)系呢？（）各對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角與旋轉(zhuǎn)角有何關(guān)系？（）兩個圖形是旋轉(zhuǎn)前后的圖形，它們?nèi)葐?？．請同學(xué)獨立完成下面的作圖題．如圖，△繞點旋轉(zhuǎn)后，點是點的對應(yīng)點，作出△旋轉(zhuǎn)后的三角形．（老師點評）分析：要作出△旋轉(zhuǎn)后的三角形，應(yīng)找出三方面：第一，旋轉(zhuǎn)中心：；第二，旋轉(zhuǎn)角：∠；第三，點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點：′．二、探索新知從上面的作圖題中，我們知道，作圖應(yīng)滿足三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點，而旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角固定下來，對應(yīng)點就自然而然地固定下來．因此，下面就選擇不同的旋轉(zhuǎn)中心、不同的旋轉(zhuǎn)角來進行研究．．旋轉(zhuǎn)中心不變，改變旋轉(zhuǎn)角畫出以下圖所示的四邊形以點為中心，旋轉(zhuǎn)角分別為°、°的旋轉(zhuǎn)圖形．．旋轉(zhuǎn)角不變，改變旋轉(zhuǎn)中心畫出以下圖，四邊形分別為、為中心，旋轉(zhuǎn)角都為°的旋轉(zhuǎn)圖形．因此，從以上的畫圖中，我們可以得到旋轉(zhuǎn)中心不變，改變旋轉(zhuǎn)角與旋轉(zhuǎn)角不變，改變旋轉(zhuǎn)中心會產(chǎn)生不同的效果，所以，我們可以經(jīng)過旋轉(zhuǎn)設(shè)計出美麗的圖案．例．如下圖是菊花一葉和中心與圓圈，現(xiàn)以為旋轉(zhuǎn)中心畫出分別旋轉(zhuǎn)°、°、°、°、°、°、°的菊花圖案．分析：只要以為旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角以上面為變化，旋轉(zhuǎn)長度為菊花的最長，按菊花葉的形狀畫出即可．解：（）連結(jié)（）以點為圓心，長為半徑旋轉(zhuǎn)°，得．（）依此類推畫出旋轉(zhuǎn)角分別為°、°、°、°、°、°的、、、、、．（）按菊花一葉圖案畫出各菊花一葉．那么所畫的圖案就是繞點旋轉(zhuǎn)后的圖形．例．（學(xué)生活動）如圖，如果上面的菊花一葉，繞下面的點′為旋轉(zhuǎn)中心，請同學(xué)畫出圖案，它還是原來的菊花嗎？老師點評：顯然，畫出后的圖案不是菊花，而是另外的一種花了．三、鞏固練習(xí)教材練習(xí)．四、應(yīng)用拓展例．如圖，如何作出該圖案繞點按逆時針旋轉(zhuǎn)°的圖形．分析：該備案是一個比較復(fù)雜的圖案，是作出幾個復(fù)合圖形組成的圖案，因此，要先畫出圖中的關(guān)鍵點，這些關(guān)鍵點往往是圖案里線的端點、角的頂點、圓的圓心等，然后再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特征，作出這些關(guān)鍵點的對應(yīng)點，最后再按原圖案作出旋轉(zhuǎn)后的圖案．解：（）連結(jié)，過點沿逆時針作∠′°，在射線′上截取′；（）用同樣的方法分別求出、、、、、、的對應(yīng)點′、′、′、′、′、′、′；（）作出對應(yīng)線段′′、′′、′′、′′、′′、′′、′′、′′、′′、′′；（）所作出的圖案就是所求的圖案．五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點評）本節(jié)課應(yīng)掌握：．選擇不同的旋轉(zhuǎn)中心、不同的旋轉(zhuǎn)角，設(shè)計出美麗的圖案；．作出幾個復(fù)合圖形組成的圖案旋轉(zhuǎn)后的圖案，要先求出圖中的關(guān)鍵點──線的端點、角的頂點、圓的圓心等．六、布置作業(yè)．教材綜合運用、、．．選作課時作業(yè)設(shè)計．第三課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題．如圖，擺放有五雜梅花，下列說法錯誤的是（以中心梅花為初始位置）（）．左上角的梅花只需沿對角線平移即可．右上角的梅花需先沿對角線平移后，再順時針旋轉(zhuǎn)°．右下角的梅花需先沿對角線平移后，再順時針旋轉(zhuǎn)．左下角的梅花需先沿對角線平移后，再順時針旋轉(zhuǎn)°．同學(xué)們曾玩過萬花筒吧，它是由三塊等寬等長的玻璃鏡片圍成的，如圖是看到的萬花筒的一個圖案，圖中所有三角形均是等邊三角形，其中的菱形可以看成把菱形以為中心（）．順時針旋轉(zhuǎn)°得到的．順時針旋轉(zhuǎn)°得到的．逆時針旋轉(zhuǎn)°得到的．逆時針旋轉(zhuǎn)°得到的．下面的圖形，繞著一個點旋轉(zhuǎn)°后，能與原來的位置重合的是（）．（），（）．（），（）．（），（）．（），（）二、填空題．如圖，五角星也可以看作是一個三角形繞中心點旋轉(zhuǎn)次得到的，每次旋轉(zhuǎn)的角度是．．圖形之間的變換關(guān)系包括平移、、軸對稱以與它們的組合變換．．如圖，過圓心和圖上一點連一條曲線，將繞點按同一方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)三次，每次旋轉(zhuǎn)°，把圓分成四部分，這四部分面積．三、綜合提高題．．請你利用線段、三角形、菱形、正方形、圓作為“基本圖案”繪制一幅以“校運動會”為主題的徽標．．如圖，是某設(shè)計師設(shè)計的方桌布圖案的一部分，請你運用旋轉(zhuǎn)的方法，將該圖案繞原點順時針依次旋轉(zhuǎn)°、°、°，并畫出圖形，你來試一試吧！但是涂陰影時，要注意利用旋轉(zhuǎn)變換的特點，不要涂錯了位置，否則你將得不到理想的效果，并且還要扣分的噢?。鐖D，△的直角三角形，是斜邊，將△繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△′重合，如果，求′的長．答案:一、．．．二、．°．旋轉(zhuǎn)．相等三、．答案不唯一，學(xué)生設(shè)計的只要符合題目的要求，都應(yīng)給予鼓勵．．略．∵△繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△′重合，∴′，∠′∠，∴∠′∠∠′∠∠∠°，△′為等腰直角三角形，′為斜邊，∴′．中心對稱()第一課時教學(xué)內(nèi)容兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱、對稱中心、關(guān)于中心的對稱點等概念與其運用它們解決一些實際問題．教學(xué)目標了解中心對稱、對稱中心、關(guān)于中心的對稱點等概念與掌握這些概念解決一些問題．復(fù)習(xí)運用旋轉(zhuǎn)知識作圖，旋轉(zhuǎn)角度變化，設(shè)計出不同的美麗圖案來引入旋轉(zhuǎn)°的特殊旋轉(zhuǎn)──中心對稱的概念，并運用它解決一些實際問題．重難點、關(guān)鍵．重點：利用中心對稱、對稱中心、關(guān)于中心對稱點的概念解決一些問題．．難點與關(guān)鍵：從一般旋轉(zhuǎn)中導(dǎo)入中心對稱．教具、學(xué)具準備小黑板、三角尺教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入請同學(xué)們獨立完成下題．如圖，△繞點旋轉(zhuǎn)，使點旋轉(zhuǎn)到點處，畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形，并寫出簡要作法．老師點評：分析，本題已知旋轉(zhuǎn)后點的對應(yīng)點是點，且旋轉(zhuǎn)中心也已知，所以關(guān)鍵是找出旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)方向．顯然，逆時針或順時針旋轉(zhuǎn)都符合要求，一般我們選擇小于°的旋轉(zhuǎn)角為宜，故本題選擇的旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向；已知一對對應(yīng)點和旋轉(zhuǎn)中心，很容易確定旋轉(zhuǎn)角．如圖，連結(jié)、，則∠即為旋轉(zhuǎn)角．接下來根據(jù)“任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角”和“對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”這兩個依據(jù)來作圖即可．作法：（）連結(jié)、、、；（）分別以、為邊作∠∠∠；（）分別截取，；（）依次連結(jié)、、；即：△就是所求作的三角形，如圖所示．二、探索新知問題：作出如圖的兩個圖形繞點旋轉(zhuǎn)°的圖案，并回答下列的問題：．以為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)°后兩個圖形是否重合？．各對稱點繞旋轉(zhuǎn)°后，這三點是否在一條直線上？老師點評：可以發(fā)現(xiàn)，如圖所示的兩個圖案繞旋轉(zhuǎn)°都是重合的，即甲圖與乙圖重合，△與△重合．像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心．這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點．例．如圖，四邊形繞點旋轉(zhuǎn)°，請作出旋轉(zhuǎn)后的圖案，寫出作法并回答．（）這兩個圖形是中心對稱圖形嗎？如果是對稱中心是哪一點？如果不是，請說明理由．（）如果是中心對稱，那么、、、關(guān)于中心的對稱點是哪些點．分析：（）根據(jù)中心對稱的定義便直接可知這兩個圖形是中心對稱圖形，對稱中心就是旋轉(zhuǎn)中心．（）旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，便是中心的對稱點．解：作法：（）延長，并且使得′（）同樣可得：′，′（）連結(jié)′′、′′、′，則四邊形′′′為所求的四邊形，如圖所示．答：（）根據(jù)中心對稱的定義便知這兩個圖形是中心對稱圖形，對稱中心是點．（）、、、關(guān)于中心的對稱點是′、′、′、′，這里的′與重合．例．如圖，已知是△的中線，畫出以點為對稱中心，與△成中心對稱的三角形．分析：因為是對稱中心且是△的中線，所以、為一對的對應(yīng)點，因此，只要再畫出關(guān)于的對應(yīng)點即可．解：（）延長，且使′，因為點關(guān)于的中心對稱點是（′），點關(guān)于中心的對稱點為（′）（）連結(jié)′′、′′．則△′′′為所求作的三角形，如圖所示．三、鞏固練習(xí)教材練習(xí)．四、應(yīng)用拓展例．如釁，在△中，∠°，，，現(xiàn)將△沿方向平移到△′′′的位置．（）若平移的距離為，求△與△′′′重疊部分的面積．（）若平移的距離為（≤≤），求△與△′′′重疊部分的面積，寫出與的關(guān)系式．分析：（）∵，∴△是等腰直角三角形，易得△′也是等腰直角三角形且′（）∵平移的距離為，∴′解：（）∵′，且∴′′∴△`××（）∵′，∴′∵∴′∴△`（）（）五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點評）本節(jié)課應(yīng)掌握：．中心對稱與對稱中心的概念；．關(guān)于中心的對稱點的概念與其運用．六、布置作業(yè)．教材練習(xí)．．選作課時作業(yè)設(shè)計．第一課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題．在英文字母中，是中心對稱的英文字母的個數(shù)有（）個．．．．．．下面的圖案中，是中心對稱圖形的個數(shù)有（）個．．．．．如圖，把一張長方形的紙片，沿折疊后，′與的交點為，點、分別落在′、′的位置上，若∠°，則∠（）．°．°．°．°二、填空題．關(guān)于某一點成中心對稱的兩個圖形，對稱點連線必通過．．把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形是圖形．．用兩個全等的直角非等腰三角形可以拼成下面圖形中的哪幾種：（填序號）（）長方形；（）菱形；（）正方形；（）一般的平行四邊形；（）等腰三角形；（）梯形．三、綜合提高題．仔細觀察所列的個英文字母，將相應(yīng)的字母填入下表中適當?shù)目崭駜?nèi)．對稱形式軸對稱旋轉(zhuǎn)對稱中心對稱只有一條對稱軸有兩條對稱軸．如圖，在正方形中，作出關(guān)于點的中心對稱圖形，并寫出作法．．如圖，是由兩個半圓組成的圖形，已知點是的中點，畫出此圖形關(guān)于點成中心對稱的圖形．答案:一、．．．二、．這一點（對稱中心）．中心對稱．（）（）（）三、．略．作法：（）