適用于老高考新教材2023屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破練6空間幾何體的結(jié)構(gòu)表面積與體積含解析

Page8考點(diǎn)突破練6空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積一、選擇題1.(2022·廣東深圳一模)以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于()A.8π B.4πC.8 D.42.(2022·湖北武漢二模)如圖,在棱長為2的正方體中,以其各面中心為頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體為正八面體,則該正八面體的體積為()A.223 B.C.423 D3.(2022·江蘇無錫二模)已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周均在球O的球面上.若該圓錐的底面半徑為23,高為6,則球O的表面積為()A.32π B.48π C.64π D.80π4.(2022·山東菏澤一模)如圖1,在高為h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,AB⊥AC.現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水,水深為2,然后固定容器底面的一邊AB于地面上,再將容器傾斜,當(dāng)傾斜到某一位置時(shí),水面恰好為A1B1C(如圖2),則容器的高h(yuǎn)為()圖1圖2A.3 B.4 C.42 D.65.(2021·全國甲·理11)已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),且AC⊥BC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為()A.212 B.312 C.246.(2022·山東濟(jì)寧二模)一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則該圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為()A.2∶3 B.3∶2 C.1∶2 D.3∶47.(2022·全國甲·文10)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等,側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π,側(cè)面積分別為S甲和S乙,體積分別為V甲和V乙.若S甲S乙=2,則V甲A.5 B.22C.10 D.58.(2022·天津南開中學(xué)模擬)棱長為23的正四面體內(nèi)切一球,然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球,則這些小球的最大半徑為()A.2 B.22C.24 D.9.(2022·河北衡水模擬)某球形巧克力設(shè)計(jì)了一種圓柱形包裝盒,每盒可裝7個(gè)球形巧克力,每盒只裝一層,相鄰的球形巧克力相切,與包裝盒接觸的6個(gè)球形巧克力與包裝盒相切,如圖是平行于底面且過圓柱母線中點(diǎn)的截面,設(shè)包裝盒的底面半徑為R,球形巧克力的半徑為r,每個(gè)球形巧克力的體積為V1,包裝盒的體積為V2,則()A.R=6r B.R=4rC.V2=9V1 D.2V2=27V110.(2022·山東青島一模)已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示,其上、下底面半徑分別為r上=1,r下=2,母線AB長為2,E為母線AB中點(diǎn),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.圓臺(tái)母線AB與底面所成角為60°B.圓臺(tái)的側(cè)面積為12πC.圓臺(tái)外接球半徑為2D.在圓臺(tái)的側(cè)面上,從C到E的最短路徑的長度為511.如圖,四邊形ABCD為正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E-ACD,F-ABC,E-ACF的體積分別為V1,V2,V3,則()A.V3=2V2 B.V3=2V1C.V3=V1+V2 D.2V3=5V112.(2022·江蘇七市第二次調(diào)研)在正六棱錐P-ABCDEF中,已知底面邊長為1,側(cè)棱長為2,則下列說法中錯(cuò)誤的是()A.AB⊥PDB.共有4條棱所在的直線與AB是異面直線C.該正六棱錐的內(nèi)切球的半徑為15D.該正六棱錐的外接球的表面積為16二、填空題13.(2020·江蘇·9)如圖,六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的,已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.

14.(2022·河北邢臺(tái)模擬)已知圓錐的母線與底面半徑之比為3∶1,若一只螞蟻從該圓錐底部上的一點(diǎn)A繞圓錐側(cè)面爬行一周再回到A點(diǎn)的最短距離為9,則該圓錐的體積為.

15.(2022·湖南湘潭三模)陀螺的形狀結(jié)構(gòu)如圖所示,由一個(gè)同底的圓錐和圓柱組合而成,若圓錐和圓柱的高以及底面圓的半徑長分別為h1,h2,r,且h1=h2=r,設(shè)圓錐的側(cè)面積和圓柱的側(cè)面積分別為S1和S2,則S1S2=16.(2022·廣東廣州二模)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=CD=CB=1,將△ACD沿AC折起,連接BD,得到三棱錐D-ABC,則三棱錐D-ABC體積的最大值為.

考點(diǎn)突破練6空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積1.A解析:以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為圓柱,其底面半徑r=2,高h(yuǎn)=2,故其側(cè)面積為S=2πr×h=2π×2×2=8π.2.B解析:該正八面體是由兩個(gè)同底的正四棱錐組成,且正四棱錐的底面是邊長為2的正方形,棱錐的高為1,所以該正八面體的體積為2×13×23.C解析:因?yàn)?>23,故球心在圓錐的內(nèi)部且在圓錐的高上.設(shè)球O的半徑為R,則(6-R)2+(23)2=R2,解得R=4,故球O的表面積S=4πR2=64π.4.A解析:由題可得,在圖1中,V水=12×2×2×2=4,在圖2中,V水=VABC-A1B1C1-VC-A1B1C1=125.A解析:AC⊥BC,AC=BC=1,設(shè)O1為AB的中點(diǎn),連接CO1,OO1,則CO1=22,由題意OO1⊥平面ABC,在Rt△OO1C中,OO1=OC2-CO12=6.A解析:設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,圓錐的高為h,內(nèi)切球的半徑為R,其軸截面如圖所示,O為內(nèi)切球球心.因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,所以πl(wèi)=2πr,得l=2r,即PA=PB=2r,所以PD=PB2-BD2由圖可知,△POE∽△PBD,所以POPB=OEBD,即3r-R2r=Rr,解得R=33r,所以圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為(4πR2)∶(πrl)7.C解析:如圖,甲、乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個(gè)圓,設(shè)圓的半徑(即圓錐的母線長)為3,則圓的周長為6π,甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h2,則2πr1=4π,2πr2=2π,則r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=5,h2=22,所以V甲V8.C解析:由題意知,和正四面體A-BCD的三個(gè)側(cè)面以及內(nèi)切球都相切的小球的半徑最大.設(shè)內(nèi)切球球心為O,半徑為R,空隙處的最大球球心為O1,半徑為r.G為△BCD的中心,易知AG⊥平面BCD,E為CD中點(diǎn),球O和球O1分別與平面ACD相切于點(diǎn)F和點(diǎn)H.由題得,BE=(23則BG=23BE=2,AG=(23)由VA-BCD=VO-BCD+VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD,可得R=3V又VA-BCD=13×23×3×22×12=26,S△BCD=S△ABC=S△ABD=S△ACD=12×23×3=33,故R=22,AO1=AG-GO1=22-2×22-r=2-r,AO=AG-GO=22-22=329.D解析:由圖可知R=3r,故A錯(cuò)誤,B錯(cuò)誤;由題可知包裝盒的高為2r,故V2=πR2×2r=18πr3.又V1=43πr3,所以2V2=27V1,故C錯(cuò)誤,D正確10.B解析:如圖,設(shè)O1,O2分別為圓臺(tái)下、上底面的圓心,對(duì)于A,過點(diǎn)A作AF∥O1O2交BC于點(diǎn)F,因?yàn)镺1O2⊥底面,則AF⊥底面,所以∠ABF即為母線AB與底面所成角.在等腰梯形ABCD中,AB=2,BF=2-1=1,所以cos∠ABF=BFAB因?yàn)椤螦BF為銳角,所以∠ABF=60°,故A正確.對(duì)于B,由圓臺(tái)側(cè)面積公式知S側(cè)=π(r上+r下)·AB=π(1+2)×2=6π,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,設(shè)圓臺(tái)外接球的球心為O,半徑為R.由題意可得,O1B=2,O2A=1,O1O2=22設(shè)OO1=a,則OO2=3-a.由R=OA=OB,即12+(3-a)2=22對(duì)于D,如圖所示,在圓臺(tái)的側(cè)面上,從點(diǎn)C到點(diǎn)E的最短路徑的長度為CE.由題意可得,FB=FC=4,AB=2.由E為AB的中點(diǎn),得FE=3,又弧BB'的長為2πr下=4π=π·FB,所以圓臺(tái)的側(cè)面展開圖為半圓環(huán),所以CE=CF2+11.C解析:設(shè)AB=ED=2FB=2a,因?yàn)镋D⊥平面ABCD,FB∥ED,則V1=13·ED·S△ACD=13·2a·12·(2a)2=4V2=13·FB·S△ABC=13·a·12·(2a)2=23a3,連接BD交AC于點(diǎn)M,連接EM,FM,易得又ED⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,則ED⊥AC.又ED∩BD=D,ED,BD?平面BDEF,則AC⊥平面BDEF,又BM=DM=12BD=2a,過F作FG⊥DE于G,易得四邊形BDGF為矩形,則FG=BD=22a,EG=a則EM=(2a)2+(2a)2=6a,FM=a2+(則EM⊥FM,S△EFM=12EM·FM=322a2,AC=2則V3=VA-EFM+VC-EFM=13AC·S△EFM=2a3,則2V3=3V1,V3=3V2,V3=V1+V2,故A,B,D錯(cuò)誤;C正確.故選C12.A解析:設(shè)底面中心為O,則在正六棱錐P-ABCDEF中,PO⊥平面ABCDEF,∴PO⊥AB.對(duì)于A,若PD⊥AB,則AB⊥平面POD,則AB⊥OD,即AB⊥AD,與已知矛盾,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,AB與直線PC,PD,PE,PF異面,故B正確;對(duì)于C,設(shè)內(nèi)切球半徑為r,取AB中點(diǎn)M,PA=PB=2,BM=12,OM=32,∴PM=∴S△PAB=12×1∴S側(cè)=154×6=3152,S底=6在Rt△POM中,PO=PM由等體積法得13×332對(duì)于D,設(shè)外接球半徑為R,則(3-R)2+1=R2,解得R=233,故外接球的表面積為S=4πR2=1613.123-π2解析:∵底面正六邊形的面積S正六邊形=6×1圓柱底面圓的面積S圓=π·12∴六角螺帽毛坯的體積V=63-π4×14.26π解析:設(shè)母線長為l,底面半徑為r,側(cè)面展開圖的圓心角為θ,則θ=2πrl.由已知得lr=3,聯(lián)立解得圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,如圖所示,則∠OAB=π6.從該圓錐底部上的一點(diǎn)A繞圓錐側(cè)面爬行一周再回到A點(diǎn)的最短距離為AB則l=OA=12ABcos∠OAB=33,即r=3,則圓錐的高為h=27-3=26,故該圓錐的體積為V=1315.22解析:由題意,圓錐的母線長為l=h12+r2=2r,則圓錐的側(cè)面積為S1=πrl=2πr2.根據(jù)圓柱的側(cè)面