機電一體化第3講.機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立1

第二章機械系統(tǒng)設(shè)計2.1

機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立預(yù)備知識拉氏變換的主要運算定理1、

線性定理

f(t)=f(t)±f?(t)F(s)=F(s)±F?(s)2、比例定理

L[f(t)]=kF(s)3、微分定理

f(t)=kf(t)5、位移定理L[e"f(t)]=F(s+a)4、

積分定理預(yù)備知識預(yù)備知識方框圖及其運算

2.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立·

“系統(tǒng)”——

由一些元件或零部件按照一定方式

相互連接成的集合體?！C電一體化系統(tǒng)中，機械系統(tǒng)和電系統(tǒng)連接往往

通過傳感器或換能器，將被測物理量(位移、速

度、加速度、聲波、液壓等)轉(zhuǎn)化為變化的電流

和電壓，系統(tǒng)在給定條件下(如一定的信號形式)

完成某種功能。2

.

1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立機械移動系統(tǒng)機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)機械系統(tǒng)2

.

1

機

械

系

統(tǒng)

數(shù)

學(xué)

模

型

的

建

立1.機械移動系統(tǒng)不一定需要真正的彈簧、阻尼器和質(zhì)量塊，

只

要具有剛性、阻力及慣性這些性能，在輸入力作用

下，系統(tǒng)能產(chǎn)生一定相應(yīng)輸出，如位移輸出。表示系統(tǒng)慣性表示系統(tǒng)剛性表示摩擦或衰減效應(yīng)質(zhì)

量彈

簧阻

尼機械移動系統(tǒng)2.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立m

k

C(a)質(zhì)量；

(b)彈簧；

(c)阻尼圖2.1

機械平移系統(tǒng)基本元件(a)質(zhì)量；

(b)彈簧；

(c)阻尼(2)彈簧力：對于線性彈簧來說，彈簧被拉伸或壓縮時，彈

簧的變形量與所受的力成正比，數(shù)學(xué)模型為F.(t)=kx(t)(3)阻尼力：當(dāng)力較大質(zhì)量塊獲得較大速度時，不能忽略空

氣阻尼力的影響。在粘性摩擦系統(tǒng)中，阻尼力與速度v成正比，數(shù)學(xué)模型為F.()=a()=c42.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立有三種阻止運動的力：慣性力、彈簧力和阻尼力。(1)慣性力：根據(jù)牛頓第二定律，慣性力等于質(zhì)量乘以加速

度，數(shù)學(xué)模型為基本元件公式能量或消耗功率直線型質(zhì)量塊(慣性力)彈簧(彈簧力)F,=kx阻尼器(阻尼力)P,=cv22.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立2.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立2.機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)·三個相應(yīng)的基本元件：

轉(zhuǎn)動慣量、扭簧和黏滯阻尼器。對

應(yīng)于這三個基本元件的三種阻止運動的力為外力矩M(t)、

阻力矩M。(t)和扭簧力矩M,(t)Coθ?

M

θ2圖2.2

機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)基本元件

(a)轉(zhuǎn)動慣量；

(b)阻尼；

(c)扭簧θ

M2.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立(1)外力矩M(t),

也稱扭矩；θ(t)為旋轉(zhuǎn)角度；

J為轉(zhuǎn)動慣量；

E

為角加速度。θ

M(2)阻尼力矩M。(t);cg為黏滯阻尼系數(shù)，θ?(t)和O?

(t)分別為(3)扭簧力矩M;k。

為扭簧剛度。M?(1)=k?[O()-O?(1)]輸入與輸出旋轉(zhuǎn)角度。θ?

M?θCo基本元件公式能量或消耗功率旋轉(zhuǎn)型轉(zhuǎn)動慣量(外力矩

)扭簧(扭簧力矩)Mx=k?

θ黏滯阻尼器(阻尼力矩)P.=com22.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立2.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立3.機械系統(tǒng)建?！だ?.1

如圖所示的機械振動系統(tǒng)。在外力F的作用下，根

據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)微分方程可以寫成為F(s)-kX(s)-csX(s)=ms2X(s)2.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立·

例2

.2

設(shè)彈簧-質(zhì)量-阻尼組成的簡單的機械平移系統(tǒng)如圖

所示，列出以F為輸入，以質(zhì)量的位移y為輸出的運動方程

式。根據(jù)牛頓第二定律可得：2F=m=m則系統(tǒng)的方程為：

上式經(jīng)整理，可得系統(tǒng)的微分方程為：傳遞函數(shù)：平基系統(tǒng)2.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立F(s)

X(s)1/ms2CSk2.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立·

例2

.3

對于如圖所示的車輛振動系統(tǒng)，求X1、X2隨F變

化的關(guān)系。X?(t)CY?(t)K?F(t)M?2.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立二

m,s2+Cs+K

mqm?s?+(m?+m?)Cs3+(m?K?+m,K?+m?K?)s2+CK?s+K?K?2.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立·

例2.4簡單扭擺的工作原理如圖所示，圖中J為擺錘的轉(zhuǎn)動

慣量；

c為擺錘與空氣間的粘性阻尼系數(shù)；

k為扭簧的扭轉(zhuǎn)剛度；

T(t)為加在擺錘上的扭矩；θ(t)為擺錘轉(zhuǎn)角。則系

統(tǒng)的運動方程為：·對應(yīng)于這三個基本元

件的三種阻止運動的

力為外力矩M(t)、

阻矩(tM)。(t)和扭簧力矩M+M,+Mx=TJ0+C0+Kθ=T(t)θ(s)

1二T(s)

Js2+Cs+KC(t)基本元件公式能量或消耗功率電感電容i=c電阻電路系統(tǒng)建模(拓展知識點)電路系統(tǒng)建模(拓展知識點)·

例2

.5

設(shè)有一個以電阻R、

電感L和電容C組成的R-L-C電路

如圖所示。試列寫以ui為輸入，

uo為輸出的微分方程式。消去中間變量I

得輸入-輸出的運動方程式解：根據(jù)基爾霍夫定律寫出電路方程傳遞函數(shù)：其中亦即R.L-C

網(wǎng)結(jié)電路系統(tǒng)建模(拓展知識點)·

思考題：對于如圖所示的RC無源電網(wǎng)絡(luò)，其輸入/輸出關(guān)

系可以表示為。RoU,(s)-U。(s)=RI(s)

U。(s)=I(s)/CsU?(s)

二

U,(s)1RCS+1u;-Uo=Ri

電路系統(tǒng)建模(拓展知識點)U,(s)-U

。(s)=RI(s)Uo(s)=I(s)/CsU15+cAU(3)I(5)1RUF(s)電路系統(tǒng)建模(拓展知識點)機電系統(tǒng)的相似性(c)(a)(b)L電路系統(tǒng)建模(拓展知識點)機電系統(tǒng)的相似性不同的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型均為二階微分方程，即相似的數(shù)學(xué)模型。亦即是說各物理系統(tǒng)的特性參數(shù)間也存在著一定

的運動相似性。2.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立三、基本物理量的折算·在建立機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的過程中，經(jīng)常會遇到基本物理量的折算問題，在此結(jié)合數(shù)控機床進給系統(tǒng)，介紹建模中

的基本物理量的折算問題。●

數(shù)控機床進給系統(tǒng)如圖2-3所示。電動機通過兩級減速齒輪z,、Z?

、Z?、z?及絲杠螺母機構(gòu)驅(qū)動工作臺做直線運動。2.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立—J?T3k?Ti2.1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立·

圖2-3中，

J,為軸I部件和電動機轉(zhuǎn)子構(gòu)成的轉(zhuǎn)動慣量；

J?、J?為分別為軸Ⅱ、Ⅲ部件的轉(zhuǎn)動慣量；

k?

、k?

、k?分別為軸I、Ⅱ、Ⅲ的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；

k為絲杠螺母副的軸向剛度系數(shù)；m

為工作臺質(zhì)量；

c為工作臺導(dǎo)軌粘性阻尼系數(shù)；

Ti、T?T?

分別為軸的輸入轉(zhuǎn)矩。2

.

1機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立1.轉(zhuǎn)動慣量的折算將軸I、Ⅱ、Ⅲ上的轉(zhuǎn)動慣量和工作臺的質(zhì)量都折算到軸I上，作為系統(tǒng)總轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)T'、T?

、T?

分別為軸I、Ⅱ、Ⅲ

的負載轉(zhuǎn)矩，

の、2、の3

分別為軸I、Ⅱ、Ⅲ的角速度，