2022年上海同濟大學(xué)第二附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022年上海同濟大學(xué)第二附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的圖像上關(guān)于原點對稱的點有（

）對A.0 B.2 C.3 D.無數(shù)個參考答案：B【分析】作出函數(shù)的圖象如圖所示，再作出關(guān)于原點對稱的圖象，根據(jù)交點個數(shù)得解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，再作出關(guān)于原點對稱的圖象，記為曲線.容易發(fā)現(xiàn)與曲線有且只有兩個不同的交點，所以滿足條件的對稱點有兩對，即圖中的就是符合題意的點.故選：B.【點睛】本題主要考查了基本初等函數(shù)的圖象及其應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.解答本題的關(guān)鍵是作出函數(shù)位于軸左側(cè)的圖象關(guān)于原點的對稱圖象，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象與指數(shù)函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，就容易解答了.作關(guān)于原點對稱的圖象時，要把握好其三要素開口方向、對稱軸和頂點.2.設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β下面命題正確的是（）A．若l∥β，則α∥β B．若α⊥β，則l⊥m C．若l⊥β，則α⊥β D．若α∥β，則l∥m參考答案：C【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系．【分析】對4個命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：對于A，若l∥β，則α∥β或α，β相交，不正確；對于B，若α⊥β，則l、m位置關(guān)系不定，不正確；對于C，根據(jù)平面與平面垂直的判定，可知正確；對于D，α∥β，則l、m位置關(guān)系不定，不正確．故選C．【點評】本題考查了空間線面、面面平行和垂直關(guān)系，面面平行的判定定理，線面垂直的定義及其應(yīng)用，空間想象能力3.函數(shù)（0＜a＜1）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞） C．（﹣∞，﹣） D．（﹣，+∞）參考答案：B【考點】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【分析】利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解．【解答】解：設(shè)t=g（x）=﹣x2+3x+2，則y=at，0＜a＜1為減函數(shù)，若求f（x）=a（0＜a＜1）的單調(diào)遞增區(qū)間，則等價為求t=g（x）=﹣x2+3x+2的單調(diào)遞減區(qū)間，∵t=g（x）=﹣x2+3x+2的單調(diào)遞減區(qū)間為（，+∞），∴函數(shù)f（x）=a（0＜a＜1）的單調(diào)遞增區(qū)間是（，+∞），故選：B4.當(dāng)a>1時，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象是(

)參考答案：B略5.設(shè)集合是實數(shù)集的子集，如果點滿足：對任意，都存在，使得，那么稱為集合的聚點，用表示整數(shù)集，下列四個集合：①，②，③，④整數(shù)集．其中以0為聚點的集合有（

）A．①②

B．②③

C．①③

D．②④參考答案：B6.已知f()=，則f(x)=（

）

A．(x＋1)2

B．(x－1)2

C．x2－x＋1

D．x2＋x＋1參考答案：C7.已知全集，集合，，則集合CU（A∩B）=A．

B．

C．

D．參考答案：C8.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)，時，，則（

）A. B. C.4 D.2參考答案：A又且關(guān)于點對稱，從而本題選擇A選項.9.若是上的減函數(shù)，且的圖象經(jīng)過點和點，則當(dāng)不等式的解集為時，的值為(

)A.

0

B.－1

C.

1

D.

2參考答案：C10.在△ABC內(nèi)有任意三點不共線的2016個點，加上A，B，C三個頂點，共2019個點，把這2019個點連線形成互不重疊的小三角形，則一共可以形成小三角形的個數(shù)為（

）A.4033 B.4031 C.4029 D.4027參考答案：A【分析】先得到所有三角形的內(nèi)角和，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，可得三角形的個數(shù)，得到答案．【詳解】由題意，三角形的內(nèi)角和為，又以內(nèi)部每個點為頂點的角的和為一個周角是，則2016個點的角的總和，加上三角形原來的內(nèi)角和，所以所有三角形的內(nèi)角和，所以三角形的個數(shù)為，故選A．【點睛】本題主要考查了合情推理的應(yīng)用，其中解答根據(jù)各三角形內(nèi)角總和得到三角形的個數(shù)是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)共有

.參考答案：312.已知函數(shù)，是的反函數(shù)，若（m，n∈R+），則的值為______________。參考答案：解：，∴。13.設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有f（x+2）=﹣f（x），當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x﹣x2，則f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=

．參考答案：0【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的周期性．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，利用函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：∵設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，∵當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x﹣x2，∴f（0）=0，f（1）=2﹣1=1，f（2）=0，f（3）=﹣1，∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=504×（0+1+1﹣1）=0．故答案為：0【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．14.若指數(shù)函數(shù)y=f（x）的圖象過點（1，2），則f（2）=． 參考答案：4【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點． 【專題】計算題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】設(shè)函數(shù)f（x）=ax，a＞0且a≠1，把點（1，2），求得a的值，可得函數(shù)的解析式，代值計算即可． 【解答】解：設(shè)函數(shù)f（x）=ax，a＞0且a≠1， 把點（1，2），代入可得a1=2，求得a=2， ∴f（x）=2x， ∴f（2）=22=4 故答案為：4． 【點評】本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．15.已知在△ABC中，，則____________．參考答案：【分析】先由正弦定理求出的值，再由，知，即為銳角，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值.【詳解】由正弦定理得，，，，則為銳角，所以，，故答案為：.【點睛】本題考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題時要注意大邊對大角定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16.已知定義在R上的函數(shù)、滿足：對任意有且．若，則

．參考答案：117.不等式的解集是_________。（用區(qū)間表示）參考答案：(1，11)解：。∴解集是(1，11)。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.）已知不等式的解集是．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求不等式的解集．

參考答案：解：（1）∵，∴，∴

………5分

（2）∵，∴是方程的兩個根，∴由韋達(dá)定理得

解得

………8分

∴不等式即為：其解集為．

………12分

略19.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F(xiàn)分別是AP，AC的中點，點D在棱AB上，且AD=AC．求證：（1）EF∥平面PBC；（2）DF⊥平面PAC．參考答案：【考點】LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（1）利用三角形中位線定理推導(dǎo)出EF∥PC，由此能證明EF∥平面PBC．（2）由已知條件推導(dǎo)出△ACD為正三角形，DF⊥AC，從而得到DF⊥平面PAC．【解答】（本題滿分為12分）證明：（1）在△PAC中，因為E，F(xiàn)分別是AP，AC的中點，所以EF∥PC．…又因為EF?平面PBC，PC?平面PBC，所以EF∥平面PBC．…（2）連結(jié)CD．因為∠BAC=60°，AD=AC，所以△ACD為正三角形．因為F是AC的中點，所以DF⊥AC．…因為平面PAC⊥平面ABC，DF?平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，所以DF⊥平面PAC．…20.已知圓O：和點，，，.(1)若點P是圓O上任意一點，求；(2)過圓O上任意一點M與點B的直線，交圓O于另一點N,連接MC，NC，求證：.參考答案：(1)2(2)見證明【分析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，得出，利用兩點間的距離公式以及將關(guān)系式代入可求出的值；（2）對直線的斜率是否存在分類討論。①直線的斜率不存在時，由點、的對稱性證明結(jié)論；②直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，通過計算直線和的斜率之和為零來證明結(jié)論成立?！驹斀狻浚?）證明：設(shè)，因為點是圓上任意一點，所以，所以，（2）①當(dāng)直線的傾斜角為時，因為點、關(guān)于軸對稱，所以.

②當(dāng)直線的傾斜角不等于時，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為.設(shè)、，則，.

，

，.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系問題，考查兩點間的距離公式、韋達(dá)定理在直線與圓的綜合問題的處理，本題的關(guān)鍵在于將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系來處理，另外，利用韋達(dá)定理求解直線與圓的綜合問題時，其基本步驟如下：（1）設(shè)直線的方程以及直線與圓的兩交點坐標(biāo)、；（2）將直線方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理；（3）將問題對象利用代數(shù)式或等式表示，并進(jìn)行化簡；（4）將韋達(dá)定理代入（3）中的代數(shù)式或等式進(jìn)行化簡計算。21.已知函數(shù)的部分圖象如右所示.(1)求；(2)設(shè)，求函數(shù)的值域。

參考答案：解:(1);

(2)略22.已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+3，x∈[﹣2，2]（1）當(dāng)a=﹣1時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；（2）記f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．參考答案：【考點】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．（2）借助于函數(shù)的圖象研究單調(diào)性，確定最小值，主要是從開口方向、對稱軸與區(qū)間的關(guān)系來確定函數(shù)的最小值．【解答】解：（1）a=﹣1時，f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2∵對稱軸x=1∈[﹣2，2]，∴f（x）min=f（1）=2，f（x）max=f（﹣2）=11，（2）f（x）=x2+2ax+3=（x+a）2+3﹣a2