2021年黑龍江省哈爾濱市第一三○中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2021年黑龍江省哈爾濱市第一三○中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.（5分）一個(gè)四面體的頂點(diǎn)都在球面上，它們的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是右圖．圖中圓內(nèi)有一個(gè)以圓心為中心邊長(zhǎng)為1的正方形．則這個(gè)四面體的外接球的表面積是（）A．πB．3πC．4πD．6π參考答案：B【考點(diǎn)】：球的體積和表面積．【專(zhuān)題】：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】：由三視圖可知：該四面體是正方體的一個(gè)內(nèi)接正四面體．此四面體的外接球的半徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為．利用球的表面積計(jì)算公式即可得出．解：由三視圖可知：該四面體是正方體的一個(gè)內(nèi)接正四面體．∴此四面體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為．∴此四面體的外接球的表面積為表面積為=3π．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了三棱錐的三視圖、正方體與外接球的性質(zhì)、球的表面積的計(jì)算公式，考查了推理能力與空間想象能力、計(jì)算能力，屬于中檔題．3.下列四個(gè)命題中的真命題為（

）A.，使得

B.，總有C.，，

D.，，參考答案：D略4.某程序框圖如圖所示,當(dāng)程序運(yùn)行后，輸出T的值是(A)30

(B)31

(C)55

(D)56參考答案：B5.設(shè)是定義在上以2為周期的偶函數(shù)，已知，，則函數(shù)在上()A．是增函數(shù)且

B．是增函數(shù)且

C．是減函數(shù)且

D．是減函數(shù)且參考答案：D6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是Sn，若，，則S10的值為

A．55

B．60

C．65

D．70參考答案：C7.若，則下列不等式成立的是A. B. C. D.參考答案：A略8.下列命題中正確的是（（）A．若p∨q為真命題，則p∧q為真命題B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要條件C．命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1或x≠2，則x2﹣3x+2≠0”D．命題p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，則￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】A根據(jù)且命題和或命題的概念判斷即可；B均值定理等號(hào)成立的條件判斷；C或的否定為且；D對(duì)存在命題的否定，應(yīng)把存在改為任意，然后再否定結(jié)論．【解答】解：A、若p∨q為真命題，p和q至少有一個(gè)為真命題，故p∧q不一定為真命題，故錯(cuò)誤；B、“a＞0，b＞0”要得出“+≥2”，必須a=b時(shí)，等號(hào)才成立，故不是充分必要條件，故錯(cuò)誤；C、命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1且x≠2，則x2﹣3x+2≠0”，故錯(cuò)誤；D、對(duì)存在命題的否定，應(yīng)把存在改為任意，然后再否定結(jié)論，命題p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，則￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0，故正確．故選：D．9.平面向量，的夾角為60°，=（2，0），||=1，則|+2|=(

) A． B． C． D．2參考答案：A考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用．分析：根據(jù)已知條件可求出，，又，從而能求出=．解答： 解：由得；所以根據(jù)已知條件可得：=．故選A．點(diǎn)評(píng)：考查根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度，數(shù)量積的計(jì)算公式，以及求向量長(zhǎng)度的方法：．10.設(shè)集合等于A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，a2=1，，則a1的值是．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知數(shù)據(jù)可得首項(xiàng)和公比的方程組，解方程組可得．【解答】解：由題意設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q＞0，∵a2=1，a3?a9=2a52，∴a1q=1，a12?q10=2（a1q4）2，兩式聯(lián)立解得a1=，q=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的首項(xiàng)和公比是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．12.函數(shù)在區(qū)間上取值范圍為_(kāi)___________.參考答案：[,]13.不等式的解集為．參考答案：[-1,6]14.函數(shù)，若互不相同，且，則的取值范圍是___________;參考答案：（32，35）15.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB是面積為的等邊三角形，則橢圓C的方程為．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題設(shè)條件知列出a，b，c的方程，結(jié)合三角形的面積，求出a，b求出橢圓的方程．【解答】解：F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB是面積為的等邊三角形，可得：，×=4，a2=b2+c2，解得a2=18，b2=12，c2=6．所求的橢圓方程為：．故答案為：．16.已知a≠0，函數(shù)，(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在一條直線與曲線和均相切，則最大值是

．參考答案：e因?yàn)?，，所以，，設(shè)曲線和的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則，可得，代入上式可得：，構(gòu)造函數(shù)，求得最小值為0，所以的最大值為e．17.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則x2+y2的最小值是．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)z=x2+y2，利用z的幾何意義，即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：設(shè)z=x2+y2，則z的幾何意義是區(qū)域到原點(diǎn)距離，由圖象可知當(dāng)直線x+y﹣3=0與圓相切時(shí)，此時(shí)距離最短，d=，即z=d2=故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，且（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求實(shí)數(shù)與的關(guān)系；（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：令，要使在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)滿足或恒成立.（1）當(dāng)時(shí)，，.在內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，故符合條件.……………3分（2）當(dāng)時(shí)，.只需，即時(shí)，此時(shí).在內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，故符合條件.

…………5分（3）當(dāng)時(shí)，.只需，此時(shí).在內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，故符合條件.綜上可得,或?yàn)樗?

…………6分（3）在上是減函數(shù)，時(shí)，；時(shí)，.即.（1）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上遞減，，不合題意.8分（2）當(dāng)時(shí)，由知，..由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，不合題意.………10分（3）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知在上遞增，，又在在上遞減，.即，.綜上，的取值范圍是.……12分略19.（10分）（2014?西藏一模）已知AB為半圓O的直徑，AB=4，C為半圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作半圓的切線CD，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CD于D，交半圓于點(diǎn)E，DE=1．（Ⅰ）求證：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的長(zhǎng)．參考答案：20.（本小題滿分12分）PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱(chēng)為可入肺顆粒物，根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3095–2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米~75毫克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)。從某自然保護(hù)區(qū)2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)值數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值（微克/立方米）[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]頻數(shù)311113（1）從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取3天，求恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；（2）從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列；（3）以這10天的PM2.5日均值來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量狀況，則一年（按366天算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)。（精確到整數(shù)）參考答案：解：（Ⅰ）記“從10天的PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件，

……1分.

……4分（Ⅱ）依據(jù)條件，服從超幾何分布：其中，的可能值為，其分布列為：

……6分

……8分

（Ⅲ）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率為，一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)為，則~

……10分，一年中平均有256天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)

.…12分

略21.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n2，{bn}為等比數(shù)列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)cn=，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列遞推式．【專(zhuān)題】計(jì)算題；綜合題．【分析】（I）由已知利用遞推公式可得an，代入分別可求數(shù)列bn的首項(xiàng)b1，公比q，從而可求bn（II）由（I）可得cn=（2n﹣1）?4n﹣1，利用乘“公比”錯(cuò)位相減求和．【解答】解：（1）：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣2（n﹣1）2=4n﹣2，故{an}的通項(xiàng)公式為an=4n﹣2，即{an}是a1=2，公差d=4的等差數(shù)列．設(shè){bn}的公比為q，則b1qd=b1，d=4，∴q=．故bn=b1qn﹣1=2×，即{bn}的通項(xiàng)公式為bn=．（II）∵cn===（2n﹣1）4n﹣1，Tn=c1+c2+…+cnTn=1+3×41+5×42+…+（2n﹣1）4n﹣14Tn=1×4+3×42+5×43+…+（2n﹣3）4n﹣1+（2n﹣1）4n兩式相減得，3Tn=﹣1﹣2（41+42+43+…+4n﹣1）+（2n﹣1）4n=∴Tn=【點(diǎn)評(píng)】（I）當(dāng)已知條件中含有sn時(shí)，一般會(huì)用結(jié)論來(lái)求通項(xiàng)，一般有兩種類(lèi)型：①所給的sn=f（n