第二章導數(shù)與微分2 1定義

第

章2數(shù)與微分

導數(shù)的定義

求導法則

高階導數(shù)及相關變化率

微分導*微分學是微積分的重要組成部分,它的基本概念是導數(shù)和微分.*兩個基本概念來源于兩類問題:1)研究函數(shù)在某點變化的快慢,即變化率問題;2)研究當自變量變化少許時,函數(shù)變化了多少,即改變量問題;*本章基本內容就是建立導數(shù)和微分的概念,討論函數(shù)的求導方法和微分運算方法.

前者引出“導數(shù)”概念,后者引出“微分”概念.2.1導數(shù)的定義

2.1.1引例

2.1.2導數(shù)的定義2.1.4

導數(shù)的幾何意義

2.1.5

函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系2.1.3求導舉例2.1.1

引例例1

設作直線運動的質點,它的路程規(guī)律是s=s(t),則它在時刻t0的速度v(t0)是什么?割線的極限位置——切線位置例2

求曲線的切線方程.例2

求曲線的切線方程點N沿曲線C而趨于點M時，割線MN繞點M轉動而趨于極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線。極限位置的含義：|MN|→0時有∠NMT→0。割線的極限位置——切線位置另一方面變速直線運動的瞬時速度:曲線的切線斜率：兩者的共性：所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限2.1.2導數(shù)的定義1.點導數(shù)的定義定義2.1.12.導數(shù)也可記作說明:1.“可導”，“導數(shù)存在”，“具有導數(shù)”意義相同。3.導數(shù)的定義是構造型的,它是函數(shù)的一種特殊形式的極限。4.點導數(shù)是因變量在點x0處的變化率，它反映因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度的精確描述。5.導數(shù)的不同記號:如果導數(shù)不存在的原因是,6.如果極限不存在,則稱函數(shù)f(x)在點x0不可導。則稱函數(shù)f(x)在點x0的導數(shù)為無窮大。2.單側導數(shù)的定義右導數(shù):左導數(shù):3.導函數(shù)(區(qū)間導數(shù))的定義★★說明:1.對于閉區(qū)間的端點,只要求單邊可導。2.在上述極限表達式中,是變量,是常量。(稱呼:導數(shù)、導函數(shù)、導數(shù)值)3.與之間的關系:

注意：單側導數(shù)不可記作,它們表示的是導函數(shù)的右、左極限。步驟:例3解2.1.3

求導舉例例4解一般地:例如:例5解類似的，例6解特別：例7解★請記住以下基本求導公式:例8解解例91.概念中的導數(shù)在均勻情況下,凡是用除法定義的概念或物理量,在不均勻的情況下,絕大多數(shù)是導數(shù)。其他如:種群的生長率和死亡率;放射性物質的衰變率;戰(zhàn)爭中物資和戰(zhàn)斗力的損耗率;冷卻過程中的溫度變化率等等,都與導數(shù)有關.2.1.4

導數(shù)的幾何意義2.導數(shù)的幾何意義切線方程：法線方程：切線的斜率:特殊情況：注意:導數(shù)存在有切線例10分析凡涉及切線、法線的問題，關鍵在于尋求切點和切線的斜率。解2.1.5

可導與連續(xù)的關系證定理2.1.1

凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)。加深對導數(shù)概念的理解；基本求導公式的推導；分段函數(shù)分界點處的可導性討論；抽象函數(shù)導數(shù)存在性的證明等。物理典型:速度問題幾何典型:切線問題導數(shù)的概念:函數(shù)對自變量的即時變化率導數(shù)的定義:當自變量的增量趨于零時,函數(shù)增量與自變量增量之比的極限。利用定義求導數(shù)求切線和法線方程可導與連續(xù)的關系★本講內容小結作業(yè)P.633.5.6.7(4).8.9.10(4).12下講內容預告

利用定義計算導數(shù)有時很復雜,甚至不可能,那么如何較方便地解決函數(shù)(特別是初等函數(shù))的求導問題呢？我們將在2.2節(jié)中討論解決這一問題.割線的極限位置——切線位置割線的極限位置——切線位置割線的極限位置——切線位置割線的極限位置——切線位置割線的極限位置—