第二章導(dǎo)數(shù)與微分2 1定義

第

章2數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)的定義

求導(dǎo)法則

高階導(dǎo)數(shù)及相關(guān)變化率

微分導(dǎo)*微分學(xué)是微積分的重要組成部分,它的基本概念是導(dǎo)數(shù)和微分.*兩個(gè)基本概念來(lái)源于兩類問(wèn)題:1)研究函數(shù)在某點(diǎn)變化的快慢,即變化率問(wèn)題;2)研究當(dāng)自變量變化少許時(shí),函數(shù)變化了多少,即改變量問(wèn)題;*本章基本內(nèi)容就是建立導(dǎo)數(shù)和微分的概念,討論函數(shù)的求導(dǎo)方法和微分運(yùn)算方法.

前者引出“導(dǎo)數(shù)”概念,后者引出“微分”概念.2.1導(dǎo)數(shù)的定義

2.1.1引例

2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義2.1.4

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

2.1.5

函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系2.1.3求導(dǎo)舉例2.1.1

引例例1

設(shè)作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn),它的路程規(guī)律是s=s(t),則它在時(shí)刻t0的速度v(t0)是什么?割線的極限位置——切線位置例2

求曲線的切線方程.例2

求曲線的切線方程點(diǎn)N沿曲線C而趨于點(diǎn)M時(shí)，割線MN繞點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)而趨于極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線。極限位置的含義：|MN|→0時(shí)有∠NMT→0。割線的極限位置——切線位置另一方面變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度:曲線的切線斜率：兩者的共性：所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義1.點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義定義2.1.12.導(dǎo)數(shù)也可記作說(shuō)明:1.“可導(dǎo)”，“導(dǎo)數(shù)存在”，“具有導(dǎo)數(shù)”意義相同。3.導(dǎo)數(shù)的定義是構(gòu)造型的,它是函數(shù)的一種特殊形式的極限。4.點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)x0處的變化率，它反映因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度的精確描述。5.導(dǎo)數(shù)的不同記號(hào):如果導(dǎo)數(shù)不存在的原因是,6.如果極限不存在,則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0不可導(dǎo)。則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大。2.單側(cè)導(dǎo)數(shù)的定義右導(dǎo)數(shù):左導(dǎo)數(shù):3.導(dǎo)函數(shù)(區(qū)間導(dǎo)數(shù))的定義★★說(shuō)明:1.對(duì)于閉區(qū)間的端點(diǎn),只要求單邊可導(dǎo)。2.在上述極限表達(dá)式中,是變量,是常量。(稱呼:導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)值)3.與之間的關(guān)系:

注意：?jiǎn)蝹?cè)導(dǎo)數(shù)不可記作,它們表示的是導(dǎo)函數(shù)的右、左極限。步驟:例3解2.1.3

求導(dǎo)舉例例4解一般地:例如:例5解類似的，例6解特別：例7解★請(qǐng)記住以下基本求導(dǎo)公式:例8解解例91.概念中的導(dǎo)數(shù)在均勻情況下,凡是用除法定義的概念或物理量,在不均勻的情況下,絕大多數(shù)是導(dǎo)數(shù)。其他如:種群的生長(zhǎng)率和死亡率;放射性物質(zhì)的衰變率;戰(zhàn)爭(zhēng)中物資和戰(zhàn)斗力的損耗率;冷卻過(guò)程中的溫度變化率等等,都與導(dǎo)數(shù)有關(guān).2.1.4

導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線方程：法線方程：切線的斜率:特殊情況：注意:導(dǎo)數(shù)存在有切線例10分析凡涉及切線、法線的問(wèn)題，關(guān)鍵在于尋求切點(diǎn)和切線的斜率。解2.1.5

可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系證定理2.1.1

凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)。加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解；基本求導(dǎo)公式的推導(dǎo)；分段函數(shù)分界點(diǎn)處的可導(dǎo)性討論；抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在性的證明等。物理典型:速度問(wèn)題幾何典型:切線問(wèn)題導(dǎo)數(shù)的概念:函數(shù)對(duì)自變量的即時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)的定義:當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí),函數(shù)增量與自變量增量之比的極限。利用定義求導(dǎo)數(shù)求切線和法線方程可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系★本講內(nèi)容小結(jié)作業(yè)P.633.5.6.7(4).8.9.10(4).12下講內(nèi)容預(yù)告

利用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)有時(shí)很復(fù)雜,甚至不可能,那么如何較方便地解決函數(shù)(特別是初等函數(shù))的求導(dǎo)問(wèn)題呢？我們將在2.2節(jié)中討論解決這一問(wèn)題.割線的極限位置——切線位置割線的極限位置——切線位置割線的極限位置——切線位置割線的極限位置——切線位置割線的極限位置—