力學中的邊角變換

=15物理教育網(wǎng)F^c力學中的邊角變換=1合川太和中學羅孝斌物理中有些動態(tài)變化問題，比較問題，最值范圍問題，看起來難以求解，如果借助直角三角形，巧妙的應用邊角轉(zhuǎn)換，問題很容易得以解決，筆者希望學生從下面的分析中學會對這類題的思考.一、利用相似三角形，將角轉(zhuǎn)化為邊解動態(tài)變化問題例1.如圖1所示，一半徑為R的光滑半球固定在水平面上，在其球心O的正上方，固定一個小定滑輪，，如果緩慢地將小球從A點拉到B點之前的過程中，小球受到半球?qū)λ闹С至和細線拉力F的的大小變化正確的是A.N變大，F(xiàn)變小B.N變小，F(xiàn)變大C.N變小，F(xiàn)變大D.解析設半徑和高分別為R、H、左邊繩長為A.N變大，F(xiàn)變小B.N變小，F(xiàn)變大C.N變小，F(xiàn)變大D.解析設半徑和高分別為R、H、左邊繩長為L，如圖2,在F作用下小球移到某一位置，小球在三個共點力的作用下處于平衡,N和G的合力大小等于F，顯然，兩個陰影部分三角形相似，易得:NGFzR…L.y=w=t所以,NRHL=—G,F=—GHHN不變，F(xiàn)變小小球位置變化時，R、H不變，L變短。故小球受到的支持力N不變，拉力F減小，選D答案。例2.如圖3,B球質(zhì)量為m，A、B帶同種電荷，且OA=OB，小球A始終固定，改變A的電量，B球?qū)⒃诓煌恢闷胶忪o止，當A球的電量為Q1時，B球拉線受的拉力為L，當A球的電荷量為Q2,Q2=2Q1時，B球的拉線受的拉力為T2，A.T]>T2 B.T1<T2 C.T1=T2=mg D.不知道角度，無法比較解析設OA=OB=L，AB之間的距離為R，當Q2=2Q1時，受力如圖，庫侖力和重力的合力F合=丁2,mgTF顯然畫斜線的兩個三角形相似，因此:=-^=-庫LLR

M物理教育網(wǎng)F-com?cn解得：T2=mg，從表達式看出：繩子的拉力與小球帶電荷量的多少無關，故：T1=T2=mg，選C答案。點評例1中的小球位置變化時，小球的支持力，繩子的拉力的方向不斷變化，例2中B球的電荷增加時，繩子的拉力、庫侖力方向不斷變化，導致三個力所對的角度發(fā)生了變化，任意兩個力所作的合力對應三角形的角（畫斜線部分）也發(fā)生了變化，如果不用角邊的轉(zhuǎn)化，利用相似三角形，憑著感性，容易掉入題設的陷阱中；而例2用正弦定理，正交分解，解三角形雖然也能求解，但都顯得要麻煩些。二、利用隱含的不變量進行邊角代換比較物理量大小下滑時間與弦長和傾角無關例3?如圖4是ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為圓周的最低點，每根桿上都套著一個小滑環(huán)，（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從a、b、c無初速度釋放，用七、七、七一次表示滑環(huán)到達d所用的時間，則( )解析如圖4所用的時間，則( )解析如圖4,連接ab、ac,ad為直徑，設為D。由牛頓第二定律知：mgsina=ma,在直角三角形acd中，scd=Dsina 在直角三角形acd中，scd=Dsina 由勻變速運動的位移公式得:1s=—at2 cd2cd 、2Dsina \2D沿cd斜面下滑的時間t=' =, cd\gsina 丫g由此看出弦下滑的時間與t與a角無關，則有t1=t2=t3,故下滑到底端的時間相等，選D答案。圓錐擺周期與擺線長和傾角無關例4.如圖5,三個質(zhì)量分別為m］、m2、m3的分別系在繩子的一端，繩子的另一端固定，繩子的長度分別為R、L2、L3，在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運動，不計空氣阻力，則它們的周期分別為Ta、Tb、Tc,則A.TaVTbVTc B.Ta>Tb>Tc C.Ta>Tc>TbD.Ta=Tc=Tb解析 以一般情況分析質(zhì)量為m的小球受到解析 以一般情況分析質(zhì)量為m的小球受到拉力和重力的合力提供向心力，如圖6,設圓周運動9物理散育網(wǎng)，^2SEZZEU^com-cn的半徑為R,不難得出:的半徑為R,不難得出:7^=ingcot8=R=Hcot&解得：T=2兀\：—故圓錐擺的周期相等，選D答案。摩擦力做功與斜面長和傾角無關例5?如圖7,質(zhì)量為m的物體從不同傾角的固定斜面頂端下滑到底端，斜面的動摩擦因素均為口，傾角分別為。、。、。，摩擦力做的功依次為W、W、W，則（ ）， 1、^2、^3，/ ‘‘]、?'2、3,A.W<W<W B.W>W>W C.W>W>WD.W=W=WO1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3解析 如圖8,設底邊為L，斜面長為s，由功的定義得摩擦力做的功W=pmgcos0s=pmgL,與斜面傾角無關。故選D答案。點評例3、例4抓住隱含的直徑或高度為不變量，借助于角，將邊和角兩個變量，轉(zhuǎn)化為角一個變量，最后消掉角這個變量，例5將抓住底邊不變，將兩個變量直接用底邊代換。三、利用隱含的不變量進行邊角代換求最值和范圍1.利用隱含的不變量將邊轉(zhuǎn)化為角求最值例6?如圖9所示，等腰三角形的屋頂是我國古代建筑中經(jīng)常采用的結(jié)構(gòu)形式，當屋頂?shù)耐呙媾c水平成一特殊角時，雨水能以最短的時間從屋頂瓦面流下試求此特殊角的角度（假設雨水與瓦面間的摩擦阻力不計，一般說來等腰三角形屋頂?shù)牡走吺且欢ㄖ担?解析設底邊BC長為2L,受力如圖10，重力沿斜面向下的分力G]=mgsinaG1=maa=gsina,S=—at2易得：t=JabAB2 \gsina將S=Lcosa代入得：AB

2L /、L —Lrsm^sa飛由 ％=450時，tminfg例7.如圖11,為某一制藥廠自動生產(chǎn)線的一部分裝置示意圖,傳送帶與水平面的夾角為a,O為漏斗，要使藥片從漏斗中出來經(jīng)光滑滑槽送到傳送帶上，設滑槽的擺放方向與豎直方向的夾角為。，則。為多大時可使藥片滑到傳送帶上的時間最短?解析設下滑時間為t,漏斗口到皮帶底端的豎直高度為H,如圖12,由幾何關系可知，s和H所對的角分別為（90。一a）和（90。+。_0）。由牛頓第二定律得:由運動學的知識得:mgsin(90o-0)=mac1cS=—at22在圖12中由正弦定理得:S_sin(90o-a由牛頓第二定律得:由運動學的知識得:mgsin(90o-0)=mac1cS=—at22在圖12中由正弦定理得:S_sin(90o-a)—sin(90°+a-0)2Hcosa12=gcos0-cos（0-a）式中H、a為定值，所以，當。4Hcosa

g[cos(20-a)+cosa]=a/2時，時間最短4.利用隱含的不變量將角轉(zhuǎn)化為邊求最值例8?在豎直面內(nèi)有一圓環(huán)（半徑為a、圓心為op及一點a（位于環(huán)外，且在01的斜上方），如圖13。今有一質(zhì)點自A點由靜止出發(fā)沿一光滑斜面滑至環(huán)上，問此斜面應沿何方向架設才可使質(zhì)點滑行的時間最短?解析假設有某一傾角為。的斜面AB如圖14,并作AB的延長線交環(huán)周于另一點C，再過C點作水平線與過A點的豎直線交于D。設質(zhì)點由A滑至B所用的時間為t，質(zhì)點下滑的加速度為a,則由牛頓定律知a=gsin0o1由運動學的公式有S =-at2AB2設圓外一點A向圓引的切線為L,則由圓的切割線定理有&?SaC=切,可見要t最小，物曜教育網(wǎng)F^其條件是AD應盡可能大。由圖可見，D點的極端位置應對應于將C點移至圓環(huán)的最低點F。由此可知，應將斜面沿AF方向架設，才可使質(zhì)點滑行的時間最短。5.利用隱含的不變量將角轉(zhuǎn)化為邊求范圍例9. 某地地球衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星，試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落12小時內(nèi)有多長時間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對光的折射。解析設所求時間為t,用m、M分別表示衛(wèi)星和地球的質(zhì)量，r表示衛(wèi)星到地心的距離。春分時，太陽直射地球赤道，如圖15所示，圖中圓E表示赤道，S表示衛(wèi)星，A表示觀察者，O表示地心。由圖可看出，日落12小時，地球自轉(zhuǎn)半周，即從A轉(zhuǎn)到C時，（設地球自轉(zhuǎn)是沿圖中逆時針方向），在這段時間內(nèi)，衛(wèi)星從圖示位置的S轉(zhuǎn)到S'時，其正下方的2兀觀察者B將看不見它，此時衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度為。=①下=—t由萬有引力提供向心力可得下列方程:解得:如圖16在RtASAO中 sin-2.R

sin—

r兀’ .，4兀2R、1一t=arcsin( )3T gT2解得:,T.，4兀2R）t=—arcsinI 解得:兀IgT2J數(shù)學定理定律等數(shù)學知識，進行邊角點評 在最值、范圍問題中，常常利用正余弦、代換，把兩個或多個變量代換為一個變量，求出表達式。再根據(jù)三角函數(shù)的值域范圍，不等式，