2022-2023學(xué)年江西省宜春市高一下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題-附答案

2022-2023學(xué)年江西省宜春市高一下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C．2 D．2i【答案】C【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可判斷其虛部；【詳解】解：所以復(fù)數(shù)的虛部為；故選：C2．下列調(diào)查中，調(diào)查方式選擇合理的是（

）A．了解某市高一年級學(xué)生的身高情況，選擇普查B．了解長征運(yùn)載火箭的設(shè)備零件質(zhì)量情況，選擇抽樣調(diào)查C．了解一批待售袋裝牛奶的細(xì)菌數(shù)是否達(dá)標(biāo)，選擇普查D．了解一批炮彈的殺傷力，選擇抽樣調(diào)查【答案】D【分析】根據(jù)調(diào)查方式的特點(diǎn)逐個辨析即可【詳解】AC總量太大不適合普查，B應(yīng)該普查，根據(jù)抽樣調(diào)查和普查的特點(diǎn)即可判斷D正確.故選：D3．命題“，方程有解”的否定是（

）A．，方程無解 B．，方程有解C．，方程無解 D．，方程有解【答案】C【解析】由特稱命題的否定規(guī)則即可得解.【詳解】因為命題“，方程有解”為特稱命題，所以該命題的否定為“，方程無解”.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了特稱命題的否定，牢記知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．已知，，且，則（

）A．1 B． C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解.【詳解】因為，結(jié)合已知向量垂直知：，故選:C.5．已知，則A．2 B． C．-1 D．-2【答案】C【分析】首先根據(jù)已知條件求出的正切值，再把所求變形成含有正切值的關(guān)系式，代入求出結(jié)果．【詳解】由題意知，∴,將所求的分子分母同時除以，則有.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：同角三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，屬于基礎(chǔ)題型．6．用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖，得到斜邊長是2的等腰直角三角形，則的面積為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由直觀圖是斜邊長是2的等腰直角三角形，畫出并求出相應(yīng)邊長，計算面積即可.【詳解】如圖，由題意知：，則，故，.故選：D.7．已知正三棱錐（底面三角形是正三角形，頂點(diǎn)P在底面的射影是底面的中心）的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且兩兩垂直，底面正三角形的邊長為，則此球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可知，且兩兩垂直，可求出，由此可求出點(diǎn)到底面的距離，根據(jù)可求出，即可求出外接球的體積.【詳解】如圖所示，由題可知，且兩兩垂直，而，則，求得，過作于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，所以，，過點(diǎn)作平面，為底面的中心，則，設(shè)外接球半徑為，即，則有，即，解得：.所以外接球的體積：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查外接球的體積，利用了正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和邊長關(guān)系以及外接球的體積公式，還考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.8．已知正方體、等邊圓柱（母線長等于底面圓的直徑）與球的體積相等，它們的表面積分別為、、，下面關(guān)系中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)正方體棱長為，圓柱底面圓半徑為，球半徑為，三者體積都為，用表示，后表示三者表面積，后利用作商法可比較三者表面積大小.【詳解】設(shè)正方體棱長為，圓柱底面圓半徑為，球半徑為，三者體積都為.則，，.因，則，注意到，則.得；，因，則；，注意到，則，，得.綜上，.故選：B二、多選題9．分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，則（

）A．A與B互斥 B．A與B相互獨(dú)立C． D．【答案】BCD【解析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件的概念以及事件的概率求法逐一判斷即可.【詳解】根據(jù)題意事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，可知兩事件互不影響，即A與B相互獨(dú)立，故B正確，A不正確；由，，所以，且，故D正確，C正確.故選：BCD10．在中，角所對的邊分別為，以下結(jié)論中正確的有（

）A．若，則；B．當(dāng)是鈍角三角形，則.C．若，則為直角三角形；D．若為銳角三角形，則.【答案】ABC【分析】利用正弦定理邊角互化判斷A；按角B是鈍角、銳角結(jié)合和角公式判斷B；利用同角公式結(jié)合正弦定理角化邊判斷C；利用正弦函數(shù)單調(diào)性判斷D作答.【詳解】對于A，由正弦定理及，得，則，即A正確；對于B，是鈍角三角形，若B是銳角，有A，C之一是鈍角，則，若B是鈍角，則，有，即，于是得，所以，B正確.；對于C，，則，由正弦定理得，即為直角三角形，C正確；對于D，若為銳角三角形，則，有，因此，，即，D錯誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：在銳角中，.11．已知向量，，若兩個向量的夾角為鈍角，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】兩個向量的夾角為鈍角，則且與不反向，結(jié)合向量的數(shù)量積公式及共線的坐標(biāo)表示求得結(jié)果.【詳解】已知向量，的夾角為鈍角，則且與不反向，即且，解得且.故選：BC.12．如圖，正方體的棱長為1，P是線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．四面體的體積為定值B．的最小值為C．平面D．當(dāng)直線與AC所成的角最大時，四面體的外接球的體積為【答案】ACD【分析】對于A，利用平面平面可得到到平面的距離相等，即可判斷，對于B，舉反例即可判斷；對于C，連接，，證明平面平面即可判斷；對于D，當(dāng)與重合時，直線與AC所成的角最大，則求出外接球半徑即可【詳解】對于A，由正方體可得平面平面，且平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，所以四面體的體積為，所以四面體的體積為定值，故A正確；對于B，當(dāng)與重合時，，所以的最小值不為，故B錯誤；對于C，連接，由正方體可得，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面因為，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，故C正確；對于D，因為，所以（或其補(bǔ)角）為直線與AC所成的角，由圖可得當(dāng)與重合時，此時最大，故此時直線與AC所成的角最大，所以四面體即四面體的外接球即為正方體的外接球，所以外接球的直徑為，即，所以四面體的外接球的體積為，故D正確；故選：ACD三、填空題13．已知向量，，則的最大值為.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系利用平面向量的幾何意義求解即可.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系,因為,故的軌跡是以為圓心,為半徑的圓.當(dāng)不共線時,根據(jù)三角形性質(zhì)有故的最大值當(dāng)且僅當(dāng)共線時取得,此時.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的幾何意義與性質(zhì).屬于基礎(chǔ)題.14．已知向量與向量互相平行，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)向量平行可得，可得，利用正切的二倍角公式即可求解.【詳解】因為向量與向量互相平行所以，解得，所以，故填.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的充要條件，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，正切的二倍角公式，屬于中檔題.15．對于函數(shù)給出下列四個命題：①該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；②當(dāng)且僅當(dāng)時，該函數(shù)取得最小值-1；③該函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；④當(dāng)且僅當(dāng)時，.其中正確命題的序號是.（請將所有正確命題的序號都填入）【答案】③④.【分析】由題意作出此分段函數(shù)的圖象，由圖象研究該函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)這些性質(zhì)判斷四個命題的真假，此函數(shù)取自變量相同時函數(shù)值小的那一個，由此可順利作出函數(shù)圖象．【詳解】解：由題意函數(shù)，畫出在，上的圖象．由圖象知，函數(shù)的最小正周期為，在和時，該函數(shù)都取得最小值，故①②錯誤，由圖象知，函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，在時，，故③④正確．故答案為：③④.16．中，，，，是邊上的中線，，分別為線段，上的動點(diǎn)，交于點(diǎn).若面積為面積的一半，則的最小值為【答案】2【分析】利用平面向量的共線定理結(jié)合基底表示數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可.【詳解】設(shè)，由向量共線的充要條件不妨設(shè)，則，即，又面積為面積的一半可得：，所以.，易知當(dāng)時，即重合時取得最小值.故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由點(diǎn)共線及向量間的關(guān)系，設(shè)、、得到，面積關(guān)系得，最后應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算律轉(zhuǎn)化數(shù)量積為關(guān)鍵.四、解答題17．一個圓錐底面半徑為，高為，（1）求圓錐的表面積.（2）求圓錐的內(nèi)接正四棱柱表面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）計算出圓錐的母線長，然后利用圓錐的表面積公式計算即可；（2）設(shè)正四棱柱的底面對角線的一半為，根據(jù)軸截面上的兩個三角形相似，列出比例式求出四棱柱的高，根據(jù)正四棱柱的表面積公式得出其表面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)得出該正四棱柱表面積的最大值.【詳解】（1）由題意可知，圓錐的母線長為，所以，該圓錐的表面積為；（2）如下圖所示，設(shè)正四棱柱的底面對角線的一半為，，，即，解得，正四棱柱的底面是一個正方形，其底邊長為，底面積為，所以，四棱柱的底面積為，由二次函數(shù)的基本性質(zhì)可知，當(dāng)時，正四棱柱的表面積有最大值，即.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的表面積的計算，同時也考查了圓錐的內(nèi)接正四棱柱表面積的計算，一般要利用軸截面并結(jié)合相似三角形來計算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.18．已知復(fù)數(shù)，，其中i是虛數(shù)單位，.(1)若為純虛數(shù)，求m的值；(2)若，求的虛部.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)乘法和純虛數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則，結(jié)合虛數(shù)單位的性質(zhì)、復(fù)數(shù)虛部定義進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題意得，因為為純虛數(shù)，所以且，解得.（2）因為，所以，即，所以，所以，所以的虛部為.19．某校對高二年級選學(xué)生物的學(xué)生的某次測試成績進(jìn)行了統(tǒng)計，隨機(jī)抽取了m名學(xué)生的成績作為樣本，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻率分布統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率160.2501040.05合計(1)求表中n，p的值和頻率分布直方圖中a的值；(2)如果用分層抽樣的方法，從樣本成績在和的學(xué)生中共抽取5人，再從5人中選2人，求這2人成績在的概率.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布統(tǒng)計表，求出，進(jìn)而得到n，p與的值；（2）利用分層抽樣求出抽取5人中成績在和的人數(shù)，利用列舉法求出古典概型的概率.【詳解】（1）由題意得，故，，；（2）樣本成績在和的學(xué)生的人數(shù)之比為，故抽取5人中成績在的有4人，設(shè)為，成績在的有1人，設(shè)為，再從5人中選2人，這2人可能情況為，共10種情況，其中這2人成績均在的有，共6種情況，故這2人成績在的概率為.20．在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，是等腰直角三角形，為直角頂點(diǎn)．(1)求點(diǎn)；(2)設(shè)點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)，若，，則為何值時，點(diǎn)在第二象限？【答案】(1)或(2)【分析】（1），，由于是等腰直角三角形，為直角頂點(diǎn)．可得，，即，聯(lián)立解出即可．（2）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、點(diǎn)在第二象限的坐標(biāo)特點(diǎn)即可得出．【詳解】（1），，是等腰直角三角形，為直角頂點(diǎn)．，，即，化簡為，，聯(lián)立解得或．，或．（2）點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)，．設(shè)，，，，，，，．，解得，．點(diǎn)在第二象限，，解得．，點(diǎn)在第二象限．21．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面ABCD，且，，M是PB的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)判斷直線CM與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)平面，證明見解析(3)【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)及判定定理即可證明；（2）利用線面平行的判定定理即可證明；（3）幾何法求解.先確定二面角的平面角，再利用解三角形知識求角.【詳解】（1）由底面ABCD，底面ABCD，則，在直角梯形中，，則，又，平面，所以平面；（2）平面，證明如下：如圖：

取PA中點(diǎn)E，連接ME，DE，由于M是PB的中點(diǎn)，故，且，由，則，且，從而四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面；（3）作，垂足為N，連接BN，如圖：

在中，，又，所以≌，可得，則≌，故，故為所求二面角的平面角，由（1）知平面，由平面，可得，在中，，所以，在等腰三角形中，，所以，因為，在中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何圖形證明線面、面面位置關(guān)系或求線面、面面角可從以下幾點(diǎn)考慮：（1）證明線面、面面位置關(guān)系的一般方法是利用相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理，需注意二者的相互轉(zhuǎn)化.若有坐標(biāo)系也可利用向量法證明.（2）求線面、面面角的一般方法是向量法，若圖形容易確定所求角，也可利用幾何法，結(jié)合解三角形知識求角.22．已知函數(shù)，（，）(1)若，，證明：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有個零點(diǎn)；(2)若對于任意的，恒成立，求的最大值和最小值.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，最大值為【分析】（1）代入的值，化簡，即可求得，根據(jù)