2022-2023學年內(nèi)蒙古呼倫貝爾市高二下學期第一次月考數(shù)學（理）試題【含答案】

2022-2023學年內(nèi)蒙古呼倫貝爾市高二下學期第一次月考數(shù)學（理）試題一、單選題1．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用含有一個量詞的命題的否定求解.【詳解】解：因為命題“”是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即，故選：B2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化簡集合A，B，再利用并集的定義求解作答.【詳解】依題意，，，所以.故選：C3．若函數(shù)的最大值為4，則函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦函數(shù)的值域和的最大值求得，再由余弦型函數(shù)的周期公式求的最小正周期.【詳解】由，函數(shù)的最大值為4，則，函數(shù)的最小正周期為.故選：D4．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則的極大值點為（

）A．和 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖像，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得到極大值點.【詳解】根據(jù)圖像，在和上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減，故的極大值點為.故選：C5．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平方和關(guān)系計算出，然后根據(jù)正弦定理求出即可.【詳解】在中，,因為，所以．因為，所以．根據(jù)正弦定理，可得，又，所以．故選：B.6．退休后富養(yǎng)自己，不是讓自己無事可做，而是遵循內(nèi)心去做自己想做的事情，不論是鍛煉身體，還是其他興趣愛好，以及幫扶子女，都要將日子過得有儀式感．某人即將退休，現(xiàn)對自己退休前后的工資分配做了詳細的規(guī)劃，各類費用的占比如下面的條形圖和扇形圖所示．

下列說法中一定正確的是（

）A．若他退休后每月的儲蓄金額等于退休前每月的儲蓄金額，則他退休后每月的工資和退休前每月的工資相等B．若他退休后每月旅行的費用是退休前的3倍，則他退休后每月的工資和退休前每月的工資相等C．若他退休后每月的工資是退休前的，則他退休后每月的其他費用與退休前每月的其他費用相等D．他退休前后每月的衣食住費用相等【答案】B【分析】根據(jù)條形圖和扇形圖對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)他退休前每月的工資為，退休后每月的工資為，對于A，若，則，所以A錯誤；對于B，若，則，所以B正確；對于C，若，則退休后其他費用為，所以C錯誤；對于D，因為他退休前后每月的工資不一定相等，所以D錯誤．故選：B7．利用反證法證明“若，則至少有一個小于0”時，假設(shè)應為（

）A．都小于0 B．都不小于0C．至少有一個不小于0 D．至多有一個小于0【答案】B【分析】由反證法的定義即可選出答案.【詳解】利用反證法證明，應先假設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)都不小于0．故選：B8．從3名男同學和3名女同學中任選4人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的男同學不比女同學多的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用列舉法寫出所有的情況，找出符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型公式代入計算概率即可.【詳解】記3名男同學分別為，記3名女同學分別為，任選4人共有，，，，，，，，，，，，，，，共種不同的情況，而選中的男同學不比女同學多的有種不同的情況，所以選中的男同學不比女同學多的概率為．故選：B9．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為的中點，則二面角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過作，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，分別求得平面的一個法向量為和平面的一個法向量為，設(shè)二面角為，由求解.【詳解】解：如圖所示：

過作，垂足為，則，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，．，，設(shè)平面的法向量為，則令，得．取平面的一個法向量為，設(shè)二面角為，則，所以二面角的余弦值為．故選：A10．若把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序，則從2021到2023的箭頭方向依次為（

）

A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓【答案】A【分析】根據(jù)圖示排列得出箭頭方向的周期，即可根據(jù)周期得出答案.【詳解】根據(jù)圖示排列可得，箭頭方向的周期為4，則從2021到2023對應的方向為1到3的方向，,則箭頭方向依次為．故選：A.11．已知雙曲線的左、右焦點分別是，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線定義及正三角形，可得，利用雙曲線定義可求解，從而求出離心率.【詳解】由題知雙曲線的實半軸長，虛半軸長為，設(shè)雙曲線的焦距為.如圖，直線與雙曲線右支相交于兩點，設(shè)，則，由為等邊三角形，得，可得，又由雙曲線的性質(zhì)知，故，所以，.所以，所以，；故選：D.

12．已知定義域為的偶函數(shù)滿足，且當時，，若將方程實數(shù)解的個數(shù)記為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可得的對稱軸為，的周期為2，畫出的圖象，從而可得，利用裂項相消法可求解.【詳解】因為，所以的對稱軸為．因為為偶函數(shù)，所以，所以，所以的周期為2，所以的圖象如圖所示：

當時，方程有2個實數(shù)解，所以，當時，方程有4個實數(shù)解，所以，可知是一個首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以．因為，所以，故．故選：D二、填空題13．已知“”是“”的充分非必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可．【詳解】因為“”是“”的充分不必要條件，所以實數(shù)a的取值范圍是，故答案為：14．南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點到準線的距離為cm.【答案】【分析】以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為軸，建立直角坐標系，設(shè)拋物線的標準方程為，根據(jù)題意得到點的坐標，代入求出參數(shù)的值，即可得解.【詳解】如圖，以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為軸，建立直角坐標系，依題意可得的坐標為，設(shè)拋物線的標準方程為，則，解得.故該拋物線的焦點到準線的距離為cm.故答案為：15．在平面內(nèi)，點到直線的距離公式為，通過類比的方法，可求得在空間中，點到平面的距離為．【答案】【分析】通過類比推理可知,空間中點到平面的距離為,進而代入求解即可.【詳解】類比可得點到平面的距離公式為，所以到平面的距離．故答案為：.16．已知函數(shù)，則在上的最大值為．【答案】【分析】對函數(shù)求導判斷出單調(diào)性，比較極大值與端點值的大小，可得出在上的最大值.【詳解】，令，得或．當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因為，所以．故答案為：.三、解答題17．已知拋物線的焦點為是拋物線上的點，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求解；（2）設(shè)點代入拋物線方程，然后利用點差法求解直線的斜率，然后根據(jù)點斜式即可解得直線的方程；【詳解】（1）因為，所以，故拋物線的方程為．（2）

易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因為的中點為，所以，所以直線的方程為，即.18．已知函數(shù)．(1)若曲線在點處的切線方程為，求；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得，即可得到方程，解得即可；（2）依題意可得恒成立，參變分離可得在上恒成立，令，，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，因為曲線在點處的切線方程為，所以，即，解得.（2）因為，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以恒成立，即在上恒成立，令，，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值即最小值，即，所以，即實數(shù)的取值范圍為.19．如圖，四棱錐的底面為矩形，，平面平面，是的中點，是上一點，且平面.(1)求的值；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)平面與直線相交于點，根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)，證得四邊形為平行四邊形，進而得到的值；（2）利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)平面與直線相交于點，連接，因為平面，平面，平面平面，所以，又因為，平面，平面，所以平面，又由平面平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以分別為的中點，所以.（2）解：由四棱錐的底面為矩形，且，因為為的中點，所以，又因為平面平面，平面，且平面平面，所以平面，以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為四棱錐的底面為矩形，且且，則，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則.20．已知函數(shù)．(1)證明：在上單調(diào)．(2)用數(shù)學歸納法證明：對任意的恒成立．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，對導數(shù)進行二次求導，判斷出的單調(diào)性，可求出的最值，從而證明出結(jié)論；（2）首先驗證時，不等式成立；然后假設(shè)當時，不等式成立，驗證時不等式也成立即可證明.【詳解】（1）因為，定義域為，所以．令，則，令得，得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，故在上單調(diào)遞減．（2）當時，左邊，右邊，左邊右邊，所以時原式成立．假設(shè)時原式成立，即．當時，左邊．由（1）知，所以，等號在時成立．令，則，所以，所以，所以，所以，即時原式成立．綜上，對任意的恒成立．21．已知橢圓的離心率是，是橢圓C上一點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點的直線l與橢圓C交于A，B（異于點P）兩點，直線PA，PB的斜率分別是，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是，【分析】（1）由已知橢圓的離心率是，又過點，可得，直接解得，，即可得到橢圓的標準方程；（2）由直線過點，可設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立方程組，由韋達定理可得，，又，得，，再代入化簡即可求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，由題意可得，解得，，故橢圓C的標準方程為：.（2）由題意可知直線l的斜率不為0，設(shè)直線，，，聯(lián)立，整理得，則，，，因為，所以，，所以.故為定值，該定值為.22．定義：若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實數(shù)，使得成立，其中為大于0的常數(shù)，則稱點為函數(shù)的級“平移點”.(1)判斷函數(shù)的2級“平移點”的個數(shù)，并求出2級“平移點”；(2)若函數(shù)在上存在1級“平移點”，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1個，2級“平移點”為.