2024屆大同市重點(diǎn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆大同市重點(diǎn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，條件：，條件：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（）A. B.C. D.3．入冬以來，霧霾天氣在部分地區(qū)頻發(fā)，給人們的健康和出行造成嚴(yán)重的影響．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，工業(yè)廢氣等污染排放是霧霾形成和持續(xù)的重要因素，治理污染刻不容緩．為降低對(duì)空氣的污染，某工廠采購一套廢氣處理裝備，使工業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后再排放．已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P（單位：mg/L）與過濾時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為（，k均為非零常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)），其中為t=0時(shí)的污染物數(shù)量，若經(jīng)過3h處理，20%的污染物被過濾掉，則常數(shù)k的值為（）A. B.C. D.4．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A.1 B.2C.3 D.45．已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)值為（）A.0 B.-3C.1 D.-16．已知，則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.57．函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（）A. B.C. D.8．“”是“冪函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．若集合，，則（）A. B. C. D.10．已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.則關(guān)于的不等式的解集為A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.12．能說明命題“如果函數(shù)與的對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域都相同，那么函數(shù)和是同一函數(shù)”為假命題的一組函數(shù)可以是________________，________________13．已知函數(shù)，則_________14．已知正三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且該正三棱柱的底面邊長為2，高為，則球的表面積為________15．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是________16．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，（1）求在上的最小值；（2）記集合，，若，求的取值范圍.18．已知全集為實(shí)數(shù)集，集合，.（1）求及；（2）設(shè)集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．物聯(lián)網(wǎng)（InternetofThings，縮寫：IOT）是基于互聯(lián)網(wǎng)、傳統(tǒng)電信網(wǎng)等信息承載體，讓所有能行使獨(dú)立功能的普通物體實(shí)現(xiàn)互聯(lián)互通的網(wǎng)絡(luò).其應(yīng)用領(lǐng)域主要包括運(yùn)輸和物流、工業(yè)制造、健康醫(yī)療、智能環(huán)境（家庭、辦公、工廠）等，具有十分廣闊的市場前景.現(xiàn)有一家物流公司計(jì)劃租地建造倉庫儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：倉庫每月土地占地費(fèi)（單位：萬元），倉庫到車站的距離x（單位：千米，），其中與成反比，每月庫存貨物費(fèi)（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站9千米處建倉庫，則和分別為2萬元和7.2萬元.（1）求出與解析式；（2）這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最??？最小費(fèi)用是多少？20．設(shè)全集，集合，（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．如圖，在長方體中，，，是與的交點(diǎn).求證：(1)平面(2)求與的所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】分別求兩個(gè)命題下的集合，再根據(jù)集合關(guān)系判斷選項(xiàng).【題目詳解】，則，，則，因?yàn)?，所以是充分必要條件.故選：C2、A【解題分析】待定系數(shù)求得冪函數(shù)解析式，再求對(duì)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果即可.【題目詳解】設(shè)冪函數(shù)為，由題意得，，∴故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)解析式的求解，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬綜合簡單題.3、A【解題分析】由題意可得，從而得到常數(shù)k的值.【題目詳解】由題意可得，∴，即∴故選：A4、B【解題分析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，即函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則：，據(jù)此可得：，據(jù)此有：，即函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，由函數(shù)的解析式可知：，則函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)在R上有2個(gè)零點(diǎn).本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)5、C【解題分析】根據(jù)，由求解.【題目詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解得，故選：C.6、A【解題分析】由可得，將整理為，再利用基本不等式即可求解.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A7、C【解題分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值判斷即可；【題目詳解】解：∵，∴是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除A，B選項(xiàng)；∵，∴在上不單調(diào)，排除D選項(xiàng)故選：C8、A【解題分析】由冪函數(shù)的概念，即可求出或，再根據(jù)或均滿足在上單調(diào)遞增以及充分條件、必要條件的概念，即可得到結(jié)果.【題目詳解】若為冪函數(shù)，則，解得或，又或都滿足在上單調(diào)遞增故“”是“冪函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件故選：A.9、C【解題分析】根據(jù)交集直接計(jì)算即可.【題目詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：C10、A【解題分析】分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為一般的不等式求解即可詳解：∵，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，∴，又f(x)是定義在[?1,1]上的減函數(shù)，∴，即，解得∴不等式的解集為故選A點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的奇偶性將不等式化為或的形式，然后再根據(jù)單調(diào)性將函數(shù)不等式化為一般的不等式求解，解題時(shí)不要忘了函數(shù)定義域的限制二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（0，1]【解題分析】先作出函數(shù)f（x）圖象，根據(jù)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，得到函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝a有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得出結(jié)果【題目詳解】由題意，作出函數(shù)的圖象如下：因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以關(guān)于x的方程f（x）﹣a＝0有三個(gè)不等實(shí)根；即函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝a有三個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得：0＜a≤1故答案為：（0，1]【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是求解的關(guān)鍵12、①.②.（答案不唯一）；【解題分析】根據(jù)所學(xué)函數(shù)，取特例即可.【題目詳解】根據(jù)所學(xué)過過的函數(shù)，可取，，函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則相同，值域都為，但函數(shù)定義域不同，是不同的函數(shù)，故命題為假.故答案為：；13、1【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義即可求解.【題目詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，故答案為：1.14、【解題分析】首先判斷正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心連線的中點(diǎn)，然后構(gòu)造直角三角形求半徑，代入公式求解.【題目詳解】如圖：設(shè)和分別是上下底面等邊三角形的中心，由題意可知連線的中點(diǎn)就是三棱柱外接球的球心，連接，是等邊三角形，且，，，球的表面積.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查求幾何體外接球的表面積的問題，意在考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.15、4【解題分析】由基本不等式及正實(shí)數(shù)、滿足，可得的最大值.【題目詳解】由基本不等式，可得正實(shí)數(shù)、滿足，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，故答案為：4.16、【解題分析】根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)擊中目標(biāo)的次數(shù)，再用古典概型概率公式求解.【題目詳解】由數(shù)據(jù)得射擊4次至少擊中3次的次數(shù)有15，所以射擊4次至少擊中3次的概率為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）【解題分析】（1）按對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系，分三種情況討論求最小值；（2）分與解不等式，再分析的情況即可求解.【小問1詳解】解：（1）由，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，在上的最小值需考慮對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系.（i）當(dāng)時(shí)，；（ii）當(dāng)時(shí)，；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，【小問2詳解】（2）解不等式，即，可得：當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為.（i）當(dāng)時(shí)，要使不等式的解集與有交集，由得：，此時(shí)對(duì)稱軸為，∴只需，即，得.所以此時(shí)（ii）當(dāng)時(shí)，要使不等式的解集與有交集，由得：，此時(shí)對(duì)稱軸為，∴只需，即，得.所以此時(shí)無解.綜上所述，的取值范圍.18、（1），（2）【解題分析】（1）先求出集合A、B，再求，；（2）對(duì)是否為分類討論，分別求出a的范圍.【小問1詳解】由可得又，則所以，【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，則；綜上可得19、（1），（2）把倉庫建在距離車站4千米處才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，最小費(fèi)用是7.2萬元【解題分析】（1）設(shè)出與以及與x的解析式，將x=9的費(fèi)用代入，求得答案;（2）列出兩項(xiàng)費(fèi)用之和的表達(dá)式，利用基本不等式求得其最小值，可得答案.【小問1詳解】設(shè)，，其中，當(dāng)時(shí)，，.解得，，所以，.【小問2詳解】設(shè)兩項(xiàng)費(fèi)用之和為z（單位：萬元）則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立，所以這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站4千米處才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，最小費(fèi)用是7.2萬元.20、（1）或；（2）【解題分析】（1）由得到，然后利用集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解.（2）化簡集合,根據(jù),分和兩種情況求解.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，或，或.（2）,若,則當(dāng)時(shí)，,不成立，解得，的取值范圍是.21