高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)專題50 等比數(shù)列性質(zhì)（含等差等比數(shù)列綜合題） (含解析)

PAGE微專題50等比數(shù)列性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)1、定義：數(shù)列SKIPIF1<0從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值為同一個(gè)常數(shù)SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)SKIPIF1<0稱為數(shù)列的公比注：非零常數(shù)列既可視為等差數(shù)列，也可視為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，而常數(shù)列SKIPIF1<0只是等差數(shù)列2、等比數(shù)列通項(xiàng)公式：SKIPIF1<0，也可以為：SKIPIF1<03、等比中項(xiàng)：若SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0的等比中項(xiàng)（1）若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的等比中項(xiàng)，則有SKIPIF1<0（2）若SKIPIF1<0為等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的等比中項(xiàng)（3）若SKIPIF1<0為等比數(shù)列，則有SKIPIF1<04、等比數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式：設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0為常數(shù)列，所以SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0可變形為：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<05、由等比數(shù)列生成的新等比數(shù)列（1）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，等間距的抽取一些項(xiàng)組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列（2）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0，則有①數(shù)列SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)）為等比數(shù)列②數(shù)列SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)）為等比數(shù)列，特別的，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0為等比數(shù)列③數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列④數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列6、相鄰SKIPIF1<0項(xiàng)和的比值與公比SKIPIF1<0相關(guān)：設(shè)SKIPIF1<0，則有：SKIPIF1<0特別的：若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0成等比數(shù)列7、等比數(shù)列的判定：（假設(shè)SKIPIF1<0不是常數(shù)列）（1）定義法（遞推公式）：SKIPIF1<0（2）通項(xiàng)公式：SKIPIF1<0（指數(shù)類函數(shù)）（3）前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式：SKIPIF1<0注：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是從第二項(xiàng)開始成等比關(guān)系（4）等比中項(xiàng)：對(duì)于SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<08、非常數(shù)等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0與SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0的關(guān)系SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以有SKIPIF1<0SKIPIF1<0例1：已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為正數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________思路：因?yàn)镾KIPIF1<0，代入條件可得：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例2：已知SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路一：由SKIPIF1<0可求出公比：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0思路二：可聯(lián)想到等比中項(xiàng)性質(zhì)，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由等比數(shù)列特征可得奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所以SKIPIF1<0答案：D小煉有話說：思路二的解法盡管簡單，但是要注意雙解時(shí)要驗(yàn)證項(xiàng)是否符合等比數(shù)列特征。例3：已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由等比數(shù)列的結(jié)論可知：非常數(shù)列的等比數(shù)列，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0的形式，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0答案：A例4：設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和記為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，可發(fā)現(xiàn)只有分子中SKIPIF1<0的指數(shù)冪不同，所以作商消去SKIPIF1<0后即可解出SKIPIF1<0，進(jìn)而可計(jì)算出SKIPIF1<0的值解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0答案：A例5：已知數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：與條件SKIPIF1<0聯(lián)系，可將所求表達(dá)式向SKIPIF1<0靠攏，從而SKIPIF1<0，即所求表達(dá)式的值為SKIPIF1<0答案：C例6：已知等比數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，則其前5項(xiàng)的和SKIPIF1<0的取值范圍是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：條件中僅有SKIPIF1<0，所以考慮其他項(xiàng)向SKIPIF1<0靠攏，所以有SKIPIF1<0，再求出其值域即可解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：A例7：已知數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)不為零的等比數(shù)列，且公比大于0，那么“SKIPIF1<0”是“數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列”的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：在等比數(shù)列中，數(shù)列的增減受到SKIPIF1<0的符號(hào)，與SKIPIF1<0的影響。所以在考慮反例時(shí)可從這兩點(diǎn)入手。將條件轉(zhuǎn)為命題：“若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列”，如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，所以命題不成立；再看“若數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，則SKIPIF1<0”，同理，如果SKIPIF1<0，則要求SKIPIF1<0，所以命題也不成立。綜上，“SKIPIF1<0”是“數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件答案：D例8：在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0解：條件與結(jié)論分別是SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和與倒數(shù)和，所以考慮設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0答案：B例9：已知等比數(shù)列SKIPIF1<0中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：所求分式中的分子和分母為相鄰4項(xiàng)和，則兩式的比值與SKIPIF1<0相關(guān)，所以需要求出SKIPIF1<0。由條件SKIPIF1<0，將等式中的項(xiàng)均用SKIPIF1<0即可求出SKIPIF1<0。從而解得表達(dá)式的值解：SKIPIF1<0成等差數(shù)列SKIPIF1<0將SKIPIF1<0代入等式可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0為正項(xiàng)數(shù)列，所以SKIPIF1<0不符題意，舍去SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：C例10：在正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0的最大正整數(shù)SKIPIF1<0的值為____________思路：從已知條件入手可求得SKIPIF1<0通項(xiàng)公式：SKIPIF1<0，從而所滿足的不等式可變形為關(guān)于SKIPIF1<0的不等式：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的指數(shù)冪特點(diǎn)可得：SKIPIF1<0，所以只需SKIPIF1<0，從而解出SKIPIF1<0的最大值解：設(shè)SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以所解不等式為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0可解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0三、歷年好題精選（等差等比數(shù)列綜合）1、已知正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<02、已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<03、（2016，內(nèi)江四模）若SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則下列三個(gè)數(shù)：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0，必成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.34、設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0中最大的項(xiàng)為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<05、（2016，新余一中模擬）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數(shù)列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和，則SKIPIF1<0的最小值為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<06、（2015，北京）設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<07、（2015，廣東）在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______8、（2014，北京）若等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0______時(shí)，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和最大9、（2015，福建）若SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的兩不同零點(diǎn)，且SKIPIF1<0這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0的值等于（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<010、已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列，公差SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<011、（2014，廣東）若等比數(shù)列SKIPIF1<0各項(xiàng)均為正數(shù)，且SKIPIF1<0，則12、（2014，安徽）數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，若SKIPIF1<0構(gòu)成公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0_______13、（2014，新課標(biāo)全國卷I）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為常數(shù)（1）證明：SKIPIF1<0（2）是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為等差數(shù)列？并說明理由14、（2016，河南中原第一次聯(lián)考）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<015、設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中最大的項(xiàng)為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<016、（2014，湖北）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數(shù)列（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式（2）記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，是否存在正整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0若存在，求SKIPIF1<0的最小值；若不存在，說明理由習(xí)題答案：1、答案：C解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<02、答案：C解析：由交點(diǎn)對(duì)稱可知：①交點(diǎn)所在直線與SKIPIF1<0垂直，所以SKIPIF1<0；②直線SKIPIF1<0為圓上弦的中垂線，所以該直線過圓心，由圓方程可得圓心坐標(biāo)：SKIPIF1<0，代入可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<03、答案：B解析：本題從“等比數(shù)列中不含0項(xiàng)”入手，不妨設(shè)SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，可得①中若公比SKIPIF1<0，則無法構(gòu)成等比數(shù)列，同理③中若SKIPIF1<0，則無法構(gòu)成等比數(shù)列；對(duì)于②可知均能構(gòu)成公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列4、答案：D解析：SKIPIF1<0，可得在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0最大。所以可知SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0最大5、答案：A解析：設(shè)公差為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0成等比數(shù)列SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<06、答案：C解析：A選項(xiàng)：反例為公差小于0，且SKIPIF1<0的數(shù)列，例如：SKIPIF1<0，所以A錯(cuò)誤B選項(xiàng)：同A中的例子即可判定B錯(cuò)誤C選項(xiàng)：由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，再將SKIPIF1<0統(tǒng)一用SKIPIF1<0表示，即SKIPIF1<0，所以C正確D選項(xiàng)：由等差數(shù)列可得：SKIPIF1<0，所以D錯(cuò)誤綜上所述：C選項(xiàng)正確7、答案：10解析：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<08、答案：8解析：由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，由此可知數(shù)列SKIPIF1<0前8項(xiàng)為正項(xiàng)，且數(shù)列單調(diào)遞減，從第9項(xiàng)開始為負(fù)項(xiàng)，所以前8項(xiàng)和最大9、答案：D解析：由韋達(dá)定理可知SKIPIF1<0，且由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0可構(gòu)成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0必為等比中項(xiàng)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0構(gòu)成等差數(shù)列，同樣由SKIPIF1<0判斷出則等差中項(xiàng)只能是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<010、解析：SKIPIF1<0成等比數(shù)列SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0綜上所述：SKIPIF1<011、答案：50解析：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0為等差數(shù)列，從而有：SKIPIF1<012、答案：1解析：方法一：設(shè)SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0成等比數(shù)列可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0方法二：由等比數(shù)列性質(zhì)可知：SKIPIF1<0，由合比性質(zhì)可得：SKIPIF1<013、解析：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0