線性代數(shù)課件

二.線性相關(guān)性三.向量組的秩一.n維向量空間

四.矩陣的秩第三章向量空間五.內(nèi)積與正交化一.n維向量空間分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，1.n維向量定義：n個(gè)有次序的數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n維向量。這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量，第個(gè)數(shù)稱為第

個(gè)分量。以后我們用小寫(xiě)希臘字母來(lái)代表向量。例如：n維實(shí)向量n維復(fù)向量第1個(gè)分量第n個(gè)分量第2個(gè)分量向量通常寫(xiě)成一行：有時(shí)也寫(xiě)成一列：稱為行向量。稱為列向量。它們的區(qū)別只是寫(xiě)法上的不同。分量全為零的向量稱為零向量。2.向量的運(yùn)算和性質(zhì)向量相等：如果n維向量的對(duì)應(yīng)分量都相等，即就稱這兩個(gè)向量相等，記為向量加法：向量稱為向量的和，記為負(fù)向量：向量稱為向量的負(fù)向量向量減法：數(shù)乘向量：設(shè)k為數(shù)域p中的數(shù)，向量稱為向量與數(shù)k的數(shù)量乘積。記為滿足運(yùn)算律：注：（1）對(duì)任意的向量存在唯一的零向量使得（2）對(duì)任意的向量存在唯一的負(fù)向量使得（4）如果則（3）3.n維向量空間說(shuō)明:定義：設(shè)為維向量的集合，如果集合非空，且集合對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合為向量空間．集合對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉指例1：3維向量的全體是一個(gè)向量空間。n維向量的全體，也是一個(gè)向量空間。例2:判別下列集合是否為向量空間.解：所以，是向量空間。(2)不是向量空間。是否為向量空間.（這個(gè)向量空間成為由向量a，b生成的向量空間）一般地，由向量組所生成的向量空間為例3：設(shè)a，b為兩個(gè)已知的n維向量，判斷集合解：所以V是一個(gè)向量空間。1.線性組合與線性表示二.線性相關(guān)性1.線性組合與線性表示2.向量組等價(jià)3.線性相關(guān)、無(wú)關(guān)4.判斷線性相關(guān)性的定理5.線性相關(guān)及表示的定理定義1：給定向量組對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)向量稱為向量組A的一個(gè)線性組合，稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。定義2：給定向量組和向量如果存在一組實(shí)數(shù)使得則稱向量是向量組A的線性組合，或稱向量能由向量組A線性表示。例如：有所以，稱是的線性組合，或可以由線性表示。定理1:判斷向量可否由向量組線性表示的定理。向量可由向量組線性表示的充分必要條件是：以為系數(shù)列向量，以為常數(shù)項(xiàng)列向量的線性方程組有解，且一個(gè)解就是線性表示的系數(shù)。線性方程組的矩陣表示和向量表示：令方程組可表示為則方程組的向量表示為2.向量組等價(jià)定義3：如果向量組中的每一個(gè)向量

都可以由向量組線性表示，那么就稱向量組A可以由向量組B線性表示。若同時(shí)向量組B也可以由向量組A線性表示，就稱向量組A與向量組B等價(jià)。即3.線性相關(guān),線性無(wú)關(guān)及其幾何說(shuō)明幾何意義：(1)兩向量線性相關(guān)：兩向量共線.(2)三向量線性相關(guān)：三向量共面.定義4：例1：用定義判斷線性相關(guān)性。(1)向量線性______關(guān)。(2)向量線性______關(guān)。相相4.判斷線性相關(guān)性的定理至少有一個(gè)向量可由其余m-1個(gè)向量線性表示

向量組線性相關(guān)定理2：推論：

向量組線性無(wú)關(guān)任一個(gè)向量都不能由其余m-1個(gè)向量線性表示(1)(2)n維向量組線性相關(guān)定理3:推論：n維向量組線性無(wú)關(guān)例2:試討論向量組及向量組的線性相關(guān)性.解：設(shè)數(shù)使得成立。即未知量為系數(shù)行列式齊次線性方程組有非零解，所以向量線性相關(guān)。向量對(duì)應(yīng)分量不成比例，所以線性無(wú)關(guān)。例3:n維向量討論它們的線性相關(guān)性.結(jié)論:線性無(wú)關(guān)解:上述向量組又稱基本向量組或單位坐標(biāo)向量組.問(wèn)題:n=3時(shí),分別是什么？(3)則向量組也線性相關(guān)。則，向量組也線性無(wú)關(guān)。若向量組線性相關(guān)，定理4：若向量組線性無(wú)關(guān)，定理5：部分相關(guān)則整體相關(guān)整體無(wú)關(guān)則部分無(wú)關(guān)(4)定理6：n維向量組線性無(wú)關(guān)，把每個(gè)向量的維數(shù)增加后，得到的新向量組仍線性無(wú)關(guān)。定理7：n維向量組線性相關(guān)，把每個(gè)向量的維數(shù)減少后，得到的新向量組仍線性相關(guān)。5.線性相關(guān)及表示的定理則向量必能由向量組A線性表示，且表示式唯一.定理8：向量組線性無(wú)關(guān),而向量組線性相關(guān),6.一些結(jié)論(1)單個(gè)零向量線性相關(guān),單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)；(2)包含零向量的任何向量組線性相關(guān)；(4)有兩個(gè)向量相等的向量組線性相關(guān)；(3)基本向量組線性無(wú)關(guān);

(5)m>n時(shí)，

m個(gè)n維向量必線性相關(guān).特別：m=n+1(6)n個(gè)n維向量線性無(wú)關(guān)(7)n維向量空間任一線性無(wú)關(guān)組最多只能包含n向量.它們所構(gòu)成方陣的行列式不為零.（書(shū)p81例10）例5：書(shū)p103/3.6例4：已知向量線性無(wú)關(guān)，證明：向量線性無(wú)關(guān)。例6：書(shū)p103/3.5三.向量組的秩向量組的一個(gè)基本性質(zhì)極大線性無(wú)關(guān)組向量組的秩向量空間的基和維數(shù)1.向量組的一個(gè)基本性質(zhì)定理：設(shè)與是兩個(gè)向量組，如果(2)則向量組必線性相關(guān)。推論1：如果向量組可以由向量組線性表示，并且線性無(wú)關(guān)，那么推論2：兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的等價(jià)的向量組，必包含相同個(gè)數(shù)的向量。(1)向量組線性表示；可以由向量組2.極大線性無(wú)關(guān)組定義1:注:（1）只含零向量的向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組.簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組。對(duì)向量組A，如果在A中有r個(gè)向量滿足：（2）任意r＋1個(gè)向量都線性相關(guān)。（如果有的話）線性無(wú)關(guān)。（1）那么稱部分組為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。（2）一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組的極大無(wú)關(guān)組就是其本身。（3）一個(gè)向量組的任一向量都能由它的極大無(wú)關(guān)組線性表示例如：在向量組中，首先線性無(wú)關(guān)，又線性相關(guān)，所以組成的部分組是極大無(wú)關(guān)組。還可以驗(yàn)證也是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。注：一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組一般不是唯一的。極大無(wú)關(guān)組的一個(gè)基本性質(zhì)：任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。又，向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯一，而每一個(gè)極大無(wú)關(guān)組都與向量組等價(jià)，所以：向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都是等價(jià)的。由等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組必包含相同個(gè)數(shù)的向量，可得一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，且所含向量的個(gè)數(shù)相同。定理：3.向量組的秩定義2：向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩,記作例如：向量組的秩為2。（4）等價(jià)的向量組必有相同的秩。關(guān)于向量組的秩的結(jié)論：（1）零向量組的秩為0。（2）向量組線性無(wú)關(guān)向量組線性相關(guān)（3）如果向量組可以由向量組線性表示，則注：兩個(gè)有相同的秩的向量組不一定等價(jià)。兩個(gè)向量組有相同的秩，并且其中一個(gè)可以被另一個(gè)線性表示，則這兩個(gè)向量組等價(jià)。4.向量空間的基與維數(shù)定義：設(shè)V是向量空間，如果r個(gè)向量且滿足線性無(wú)關(guān)。（1）（2）V中任一向量都可由線性表示，那么，就稱向量組是向量空間V的一個(gè)基，r稱為向量空間V的維數(shù)，記作dimV＝r并稱V是r維向量空間。注：（1）只含有零向量的向量空間沒(méi)有基，規(guī)定其維數(shù)為0。（2）如果把向量空間看作向量組，可知，V的基就是向量組的極大無(wú)關(guān)組，V的維數(shù)就是向量組的秩。（3）向量空間的基不唯一。四.矩陣的秩1.行秩、列秩、矩陣的秩2.矩陣秩的求法3.向量組的秩的求法4.矩陣秩的性質(zhì)5.矩陣秩與行列式的關(guān)系1.行秩、列秩、矩陣的秩把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些行向量組成，把矩陣的每一列看成一個(gè)向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些列向量組成。定義1：矩陣的行向量的秩，就稱為矩陣的行秩;

矩陣的列向量的秩，就稱為矩陣的列秩。例如：矩陣的行向量組是可以證明，是A的行向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，因?yàn)?，由即可知即線性無(wú)關(guān)；而為零向量，包含零向量的向量組線性無(wú)關(guān)，線性相關(guān)。所以向量組的秩為3，所以矩陣A的行秩為3。矩陣A的列向量組是可以驗(yàn)證線性無(wú)關(guān)，而所以向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是所以向量組的秩是3，所以矩陣A的列秩是3。問(wèn)題：矩陣的行秩＝矩陣的列秩引理1：矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。（列）（列）證：把按行分塊，設(shè)（1）對(duì)換矩陣A的兩行A的行向量組所含向量未變，所以向量組的秩不變，所以矩陣A的行秩不變。（2）用非零常數(shù)k乘以A的第i行顯然，向量組可以由向量組線性表示；而向量組也可以由向量組線性表示。所以矩陣的行向量組與的行向量組等價(jià)，又等價(jià)的向量組有相同的秩，的行秩＝的行秩，即A的行秩不變。（3）非零常數(shù)k乘以第i行后加到第j行上顯然，中的行向量組可以由的行向量組線性表示而的行向量組可以由中的行向量組線性表示。所以兩個(gè)向量組等價(jià)，所以行向量組的秩不變，所以矩陣的行秩不變。引理2：矩陣的初等行變換不改變矩陣的列秩。（列）（行）證：設(shè)矩陣A經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)锽，即存在有限個(gè)初等矩陣使得令則把按列分塊，設(shè)不妨設(shè)A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組為（可交換列的次序把它們換到前r列，矩陣的秩不變）則下面證明A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)槭蔷仃嘊的列向量組的極大無(wú)關(guān)組。（1）先證線性無(wú)關(guān)。設(shè)數(shù)使得成立因?yàn)镻為初等矩陣的乘積，所以P可逆。又線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)。（2）再證B的列向量組中任一向量可由向量組線性表示。是A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組所以對(duì)于A中任一列向量都存在數(shù)使得等號(hào)兩邊左乘P有由(1)(2)可知是B的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。所以，B的列秩＝r＝A的列秩綜上，矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。定理：矩陣的行秩＝矩陣的列秩證：任何矩陣A都可經(jīng)過(guò)初等變換變?yōu)樾问?，而它的行秩為r，列秩也為r。又，初等變換不改變矩陣的行秩與列秩，所以，A的行秩＝r＝A的列秩定義2：矩陣的行秩＝矩陣的列秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。記為r(A),或rankA，或秩A。推論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。2.矩陣秩的求法.行階梯形矩陣：例如：特點(diǎn)：(1)可劃出一條階梯線，線的下方全為零；(2)每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．行最簡(jiǎn)形矩陣：在行階梯形矩陣的基礎(chǔ)上，還要求非零行的第一個(gè)非零元為數(shù)1，且這些1所在的列的其他元素全都為零。例如：注：對(duì)于任何矩陣，總可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣。例1：對(duì)矩陣作行初等變換,使成為行階梯矩陣.解:解：看行秩例2：求上三角矩陣的秩看的線性相關(guān)性：線性無(wú)關(guān)，維數(shù)增加后得到的依然線性無(wú)關(guān)，而與都線性無(wú)關(guān)，所以矩陣的秩＝行向量組的秩＝3＝非零行的行數(shù)結(jié)論：行階梯形矩陣的秩＝非零行的行數(shù)證明：只要證明在行階梯形矩陣中那些非零的行是線性無(wú)關(guān)就行了。設(shè)A是一階梯形矩陣，不為零的行數(shù)是r。因?yàn)槌醯攘凶儞Q不改變矩陣的秩，所以適當(dāng)?shù)刈儞Q列的順序，不妨設(shè)其中顯然，左上角的r個(gè)r維行向量線性無(wú)關(guān)，當(dāng)分量增加為n維時(shí)依然無(wú)關(guān)，所以矩陣A的非零行的向量是線性無(wú)關(guān)的。加上任一零行即相關(guān)，所以矩陣A的秩＝矩陣A的行向量組的秩＝非零行的行數(shù)求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是原來(lái)矩陣的秩。例3:求A的秩。由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知3.向量組的秩、極大無(wú)關(guān)組的求法.（1）向量組作列向量構(gòu)成矩陣A。（2）初等行變換（行最簡(jiǎn)形矩陣）r(A)=B的非零行的行數(shù)（3）求出B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組（4）A中與B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng)部分的列向量組即為A的極大無(wú)關(guān)組。（根據(jù)見(jiàn)引理2，幻燈片7）例4：向量組求向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。解：又因?yàn)锽的1，2，5列是B的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組所以，是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組?？紤]：是否還有其他的極大無(wú)關(guān)組？與例5：求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。解：設(shè)則B的1，2列為極大無(wú)關(guān)組，且所以為所求的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且4.矩陣秩的性質(zhì)(1)等價(jià)的矩陣，秩相同。(2)任意矩陣有(3)任何矩陣與可逆矩陣相乘，秩不變?？赡?，有(4)當(dāng)AB=0時(shí)，有（證明在習(xí)題課講）5.矩陣的秩與行列式的關(guān)系定理:n階方陣A，即A為可逆矩陣（也稱為滿秩矩陣）A的n個(gè)行（列）向量線性無(wú)關(guān)A的n個(gè)行（列）向量線性相關(guān)定義3：矩陣A中，任取k行k列，交叉處的元素保持原來(lái)的相對(duì)位置不變而組成的一個(gè)k階子式，稱為矩陣A的k階子式。矩陣的秩的另一種定義：定義4：設(shè)在矩陣A中有一個(gè)r階子式不為零，而所有的r＋1階子式（如果有的話）都為零，則r(A)=r.階矩陣A的秩r是A中不等于零的子式的最高階數(shù)。注：零矩陣的秩為零。例：?jiǎn)栴}：1)可研究它的幾階子式?2)各階子式分別有幾個(gè)?例6:解：例7：解：例8：書(shū)p95例3.4.3五.內(nèi)積、正交化、正交矩陣.1.向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、夾角。2.Schmidt正交化、單位化法。3.正交矩陣。1.向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、夾角定義1：n維實(shí)向量稱為向量與的內(nèi)積。若為行向量，則向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)：線性性對(duì)稱性等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)正定性定義2：實(shí)數(shù)稱為向量的長(zhǎng)度（或模，或范數(shù)）若稱為單位向量。把向量單位化：若則考慮即的模為1，為單位向量，稱為把單位化。向量長(zhǎng)度的性質(zhì)：（1）非負(fù)性：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）齊次性：（3）柯西—施瓦茲不等式：（4）三角不等式：非零向量和的夾角余弦:定義3：非零向量的夾角是注：（1）零向量與任何向量都正交。（2）定義了內(nèi)積的向量空間稱為歐氏空間。當(dāng)向量的內(nèi)積為零時(shí)，即時(shí)，即時(shí)，稱向量正交。定義4：2.Schmidt正交化、單位化法。定義5：正交向兩組：非零實(shí)向量?jī)蓛烧?。正交單位向量組：（標(biāo)準(zhǔn)正交向量組）非零實(shí)向量?jī)蓛烧唬颐總€(gè)向量長(zhǎng)度全為1。即定理：正交向量組是線性無(wú)關(guān)的。schmidt正交化、單位化法：例：書(shū)p100例3.5.13.正交矩陣定義6：A是一個(gè)n階實(shí)矩陣，若則稱A為正交矩陣。定理：設(shè)A、B都是n階正交矩陣，則或也是正交矩陣。也是正交矩陣。定理：n階實(shí)矩陣A是正交矩陣A的列（行）向量組為單位正交向量組。證明：設(shè)將A按列分塊，設(shè)A是正交矩陣即即A的列向量組是單位正交向量組。注：n個(gè)n維向量，若長(zhǎng)度為1，且兩兩正交，責(zé)備以它們?yōu)榱校ㄐ校┫蛄繕?gòu)成的矩陣一定是正交矩陣。練習(xí)：書(shū)p1053.21第三章習(xí)題課一.向量組的線性相關(guān)性二.矩陣的秩、向量組的秩的求法三.關(guān)于向量組的秩、矩陣的秩的證明四.正交化與正交矩陣一.向量組的線性相關(guān)性1.向量間的線性運(yùn)算：加法、數(shù)乘。把向量理解為列矩陣或行矩陣時(shí)，事實(shí)上就是矩陣的加法和數(shù)乘。注意:(1)同維向量做加減。

(2)零向量參與運(yùn)算時(shí)，維數(shù)與其它向量維數(shù)相同。2.線性組合、線性表示(1)判斷向量可由向量組線性表示的常用方法方法1：只要證出就可得出方法2：證下列線性方程組有解其中方法3：利用矩陣的初等行變換行最簡(jiǎn)形矩陣(2)在判斷或證明中，常用到的兩個(gè)重要結(jié)論結(jié)論1：向量可由向量組線性表示結(jié)論2：若向量組線性無(wú)關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量必能由向量組線性表示，且表示式唯一。(2)利用常用結(jié)論：1個(gè)零向量線性相關(guān)；一個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)。2個(gè)非零向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)分量成比例n＋1個(gè)n維向量線性相關(guān)。部分相關(guān)整體相關(guān)；整體無(wú)關(guān)部分無(wú)關(guān)。3.線性相關(guān)性的判別方法(1)一般方法：設(shè)數(shù)使得成立轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組是否有非零解的問(wèn)題。原向量組無(wú)關(guān)，維數(shù)增加后得到的新向量組依然無(wú)關(guān)；原向量組相關(guān)，維數(shù)減少后得到的新向量組依然相關(guān)。(3)利用向量組的秩判斷：設(shè)向量組的秩為當(dāng)時(shí)，線性無(wú)關(guān)。當(dāng)時(shí)，線性相關(guān)；4.極大無(wú)關(guān)組的選取或證明(1)初等變換法（最常用）將列向量組寫(xiě)成矩陣初等行變換行階梯或行最簡(jiǎn)形矩陣的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，例如：求向量組并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。解：是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組并且考慮：還有那些極大無(wú)關(guān)組？初等行變換(2)極大無(wú)關(guān)組的證明方法1：利用定義線性無(wú)關(guān)；其它向量都可由線性表示。（即向量組中任意r+1個(gè)向量都線性相關(guān)）方法2：已知是向量組A的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，又A中部分組與等價(jià)，則也是A的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。例如：設(shè)是向量組A的極大無(wú)關(guān)組，且證明也是A的極大無(wú)關(guān)組。證明：（往證與等價(jià)）向量組可由向量組線性表示。又向量組可由向量組線性表示。兩個(gè)向量組等價(jià)也是極大無(wú)關(guān)組。二.矩陣的秩、向量組的秩的求法初等變換后，看非零行的行數(shù)。三.關(guān)于向量組的秩、矩陣的秩的證明關(guān)于向量組的秩的兩個(gè)重要定理：（1）若向量組可以由向量組線性表示，則（2）若向量組可以由向量組線性表示，并且線性無(wú)關(guān)，那么1.向量組秩的不等式的證明例1：設(shè)向量組的秩為向量組的秩為向量組的秩為證明：（書(shū)p104/3.11）證：（比較向量組秩的大小，通常從各自的極大無(wú)關(guān)組考慮）當(dāng)或時(shí)，結(jié)論顯然成立。當(dāng)時(shí)，不失一般性，設(shè)向量組A的極大無(wú)關(guān)組是設(shè)向量組B的極大無(wú)關(guān)組是設(shè)向量組B的極大無(wú)關(guān)組是顯然可由線性表示，又線性無(wú)關(guān)，又可由線性表示，而線性無(wú)關(guān)，同理，可由線性表示，而線性無(wú)關(guān)，綜上，有有關(guān)矩陣秩的重要結(jié)論：(2)設(shè)矩陣若則存在可逆矩陣使得即矩陣A可以經(jīng)過(guò)初等變換化為形式。(3)若都可逆，則2.矩陣秩的不等式的證明例2：證明書(shū)p104/3.12證：（1）設(shè)把它么用列向量組表示設(shè)設(shè)A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組為則設(shè)則設(shè)A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組為則可知中任一列向量都可由向量組線性表示，又綜上，（2）設(shè)把A用列向量組表示，設(shè)則即AB的列向量組可由線性表示，即可由矩陣A的列