從函數(shù)視角探尋初中數(shù)學找規(guī)律問題 論文

2022年安徽省基礎教育教學論文從函數(shù)視角探析初中數(shù)學找規(guī)律問題摘要：初中數(shù)學找規(guī)律問題考查的是學生閱讀理解、分析問題、解決問題等能力，綜合性和靈活性強，是歷年中考中不可或缺的一道實際性應用問題。初中數(shù)學找規(guī)律問化過程中序數(shù)號n（自變量）之間的函數(shù)關系。從函數(shù)的視角里用函數(shù)的思想來探析初中數(shù)學找規(guī)律問題就會把解決問題的思路變得簡單，找到探尋規(guī)律的入手點和關鍵點。關鍵詞：變量，函數(shù)，規(guī)律探索數(shù)學規(guī)律的活動體驗，總結探尋規(guī)律的一般方法。一、內容解析題和函數(shù)有機結合，感悟數(shù)學思想方法的統(tǒng)一與和諧。1.理解函數(shù)概念及初中數(shù)學所學過的幾種函數(shù)x與x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么我們就說x是x中學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)和銳角三角函數(shù)。一次函數(shù)即形如y=kx+12022年安徽省基礎教育教學論文b（k,b≠0)y=ax2+bx+c（a,b,c≠0)y=kx-1（k≠0)是在Rt△ABC中銳角與邊之間的變化規(guī)律。初中數(shù)學找規(guī)律問題中“規(guī)律變化”常與一次函數(shù)、二次函數(shù)結合較多。2.理解找規(guī)律問題及其主要類型化規(guī)律，用數(shù)學語言及符號表示出數(shù)量關系。形變化規(guī)律的探尋轉化為數(shù)式變化規(guī)律的探尋。式變化規(guī)律，并用數(shù)學語言及符號表示出數(shù)量關系。二、內容設計的注意點變量元素之間的關系為橋梁來銜接對應找規(guī)律問題中序數(shù)號n（自變量）和隨其所對應的因變量y之間的關系，用函數(shù)的思想來解決找規(guī)律問題。1.研究命題間的轉換和結合想來解決找規(guī)律問題就是在閱讀的過程中確定序數(shù)號n即自變量和其對應的某一個因變出數(shù)量關系。2.研究用函數(shù)思想來解決數(shù)式變化找規(guī)律問題的一般思路理清已知元素序數(shù)號n與各未知元素的關聯(lián)→函數(shù)數(shù)學模型的建立→確定各函數(shù)類型并求出函數(shù)解析式→研究解決問題3.研究解決問題的一般方法(1)能根據(jù)問題情境，合理構建函數(shù)模型，用函數(shù)思想探析研究解決問題；（2）“非數(shù)式變化”規(guī)律的先轉化為“數(shù)式變化”類型，再構建函數(shù)，解決問題。22022年安徽省基礎教育教學論文三、內容設計思想解決初中數(shù)學找規(guī)律問題?！締栴}類型Ⅰ】探尋數(shù)式變化規(guī)律(2022?安徽)例1.觀察以下等式：第1個等式：（2×1+1）2=（2×2+1）2—（2×2）2第2個等式：（2×2+1）2=（3×4+1）2—（3×4）2第3個等式：（2×3+1）2=（4×6+1）2—（4×6）2第4個等式：（2×4+1）2=（5×8+1）2—（5×8）2······按照以上規(guī)律．解決下列問題：5個等式 ；(2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的等式表示)，并證明。n個數(shù)式中各“項”與序數(shù)號n之間年中考的常考題型。本示例旨在揭示用函數(shù)思想解決“數(shù)式變化”規(guī)律類的一般方法。教學示范：觀察等式，確定數(shù)式變化中的序數(shù)號n項、常數(shù)項和函數(shù)項（y1，y2），標注如下：序數(shù)號n常數(shù)項序數(shù)號n常數(shù)項函數(shù)項函數(shù)項常數(shù)項———項↓ ↓↓↓項

↓ ↓↓21y1y21第1×1+=（2×2+—（2×第2×2+=（3×4+—（3×第3×3+=（4×6+—（4×第4×4+=（5×8+—（5×······如上示范，不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)式變化中各“項”中序數(shù)號n、常數(shù)項及相關運算符號其32022年安徽省基礎教育教學論文實是有固定形式的，只需要探尋出函數(shù)項y1、2，結合數(shù)式中的結構特點就能寫出第n個等式了第n個等式的結構模式應該（2×n+12=（y1×y2+12—（y1×y22接下來分別探尋函數(shù)y2關于序數(shù)號n的函n的表達式替換出上式y(tǒng)1y2即可求出第n個等式。y1與序數(shù)號n對應的有序數(shù)對為（1，2），（2，3），（3，4),(4,5)……容易發(fā)現(xiàn)y1的函數(shù)為y1=n+1.y2與序數(shù)號n對應的有序數(shù)對（12）（24）（3，6),(,8)……容易發(fā)現(xiàn)y2的函數(shù)為y2=2n.因此第n個等式為：（2×n+1）2=[(n+1)×2n+1]2—[(n+1)×2n]2.找出第n第5個等式：（2×5+1）2=（6×10+1）2—（6×10）2第n個等式為：（2n+1）2=[(n+1)×2n+1]2—[(n+1)×2n]2

證明:右邊=[(n+1)×2n]2+2×(n+1)×2n×1+12—[(n+1)×2n]2=2×(n+1)×2n×1+12=4n2+4n+1=（2n+1）2=左邊2022年、2019年、2018年都考查了一道數(shù)式變化規(guī)律題。探尋數(shù)式變化規(guī)律時，關鍵是通過觀察分別確定數(shù)式變化中的各項（序數(shù)號n項、常數(shù)項和函數(shù)項），這里從函數(shù)的視角探析出函數(shù)項，結合題干中的已知固定的結構模式，仿寫出通項，解決問題?！締栴}類型Ⅱ】探尋圖形數(shù)變化規(guī)律(2021?安徽)例2.某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列。【觀察思考】當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊(如圖2)；當正方形地磚只有2塊時，等腰直角三角形地磚有8塊(如圖2)；以此類推。42022年安徽省基礎教育教學論文【規(guī)律總結】(1)若人行道上每增加一塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；(2)若一條這樣的人行道一共有n(n磚的塊數(shù)為(用含n的代數(shù)式表示)?！締栴}解決】(3)現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？中找出與點數(shù)對應的規(guī)律，用函數(shù)的思想探析出函數(shù)關系，找出圖形數(shù)的變化規(guī)律。教學示范：設這樣的人行道一共有n（n為整數(shù)）塊正方形地磚，記等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為y塊，由特殊到一般，抽象出點數(shù)對（1，6），（2，8）……用函數(shù)思想探析變化規(guī)律，那么：當n=1時，y=6；當n=2時，y=8.猜想y=kn+b,解得y=2n+4.可通過畫草圖驗證當n=3時，仍然符合原題規(guī)律，找到通項，可知：若人行道上每增加一塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加2塊；若一條這樣的人行道一共有n(n為正整數(shù))塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為2n+4(用含n+4≤2021解得n≤1008.5,因為n為整數(shù)，所以n=1008,需要正方形地磚1008塊。探尋圖形數(shù)變化規(guī)律，實質是探尋第n個圖形中某兩個量之間的關系，關鍵是轉化探尋圖形數(shù)變化規(guī)律也是近幾年中考中?？碱}型，其中2016年、2017年中考題更是通過圖形數(shù)的變化規(guī)律巧妙設計數(shù)形結合和閱讀理解來探究問題，設計比較成功，若一直有從函數(shù)的視角、用函數(shù)的思想來探尋找規(guī)律問題為基輔，那閱讀解題將會事半功倍?！締栴}類型Ⅲ】探尋圖形變化規(guī)律例題ABC的邊長是BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊三角形AB1C1；再以等邊三角形AB1C1的邊B1C1邊上的高AB2為邊52022年安徽省基礎教育教學論文作等邊三角形，得到第二個等邊三角形三角形AB2C2的邊B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊三角形AB3C3；……記△B1CB2的面積為S1,△B2C1B3的面積為S2,△B3C2B4的面積為S3,如此下去，則Sn=。用函數(shù)的思想來探尋出“不變”的量隨圖形變化序數(shù)號n之間的關系，解決圖形變化規(guī)n所記的面積為的三角形都是含30n

0也是不變的，依據(jù)相似知識將問題轉化即可用代數(shù)式表示其面積間的關系。S1的面積，問題是求解角形都是含300下：2 12 2 22 12 2 2

38 S2

S2 2

Sin2600 334同理易得：34Sn

4

2從而，通過數(shù)式變化規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)出Sn值。3 3 3S2448S34S2448

483 3 3 3

32 3……n 4

8S 3S

33462022年安徽省基礎教育教學論文探尋圖形變化規(guī)律，關鍵是是找到變化規(guī)律中不變的量隨圖形變化序數(shù)號n之間的關系，實質是轉化圖形變化為數(shù)式變化，從函數(shù)視角，分步探尋找到圖形變化規(guī)律?！締栴}類型Ⅳ】探尋循環(huán)變化規(guī)律例4.如圖,在平面直角坐標系中,將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉2022次得到正方形A那么點B2022的坐標為。B的坐標變化規(guī)律，解題的關鍵是從特殊推廣到一般，找到變化的周期。教學示范：探尋規(guī)律的入手點，根據(jù)圖形可知，點B在以O為圓心，以OB為半次共旋轉2022÷8=252……6，所以點B2022的坐標為（1，-1）。圖；其次在代數(shù)式的計算中或變化的圖形中找不變的量———即循環(huán)節(jié)；再次用函數(shù)思關系；最后將問題轉化為數(shù)式變化規(guī)律來探尋。四、課后反思最簡單的情況即序數(shù)號n=1的情況（如最小數(shù)量、最簡的圖形）開始研究，轉化各規(guī)律類型為“數(shù)式變化”類型后，用函數(shù)的思想來探析規(guī)律y（因變量）隨變化過程中序數(shù)號n（自變量）之間的關系，由特殊到一般，歸納，猜想，驗證，直到得出結論。索，通過“探尋分析”身歷其境，獲得體驗；通過“教學示范”碰撞思維，獲得提升；72022年安徽省基礎教育