2022-2023學(xué)年湖南省衡陽市 縣大云中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省衡陽市縣大云中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過點(diǎn)作直線（不同時(shí)為零）的垂線，垂足為，點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.已知偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x﹣1）是奇函數(shù)，則下面結(jié)論一定成立的是（）A．f（x+1）是偶函數(shù) B．f（x+1）是非奇非偶函數(shù)C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函數(shù)參考答案：D【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】求出周期為4，f（﹣x+3）=f（﹣x﹣1），f（x+3）=﹣f（x+1）=﹣f（﹣x﹣1），即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），∴f（x﹣2）=﹣f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），∴函數(shù)的周期為4．∴f（﹣x+3）=f（﹣x﹣1），f（x+3）=﹣f（x+1）=﹣f（﹣x﹣1），∴f（﹣x+3）=﹣f（x+3），∴f（x+3）是奇函數(shù)，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．3.設(shè)e1，e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且，則在上的投影為()A.

B.

C.

D.參考答案：B4.設(shè)F1、F2是橢圓Γ的兩個(gè)焦點(diǎn)，S是以F1為中心的正方形，則S的四個(gè)頂點(diǎn)中能落在橢圓Γ上的個(gè)數(shù)最多有（S的各邊可以不與Γ的對(duì)稱軸平行）（A）1個(gè)

（B）2個(gè)

（C）3個(gè)

（D）4個(gè)參考答案：B5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A6.已知等差數(shù)列，滿足，則數(shù)列的前13項(xiàng)之和為 A．24 B．39 C．52 D．104參考答案：C7.為球的直徑，是該球球面上的兩點(diǎn)，，若棱錐的體積為，則球的體積為

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．G8

【答案解析】B

解析：如圖：由題意，設(shè)球的直徑SC=2R，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=R，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO與SC垂直，則S△ABO=進(jìn)而可得：VS﹣ABC=VC﹣AOB+VS﹣AOB，所以棱錐S﹣ABC的體積為：??2R=，所以R=2，所以球O的體積為．故選B．【思路點(diǎn)撥】由題意求出SA=AC=SB=BC=R，∠SAC=∠SBC=90°，說明球心O與AB的平面與SC垂直，求出OAB的面積，利用棱錐S﹣ABC的體積，求出R，即可求球O的體積．8.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）。A．-15

B．15

C．-20

D．20參考答案：B知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用;二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式;求展開式中某項(xiàng)的系數(shù).解析：解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得r=4，故展開式中常數(shù)項(xiàng)為，

故選：B．思路點(diǎn)撥：先求得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)的值．9.一幾何體的三視圖如圖，其中側(cè)（左）視圖和俯視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，正（主）視圖為直角梯形，則此幾何體體積的大小為（

）A．12

B．16

C．48

D．64參考答案：B10.若，則（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，代入已知條件求得表達(dá)式的值.【詳解】依題意，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查二倍角公式和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則參考答案：略12.在△ABC中，E為AC上一點(diǎn)，且=4，P為BE上一點(diǎn)，且滿足=m+n（m＞0，n＞0），則取最小值時(shí)，向量=（m，n）的模為

．參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；平面向量的基本定理及其意義．【分析】根據(jù)平面向量基本定理求出m，n關(guān)系，進(jìn)而確定+取最小值時(shí)m，n的值，代入求的模【解答】解：∵=4，∴=m+n=m+4n又∵P為BE上一點(diǎn)，∴不妨設(shè)=λ（0＜λ＜1）∴=+=+λ=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ∴m+4n=（1﹣λ）+λ∵，不共線∴m+4n=1﹣λ+λ=1∴+=（+）×1=（+）×（m+4n）=5+4+≥5+2=9（m＞0，n＞0）當(dāng)且僅當(dāng)=即m=2n時(shí)等號(hào)成立又∵m+4n=1∴m=，n=∴||==故答案為13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線（a，b為常數(shù)）過點(diǎn)P（1，y0），且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線2x﹣y+3=0平行，則取得最小值時(shí)y0值為．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】方程思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】將P的坐標(biāo)代入曲線方程，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，運(yùn)用兩直線平行的條件：斜率相等，可得2a2+b2=2，再由乘1法和基本不等式可得最小值，求出取得等號(hào)的條件，即可得到所求值．【解答】解：由題意可得y0=a2﹣b2，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′=2a2x+，由題意可得在P處的切線的斜率為2a2+b2=2，則=（2a2+b2）（+）=（17++）≥（17+2）=，當(dāng)且僅當(dāng)=，即有a2=，b2=時(shí)，取得最小值，則y0=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．14.已知正實(shí)數(shù)，記m為和中較小者，則m的最大值為

__________。參考答案：略15.平均數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2019，則該數(shù)列的首項(xiàng)為__________．參考答案：1.【分析】由題意可得關(guān)于首項(xiàng)的方程，解方程可得．【詳解】設(shè)該等差數(shù)列的首項(xiàng)為a，由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得2019+a＝1010×2解得a＝1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，涉及中位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．16.已知是定義在上的奇函數(shù)，則

參考答案：017.從1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中，可得到一般規(guī)律為．（用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示）參考答案：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2【考點(diǎn)】類比推理．【分析】從具體到一般，觀察按一定的規(guī)律推廣．【解答】解：從具體到一般，按照一定的規(guī)律，可得如下結(jié)論：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2故答案為：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出。當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛。租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元。（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車？

（2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？參考答案：解析：（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，未租出的車輛數(shù)為：

=12，所以這時(shí)租出了88輛車.（2）設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，當(dāng)x=4050時(shí)，f（x）最大，其最大值為f（4050）=307050.即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元。19.（12分）甲袋中裝有1個(gè)紅球，2個(gè)白球個(gè)3個(gè)黑球，乙袋中裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球和一個(gè)黑球，現(xiàn)從兩袋中各取1個(gè)球。

（I）求恰有1個(gè)白球和一個(gè)黑球的概率；

（Ⅱ）求兩球顏色相同的概率；

（Ⅲ）求至少有1個(gè)紅球的概率。參考答案：解析：（I）各取1個(gè)球的結(jié)果有（紅，紅1）（紅，紅2）（紅，白1）（紅，白2）（紅，黑）（白，紅2）（白，紅2）（白，白1）（白，白2）（白，黑）（白，紅1）（白，紅2）（白，白1）（白，白2）（白，黑）（黑1，紅1）（黑1，紅2）（黑1，白1）（黑1，白2）（黑1，黑）（黑2，紅1）（黑2，紅2）（黑2，白1）（黑2，白2）（黑2，黑）（黑3，紅1）（黑3，紅2）（黑3，白1）（黑3，白2）（黑3，黑）等30種情況其中恰有1白1黑有（白，黑）…（黑3，白2）8種情況，故1白1黑的概率為

（Ⅱ）2紅有2種，2白有4種，2黑有3種，故兩球顏色相同的概率為

（Ⅲ）1紅有1×3+2×5=13（種），2紅有2種，故至少有1個(gè)紅球的概率為20.（12分）為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打時(shí)間x（單位：小時(shí)）與當(dāng)于投籃命中率y之間的關(guān)系：時(shí)間x12345命中率y0.40.50.60.60.4

（I）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（II）預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為多少？（考點(diǎn)：線性回歸應(yīng)用）參考答案：21.(本小題滿分12分)如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，點(diǎn)E、M分別為A1B、C1C的中點(diǎn)，過點(diǎn)A1，B，M三點(diǎn)的平面A1BMN交C1D1于點(diǎn)N.（Ⅰ）求證：EM∥平面A1B1C1D1；（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.參考答案：解法一：（Ⅰ）證明：取A1B1的中點(diǎn)F，連EF，C1F∵E為A1B中點(diǎn)∴EF∥BB1

…………2分

又∵M(jìn)為CC1中點(diǎn)

∴EF∥C1M∴四邊形EFC1M為平行四邊形

∴EM∥FC1

…4分而EM平面A1B1C1D1.FC1平面A1B1C1D1.∴EM∥平面A1B1C1D1

……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）EM∥平面A1B1C1D1

EM平面A1BMN平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N

∴A1N//EM//FC1

∴N為C1D1中點(diǎn)過B1作B1H⊥A1N于H，連BH，根據(jù)三垂線定理

BH⊥A1N∠BHB1即為二面角B—A1N—B1的平面角

……8分設(shè)AA1=a，則AB=2a，

∵A1B1C1D1為正方形∴A1H=

又∵△A1B1H∽△NA1D1∴B1H=

…………10分在Rt△BB1H中，tan∠BHB1=

即二面角B—A1N—B1的正切值為

…………12分解法二:（Ⅰ）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2a,AA1=a(a>0)，則A1（2a，0，a），B（2a,2a,0）,C（0，2a，0），C1（0，2a，a）

……2分∵E為A1B的中點(diǎn)，M為CC1的中點(diǎn)

∴E（2a,a,），M（0，2a,）∴EM//A1B1C1D1

…………6分（Ⅱ）設(shè)平面A1BM的法向量為=（x,y,z）又=（0，2a,－a）

由，得

…………9分而平面A1B1C1D1的法向量為.設(shè)二面角為，則又：二面角為銳二面角

，……11分從而

…………12分

22.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知4sin2+4sinAsinB=2+．（Ⅰ）求角C的大??；（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面積為6，求邊長(zhǎng)c的值．參考答案：【考點(diǎn)】二倍角的余弦；兩角和與差的正弦函數(shù)；余弦定理．【分析】（Ⅰ）△ABC中由條件利用二