2022年廣東省深圳市蛇口科愛賽國際學校高二數(shù)學文下學期期末試題含解析

2022年廣東省深圳市蛇口科愛賽國際學校高二數(shù)學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)y=f（x）導函數(shù)f'（x）的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)y=f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增B．函數(shù)y=f（x）的遞減區(qū)間為（3，5）C．函數(shù)y=f（x）在x=0處取得極大值D．函數(shù)y=f（x）在x=5處取得極小值參考答案：D【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系以及函數(shù)在某點取得極值的條件即可判斷．【解答】解：由函數(shù)y=f（x）導函數(shù)的圖象可知：當x＜﹣1及3＜x＜5時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當﹣1＜x＜3及x＞5時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．所以f（x）的單調減區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（3，5）；單調增區(qū)間為（﹣1，3），（5，+∞），f（x）在x=﹣1，5取得極小值，在x=3處取得極大值．故選D．2.若，則函數(shù)的最小值為（

）A

B

C

D

非上述情況參考答案：B略3.在等差數(shù)列中，，則此數(shù)列的前13項之和等于(

)

A．13

B．26

C．52

D．156參考答案：B4.某班一天上午安排語、數(shù)、外、體四門課，其中體育課不能排在第一、第四節(jié)，則不同排法的種數(shù)為（）A．24 B．22 C．20 D．12參考答案：D【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】因為體育課不能排在第一、第四節(jié)，所以先排體育課，可以排第三、四節(jié)，有2種排法，再排語、數(shù)、外三門課，有A33種排法，由此能求出不同排法的種數(shù)．【解答】解：先排體育課，有2種排法，再排語、數(shù)、外三門課，有A33種排法，按乘法原理，不同排法的種數(shù)為2×A33=12．故選D．5.下面為一個求20個數(shù)的平均數(shù)的程序,在橫線上應填充的語句為(

)A．i>20

B．i<20

C．i>=20

D．i<=20參考答案：A6.執(zhí)行如圖所示程序框圖，若使輸出的結果不大于100，則輸入的整數(shù)k的最大值為（）A．4 B．5 C．6 D．7參考答案：B【考點】程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算變量S的值，并輸出滿足退出循環(huán)條件時的k值，模擬程序的運行，對程序運行過程中各變量的值進行分析，即可得解．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得S=0，n=0滿足條，0≤k，S=3，n=1滿足條件1≤k，S=7，n=2滿足條件2≤k，S=13，n=3滿足條件3≤k，S=23，n=4滿足條件4≤k，S=41，n=5滿足條件5≤k，S=75，n=6滿足條件6≤k，S=141，n=7…若使輸出的結果S不大于100，則輸入的整數(shù)k不滿足條件6≤k，即5≤k＜6，則輸入的整數(shù)k的最大值為5．故選：B．7.在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．-10

B．20

C．-40

D．50參考答案：C8.下列有關命題的說法錯誤的是（）A．命題“若x2﹣3x+2=0則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件C．若p∧q為假命題，則p、q均為假命題D．對于命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．則￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用；四種命題間的逆否關系；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】綜合題．【分析】根據四種命題的定義，我們可以判斷A的真假；根據充要條件的定義，我們可以判斷B的真假；根據復合命題的真值表，我們可以判斷C的真假；根據特稱命題的否定方法，我們可以判斷D的真假，進而得到答案．【解答】解：命題“若x2﹣3x+2=0則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”故A為真命題；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件．故B為真命題；若p∧q為假命題，則p、q存在至少一個假命題，但p、q不一定均為假命題，故C為假命題；命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．則非p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故D為真命題；故選C．【點評】本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，四種命題間的逆否關系，充要條件，是對簡單邏輯綜合的考查，屬于簡單題型．9.命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2參考答案：D【考點】命題的否定．【分析】直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可．【解答】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是：?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2．故選：D．10.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，求出各個面的面積，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，其底面是邊長為1m的正方形，故底面積為1m2，側面均為直角三角形，其中有兩個是腰為1m的等腰直角三角形，面積均為：m2，另外兩個是邊長分別為1m，m，m的直角三角形，面積均為：m2，故幾何體的表面積S=，故選：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線在點A（0,1）處的切線斜率為______________。參考答案：112.已知，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

▲

．參考答案：略13.一個樣本容量為的樣本數(shù)據,它們組成一個公差不為0的等差數(shù)列,若,且成等比數(shù)列,則此樣本的中位數(shù)是_________.參考答案：1014.空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，且OM=2MA，N為BC的中點，則_________

（用，，表示）參考答案：略15.已知函數(shù).若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是_____.參考答案：【分析】由題意畫出兩個函數(shù)的圖象，由臨界值求實數(shù)k的取值范圍．【詳解】函數(shù)有兩個零點即與有兩個交點，的圖像如圖所示：當?shù)男甭蕰r由圖像可得有兩個交點，故實數(shù)的取值范圍是故答案為【點睛】本題考查了方程的根與函數(shù)的交點的關系，同時考查了函數(shù)的圖象的應用，屬于中檔題．16.用2、3、5、7組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，再將這些四位數(shù)按從小到大排成一個數(shù)列，則這個數(shù)列的第18項是___

____.（填寫這個四位數(shù)）參考答案：5732略17.有4名學生插班到4個班級，每班1人，則不同的插班方案有__________種．

參考答案：24三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.若不等式對一切恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍．參考答案：當時，原不等式變形為，恒成立，即滿足條件；

當時，要使不等式對一切恒成立，必須

，解得，．綜上所述，的取值范圍是．略19.現(xiàn)有一張長80厘米、寬60厘米的長方形ABCD鐵皮，準備用它做成一只無蓋長方體鐵皮盒，要求材料利用率為l00%，不考慮焊接處損失．方案一：如圖（1），從右側兩個角上剪下兩個小正方形，焊接到左側中聞，沿虛線折起，求此時鐵皮盒的體積；方案二：如圖（2），若從長方形ABCD的一個角上剪下一塊正方形鐵皮，作為鐵皮盒的底面，用余下材料剪拼后作為鐵皮盒的側面，求該鐵皮盒體積的最大值，并說明如何剪拼？．參考答案：考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；函數(shù)模型的選擇與應用．專題：函數(shù)的性質及應用；導數(shù)的綜合應用．分析：方案一：求出小正方形的邊長，利用體積公式可求體積；方案二：設底面正方形的邊長為x（0＜x＜60），長方體的高為y，利用面積確定x，y之間的關系，進而可表示出體積，利用導數(shù)法，可求最值．解答：方案一：設小正方形的邊長為x，由題意得4x=60，x=15，所以鐵皮盒的體積為65×30×15=29250（cm3）．…（4分）方案二：設底面正方形的邊長為x（0＜x＜60），長方體的高為y，由題意得x2+4xy=4800，即，所以鐵皮盒體積，…（10分），令V′（x）=0，解得x=40或x=﹣40（舍），當x∈（0，40）時，V'（x）＞0；當x∈（40，60）時，V'（x）＜0，所以函數(shù)V（x）在x=40時取得最大值32000cm3．將余下材料剪拼成四個長40cm，寬20cm的小長方形作為正方形鐵皮盒的側面即可．

…（15分）答：方案一鐵皮盒的體積為29250cm3；方案二鐵皮盒體積的最大值為32000cm3，將余下材料剪拼成四個長40cm，寬20cm的小長方形作為正方形鐵皮盒的側面即可．（16分）點評：本題考查函數(shù)模型的選擇與運用，考查幾何體的體積，考查導數(shù)知識的運用，屬于中檔題．20.（本小題滿分12分）已知方程是關于的一元二次方程．（Ⅰ）若是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實數(shù)根的概率；（Ⅱ）若分別是區(qū)間是內的隨機數(shù)，求上述方程有實數(shù)根的概率．參考答案：設事件為“方程有實數(shù)根”．當，時，方程有實數(shù)根的充要條件為．………………2分 （Ⅰ）基本事件共12個：，，，．其中第一個數(shù)表示的取值，第二個數(shù)表示的取值．……………3分事件中包含9個基本事件．……………（4分）事件發(fā)生的概率為．……………（6分）（Ⅱ）試驗的全部結果所構成的區(qū)域為．構成事件的區(qū)域為．………（8分）所以所求的概率．……………（12分）21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）若曲線過點，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）若函數(shù)有兩個不同的零點，求證：．參考答案：（Ⅰ）因為點在曲線上，所以，解得．因為，所以切線的斜率為，所以切線方程為．

…4分（Ⅱ）因為．①當時，，，所以函數(shù)在上單調遞增，則．②當，即時，，，，所以函數(shù)在上單調遞增，則．

③當，即時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，則．

……7分④當，即時，，，函數(shù)在上單調遞減，則．

………9分綜上，①當時，；②當時，；③當時，．

…………10分（3）不妨設．因為，所以，，可得，．要證明，即證明，也就是．因為，所以即證明，即．

…………12分令，則，于是．令（），則．故函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即成立．所以原不等式成立．

…14分22.已知雙曲線的離心率，過A（a，0），B（0，﹣b）的直線到原點的距離是．（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線y=kx+5（k≠0）交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關系；雙曲線的標準方程．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）由離心率為可得①，原點到直線AB的距離是，得=②，由①②及c2=a2+b2可求得b，a；（2）把y=kx+5代入x2﹣3y2=3中消去y，得x的二次方程，設C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中點是E（x0，y0），由C，D都在以B為圓心的圓上，得k