等腰三角形的證明習(xí)題集和答案

...wd......wd......wd...等腰三角形一、選擇題1.如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，DE為中位線(xiàn)，則四邊形BCED的面積為〔〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕2.如圖，⊿ABC和⊿CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B,C,D在一條直線(xiàn)上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，以下結(jié)論：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是〔〕〔A〕1個(gè)〔B〕2個(gè)〔C〕3個(gè)〔D〕4個(gè)3.如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5cm和6cm，那么此三角形的周長(zhǎng)是A．15cmB．16cmC．17cmD．16cm或17cm二、填空題1.邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形中，其一邊上高的長(zhǎng)度為_(kāi)_______.2.等腰三角形的周長(zhǎng)為14，其一邊長(zhǎng)為4，那么，它的底邊為.3.在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)l∥AB，F(xiàn)是l上的一點(diǎn)，且AB＝AF，則點(diǎn)F到直線(xiàn)BC的距離為．4.等邊△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,BC上，把△BDE沿直線(xiàn)DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)Bˊ處，DBˊ,EBˊ分別交邊AC于點(diǎn)F，G，假設(shè)∠ADF=80o，則∠EGC的度數(shù)為5.如圖6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分線(xiàn)交BC邊于點(diǎn)D，AB=5，BC=6，則AD=_______.6．如圖〔四〕所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，則∠A=_______。7.如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線(xiàn)上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝度．三、解答題1.如圖〔1〕，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90o，固定△ABC，將△DEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止．現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開(kāi)場(chǎng)和完畢時(shí)重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長(zhǎng)線(xiàn))分別交BC(或它的延長(zhǎng)線(xiàn))于G，H點(diǎn)，如圖(2)〔1〕問(wèn)：始終與△AGC相似的三角形有及；〔2〕設(shè)CG=x，BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式〔只要求根據(jù)圖(2)的情形說(shuō)明理由〕〔3〕問(wèn)：當(dāng)x為何值時(shí)，△AGH是等腰三角形.題1圖(1)題1圖(1)BHFA〔D〕GCEC〔E〕BFA〔D〕題1圖(2)ABCEDO2、如圖AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BEABCEDO(1)求證AD=AE；(2)連接OA，BC，試判斷直線(xiàn)OA，BC的關(guān)系并說(shuō)明理由．3.如圖，點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且CE＝CA．〔1〕求證：DE平分∠BDC；〔2〕假設(shè)點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．4.如圖，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，假設(shè)AE=4，F(xiàn)C=3，求EF長(zhǎng)．5.數(shù)學(xué)課上，李教師出示了如下框中的題目．在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且ED=EC，如圖．試確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)展了如下解答：〔1〕特殊情況?探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線(xiàn)段AE與的DB大小關(guān)系．請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：AEDB〔填“＞〞，“＜〞或“=〞〕．〔2〕特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AEDB〔填“＞〞，“＜〞或“=〞〕．理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，〔請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程〕〔3〕拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上，且ED=EC．假設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)〔請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)果〕．等腰三角形答案一、選擇題BDD二、填空題1、3√32、4或63、--------4、805、46、807、15三、解答題1.1〔2011廣東東莞，21，9分〕【答案】解：〔1〕△HAB，△HGA。〔2〕∵△AGC∽△HAB，∴，即。∴。又∵BC=?！鄖關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為?！?〕①當(dāng)∠GAH=45°是等腰三角形.的底角時(shí)，如圖1，可知。②當(dāng)∠GAH=45°是等腰三角形.的頂角時(shí),如圖2，在△HGA和△AGC中∵∠AGH=∠CGA，∠GAH=∠C=450，∴△HGA∽△AGC。∵AG=AH，∴∴當(dāng)或時(shí)，△AGH是等腰三角形?！究键c(diǎn)】三角形外角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，幾何問(wèn)題列函數(shù)關(guān)系式，等腰三角形的判定?！痉治觥俊?〕在△AGC和△HAB中，∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+900—∠GAC=1350—∠GAC，∠BAH=∠BAC+∠EAF—∠EAC=900+450—∠GAC，∴∠AGC=∠BAH。又∵∠ACG=∠HBA=450，∴△AGC∽△HAB。在△AGC和△HGA中，∵∠CAG=∠EAF—∠CAF=450—∠CAF，∠H=1800-∠ACH—∠CAH=1800—1350—∠CAF=450—∠CAF，∴∠CAG=∠H。又∵∠AGC=∠HGA，∴△AGC∽△HGA。〔2〕利用△AGC∽△HAB得對(duì)應(yīng)邊的比即可得。〔3〕考慮∠GAH是等腰三角形.底角和頂角兩種情況分別求解即可。ABECDO2、〔2011山東德州19,8分〕〔1〕證明：在△ABECDO∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，∴△ACD≌△ABE．∴AD=AE．(2)互相垂直在Rt△ADO與△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO．∴∠DAO=∠EAO．即OA是∠BAC的平分線(xiàn)．又∵AB=AC，∴OA⊥BC．3、〔2011山東日照，23，10分〕證明：〔1〕在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15o，∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，∴∠DCA=∠DCB=45o．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，∴∠BDM=∠EDC，∴DE平分∠BDC；〔2〕如圖，連接MC，∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等邊三角形，即CM=CD．又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．4、〔2011湖北鄂州，18，7分〕【解題思路】連結(jié)BD，證△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，得BF=4，BE=3，再運(yùn)用勾股定理求得EF=5【答案】連結(jié)BD，證△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=5【點(diǎn)評(píng)】此題考察了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)是斜邊的一半，三角形全等的判定和性質(zhì)和勾股定理。只要抓住等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定，解決起來(lái)并不困難。5、〔2011?紹興〕考點(diǎn)：全等三角形判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等邊三角形判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題；證明題；分類(lèi)討論。分析：〔1〕根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；〔2〕作EF∥BC，證出等邊三角形AEF，再證△DBE≌△EFC即可得到答案；〔3〕分為兩種情況：一是如上圖在AB邊上，在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，求出CD=3，二是在BC上求出CD=1，即可得到答案．解答：解：〔1〕故答案為：=．〔2〕故答案為：=．證明：在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，∴AE=AF=EF，∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF，∵∠ABC