一種改進(jìn)的粒子濾波方法

一種改進(jìn)的粒子濾波方法

0基于線性化的一般方法非線性濾波問(wèn)題是通過(guò)在線獲得受干擾噪聲的觀測(cè)量，并對(duì)非線性系統(tǒng)的不觀測(cè)值進(jìn)行加權(quán)。它在自動(dòng)控制、信號(hào)處理、目標(biāo)跟蹤、人工智能以及導(dǎo)航制導(dǎo)等諸多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。最著名的非線性濾波方法是擴(kuò)展卡爾曼濾波(extenedKalmanfilter,EKF),其基本思想是使用泰勒展開(kāi)對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化,但這種線性化誤差較大,而且許多實(shí)際問(wèn)題中很難得到非線性函數(shù)的Jacobian矩陣。近年來(lái)出現(xiàn)了一些無(wú)需計(jì)算Jacobian矩陣的非線性濾波方法,如無(wú)跡卡爾曼濾波器(unscentedKalmanfilter,UKF)、均差濾波器(divideddifferencefilter,DDF)、中心差分濾波器(centraldifferencefilter,CDF)等,這些方法的共同問(wèn)題是在非線性、非高斯性較強(qiáng)時(shí)收斂性急劇下降甚至發(fā)散。粒子濾波器(particlefilter,PF)使用序貫蒙特卡羅方法,通過(guò)尋找一組在狀態(tài)空間中傳播的隨機(jī)采樣對(duì)后驗(yàn)概率密度進(jìn)行近似,它可以完整反映狀態(tài)的后驗(yàn)分布并容易得到如均值、模和方差等統(tǒng)計(jì)特征,適用于任何分布的非線性系統(tǒng)。重要性采樣(importancesampling,IS)是粒子濾波的重要部分,因此要求建議分布(proposaldistribution,PD)能夠準(zhǔn)確地逼近后驗(yàn)概率分布。通常設(shè)計(jì)這樣的建議分布函數(shù)比較困難,比較常用的方法是對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行采樣,但如果最新的觀測(cè)信息位于先驗(yàn)概率分布的尾部或者似然函數(shù)相比先驗(yàn)概率是峰化的,就會(huì)導(dǎo)致粒子選擇的盲目性,降低估計(jì)的精度。為克服這一問(wèn)題,出現(xiàn)了一些基于線性化的建議分布改進(jìn)方法。例如,文獻(xiàn)提出了一種利用EKF高斯逼近產(chǎn)生建議分布函數(shù)的卡爾曼粒子濾波(extendedKalmanparticlefilter,EKPF),使濾波性能有所改善。但由于EKF使用泰勒一階展開(kāi)并需要計(jì)算Jacobian矩陣,因此算法的精度和效率依然受到限制。文獻(xiàn)提出了一種基于UKF的無(wú)跡粒子濾波(unscentedparticlefilter,UPF),UKF的估計(jì)精度高于EKF,可以獲得更加接近真實(shí)后驗(yàn)分布的建議分布,因此無(wú)跡粒子濾波的性能有了很大改善。但UKF在選取Sigma點(diǎn)集時(shí),采樣點(diǎn)數(shù)與狀態(tài)維數(shù)相關(guān),計(jì)算量隨著維數(shù)增大上升較快。集合卡爾曼濾波(ensembleKalmanfilter,EnKF)是一種蒙特卡羅方法的卡爾曼濾波,它通過(guò)集合采樣避免了Jacobian矩陣的計(jì)算,同時(shí)具有處理高維非線性系統(tǒng)的能力。文獻(xiàn)利用EnKF對(duì)粒子濾波的采樣權(quán)值進(jìn)行改進(jìn),用于處理非高斯數(shù)據(jù)同化。文獻(xiàn)使用兩個(gè)采樣集合,通過(guò)EnKF和PF并行處理,利用PF計(jì)算EnKF采樣點(diǎn)的權(quán)值,并將這種方法應(yīng)用于洪水預(yù)測(cè)模型。本文利用集合卡爾曼濾波產(chǎn)生粒子濾波每一時(shí)刻的建議分布函數(shù),這樣的建議分布函數(shù)能夠更接近真實(shí)的后驗(yàn)概率密度,且具有較小的計(jì)算量。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這種方法的優(yōu)越性。1標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法的基本原理對(duì)于如下非線性離散系統(tǒng)xk=f(xk-1,vk-1)(1)zk=h(xk,wk)(2)式中,xk∈Rnx為系統(tǒng)在k時(shí)刻的狀態(tài);zk∈Rnz為系統(tǒng)在k時(shí)刻的觀測(cè)向量;vk∈Rn為系統(tǒng)過(guò)程噪聲;wk∈Rm為k時(shí)刻的觀測(cè)噪聲;映射f:Rnx×Rnv→Rnx和h:Rnx×Rnw→Rnz都是有界非線性函數(shù),分別代表系統(tǒng)的狀態(tài)和觀測(cè)模型。濾波的目的就是要獲得系統(tǒng)后驗(yàn)分布p(xk|z1:k),繼而得到系統(tǒng)狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)特性,如均值、最大后驗(yàn)概率和置信區(qū)間等。粒子濾波又稱自舉濾波(bootstrapfiltering,BF)或重要性采樣重采樣(samplingimportanceresampling,SIR)濾波,其本質(zhì)是采用序貫蒙特卡羅(sequentialMonteCarlo,SMC)方法?；舅枷胧?從后驗(yàn)概率密度p(xk|z1:k)中獨(dú)立的抽取N個(gè)采樣點(diǎn),通過(guò)加權(quán)求和,近似表示后驗(yàn)概率分布。在很多情況下,后驗(yàn)分布可能是多變量、高維、多峰、非解析的,因此很難直接從中采樣,為此引入了重要性采樣。其基本思路是使用易于采樣的建議分布函數(shù)q(xk|z1:k)代替后驗(yàn)密度函數(shù)進(jìn)行采樣。重要性采樣的一個(gè)重要缺陷是“蛻化”問(wèn)題,這時(shí)就需要用到“重采樣”技術(shù)。其基本思想是抑制或剔除小權(quán)值粒子,對(duì)大權(quán)值粒子依其權(quán)值進(jìn)行復(fù)制。標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法可總結(jié)如下(N為粒子個(gè)數(shù)):(1)初始化k=0,Fori=1:N,從先驗(yàn)概率p(x0)中隨機(jī)采樣x(i)0。(2)Fork=1,2…(a)重要性采樣Fori=1:N,抽取采樣點(diǎn)?x(i)k~q(xk|x(i)1:k-1,z1:k),計(jì)算每個(gè)粒子的權(quán)值ω(i)k=ω(i)k-1p(zk|?x(i)k)p(?x(i)k|x(i)k-1)q(?x(i)k|x(i)0:k-1,z1:k)歸一化權(quán)值?ω(i)k=ω(i)k/Ν∑j=1ω(j)k(b)重采樣得到x(i)k并將權(quán)值置為1Ν。(c)輸出p(x0:k|z1:k)≈1ΝΝ∑i=1δ(x(i)0:k)(dx0:k)2k的分類(lèi)提高粒子濾波算法性能最有效的方法是選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)慕ㄗh分布函數(shù),也就是使建議分布函數(shù)和似然函數(shù)具有更大的重疊區(qū)域。針對(duì)建議分布選擇問(wèn)題,最優(yōu)選擇標(biāo)準(zhǔn)是最小化重要性權(quán)值的方差,并有如下重要命題:p(x0:k|x(i)0:k-1,z1:k)是最小化的基于x(i)0:k-1和z1:k的重要性權(quán)方差Varq(xk|x(i)0:k-1,z1:k)(ω(i)k)的最優(yōu)建議分布。但上述分布至少存在兩個(gè)缺陷,首先是必須從可能是非標(biāo)準(zhǔn)的分布中采樣粒子比較困難;其次是涉及積分計(jì)算,而該積分通常是非解析的。目前,通常選取p(x0:k|x(i)0:k-1)作為建議分布函數(shù),但由于該分布未融入最新觀測(cè)信息,會(huì)導(dǎo)致較高的權(quán)值方差,影響濾波精度。文獻(xiàn)分別提出了利用EKF和UKF產(chǎn)生建議分布,使算法精度得到提高。本文使用EnKF來(lái)產(chǎn)生建議分布函數(shù),由于EnKF能夠得到狀態(tài)的最大后驗(yàn)概率估計(jì),將最新觀測(cè)信息融入建議分布,使得產(chǎn)生的采樣樣本更接近真實(shí)的樣本,又避免了對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化,同時(shí)有效控制了計(jì)算量,提高了算法性能。2.1改進(jìn)的卡爾曼增益估計(jì)算法EnKF的本質(zhì)是一種基于蒙特卡羅方法的卡爾曼濾波。EnKF因其較高的計(jì)算效率和處理高維非線性系統(tǒng)的能力,被廣泛應(yīng)用于大氣預(yù)報(bào)領(lǐng)域。其基本思想是,初始化一組系統(tǒng)的狀態(tài)采樣作為背景集合,利用觀測(cè)信息通過(guò)卡爾曼濾波對(duì)背景數(shù)據(jù)集中每個(gè)個(gè)體進(jìn)行更新,得到分析集合。分析集合用來(lái)估計(jì)狀態(tài)的真實(shí)均值和方差。通過(guò)系統(tǒng)模型傳遞采樣集合,可以得到下一時(shí)刻的背景數(shù)據(jù)集。這樣使用集合估計(jì)真實(shí)統(tǒng)計(jì)值,提高了估計(jì)精度,同時(shí)使計(jì)算量明顯降低。定義集合Xbk={xbk,i,i=1,2,…,n}為k時(shí)刻狀態(tài)的背景集合,它由k-1時(shí)刻的分析集合Xak-1傳遞而來(lái),n為集合樣本數(shù)。采樣均值和方差可由下式計(jì)算?xbk=1nn∑i=1xbk,i(3)?Ρbk=1n-1n∑i=1(xbk,i-?xbk)(xbk,i-?xbk)Τ(4)實(shí)際應(yīng)用中,不必計(jì)算?Ρbk,使用如下公式代替?Ρkxh=1n-1n∑i=1(xbk,i-?xbk)(h(xbk,i)-h(?xbk))Τ(5)?Ρkhh=1n-1n∑i=1(h(xbk,i)-h(?xbk))(h(xbk,i)-h(?xbk))Τ(6)卡爾曼增益的計(jì)算為Κk=?Ρkxh(?Ρkhh+Rk)-1(7)式中,Rk表示k時(shí)刻的觀測(cè)誤差協(xié)方差矩陣。利用最新觀測(cè)信息,可以對(duì)背景集合進(jìn)行更新,得到k時(shí)刻的分析集合Xak={xak,i,i=1,2,…,n}如下xak,i=xbk,i+Κk(yk,i-h(xbk,i)),i=1,2,?,n(8)式中,yk,i是以觀測(cè)值yk為均值,Rk為方差的高斯分布的采樣。相應(yīng)的,分析集合的均值和方差為?xak=1nn∑i=1xak,i(9)?Ρak=1n-1n∑i=1(xak,i-?xak)(xak,i-?xak)Τ(10)2.2在關(guān)注高估計(jì)精度的同時(shí)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)結(jié)果由前述算法流程可以看出,不同于EKF,EnKF無(wú)須對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化,避免了Jacobian矩陣的計(jì)算,使用采樣法近似非線性分布,提高了計(jì)算精度,并且可以處理非可導(dǎo)的非線性系統(tǒng)。文獻(xiàn)指出,對(duì)于受高斯噪聲擾動(dòng)的非線性系統(tǒng),EnKF對(duì)均值和方差的估計(jì)至少可以達(dá)到二階水平。所以相比傳統(tǒng)的EKF,EnKF產(chǎn)生的分布與后驗(yàn)分布的重疊區(qū)域更大,可以對(duì)狀態(tài)分布進(jìn)行更好的高斯估計(jì)。另外,雖然UKF對(duì)于非線性問(wèn)題具有很高的估計(jì)精度,但其Sigma點(diǎn)的采樣數(shù)目與系統(tǒng)的維數(shù)相關(guān),當(dāng)維數(shù)增大時(shí),算法的計(jì)算量上升比較快,而EnKF的采樣點(diǎn)數(shù)目是啟發(fā)式的,可以靈活設(shè)定,使算法在保證較高估計(jì)精度的同時(shí)有效控制計(jì)算量。這使得EnKF成為計(jì)算粒子濾波建議分布函數(shù)的更好選擇。使用EnKF產(chǎn)生粒子濾波的建議分布函數(shù),主要是通過(guò)傳播后驗(yàn)分布的高斯估計(jì)以及將每個(gè)時(shí)刻的最近觀測(cè)與之結(jié)合。換句話說(shuō),就是使用EnKF對(duì)如下后驗(yàn)概率密度進(jìn)行遞歸估計(jì)p(xk|z1:k)≈pΝ(xk|z1:k)=Ν(?xk,?Ρk)(11)在粒子濾波的框架中,對(duì)每個(gè)粒子使用一個(gè)獨(dú)立的EnKF產(chǎn)生和傳遞高斯建議分布q(x(i)k|x(i)1:k-1,z1:k)=Ν(?x(i)k,?Ρ(i)k)(12)在k-1時(shí)刻,使用EnKF和最近觀測(cè)信息對(duì)每個(gè)粒子的建議分布的均值和方差進(jìn)行更新,在k時(shí)刻從這個(gè)分布中采樣得到新的粒子。2.3集合卡爾曼粒子濾波器本文提出的這種使用EnKF產(chǎn)生粒子濾波建議分布的新濾波器叫做集合卡爾曼粒子濾波(ensembleKalmanparticlefilter,EnKPF)。算法步驟如下:3pf、enkf和opf關(guān)于狀態(tài)估計(jì)的比較為比較EnKPF和現(xiàn)有濾波算法如PF、PF-EKF和UPF等對(duì)非線性系統(tǒng)的估計(jì)性能,這里對(duì)算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真硬件環(huán)境是Intel(R)Core2DuoCPUT7250@2.00GHz,2GRAM,WindowsXP操作系統(tǒng),軟件利用MatlabR2007b編寫(xiě)?？紤]如下合成尺度估計(jì)模型xk=1+sin(απk)+0.5xk-1+vk-1yk={0.2x2k+wk,k≤300.5xk-2+wk,k＞30(13)式中,α=6e-2;過(guò)程噪聲vk服從Gamma分布Gamma(4,3);觀測(cè)噪聲wk服從正態(tài)分布N(0,1e-4)。給定觀測(cè)信息yk,使用不同濾波器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。粒子數(shù)為100,使用殘差采樣法,將采樣均值作為每一時(shí)刻算法輸出值。令EnKF的集合采樣個(gè)數(shù)為5,運(yùn)行60個(gè)時(shí)刻,每次隨機(jī)起始并進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)。圖1為一次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)條件下得到的4種濾波算法的狀態(tài)估計(jì)情況,可以看出PF-EKF、UPF和EnKPF都是用最大后驗(yàn)估計(jì)產(chǎn)生粒子濾波的建議分布函數(shù),通過(guò)融入最新觀測(cè)信息將先驗(yàn)分布向似然分布移動(dòng),估計(jì)性能優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)PF算法。但由于EKF使用一階泰勒展開(kāi),忽略高階項(xiàng),這種線性化過(guò)程產(chǎn)生了較大誤差,所以PF-EKF的估計(jì)性能低于UPF和EnKPF。同時(shí),UKF和EnKF都是通過(guò)近似非線性概率密度分布代替非線性函數(shù)的方法,在這一單次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)當(dāng)中EnKPF的估計(jì)性能與UPF較為相似。圖2為4種粒子濾波算法的均方根估計(jì)誤差,標(biāo)準(zhǔn)PF和PF-EKF會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況,且估計(jì)誤差較大,而UPF和EnKPF由于建議分布函數(shù)更加接近真實(shí)后驗(yàn)分布,其狀態(tài)估計(jì)的均方根誤差明顯降低,并且EnKPF的估計(jì)效果最好。圖3為各粒子濾波算法狀態(tài)值和觀測(cè)值概率分布情況,可以觀察到使用標(biāo)準(zhǔn)PF、PF-EKF和EnKPF對(duì)觀測(cè)值概率分布和狀態(tài)后驗(yàn)概率分布的估計(jì)情況,由于EnKPF在產(chǎn)生建議函數(shù)時(shí)既融入了最新觀測(cè)信息,又避免了對(duì)非線性系統(tǒng)的線性化處理,直接通過(guò)真實(shí)非線性系統(tǒng)進(jìn)行傳遞,因此它的估計(jì)效果最好。表1列出了各濾波器狀態(tài)估計(jì)的均方根誤差的均值和方差以及平均運(yùn)行時(shí)間,“—”表示未進(jìn)行考察對(duì)比。由表1可知,對(duì)于非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題,EnKF的估計(jì)性能優(yōu)于EKF,因而利用EnKF產(chǎn)生的建議分布函數(shù)更加接近真實(shí)后驗(yàn)概率分布,所以EnKPF的估計(jì)性能優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)PF和PF-EKF算法。相比UPF,在當(dāng)前的集合采樣點(diǎn)數(shù)下,EnKPF取得了更好的估計(jì)效果。在運(yùn)行時(shí)間上,由于UPF和EnKPF都使用了采樣點(diǎn)集的策略,因此高于傳統(tǒng)PF及PF-EKF,而UPF的運(yùn)行時(shí)間較之EnKPF更長(zhǎng),這主要是由于在利用UKF產(chǎn)生建議分布函數(shù)時(shí),因?yàn)樵肼曧?xiàng)的存在,需要對(duì)狀態(tài)進(jìn)行擴(kuò)維處理,導(dǎo)致Sigma粒子個(gè)數(shù)比較多。另外,EnKPF不同于UPF采樣點(diǎn)數(shù)固定,其采樣點(diǎn)數(shù)靈活可變,可以通過(guò)增加采樣點(diǎn)數(shù)進(jìn)一步提高估計(jì)精度。為比較不同粒子數(shù)情況下各粒子濾波算法的性能,分別選取粒子數(shù)為10、30、50進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。圖4給出了PF、PF-EKF、UPF和EnKPF在不同粒子數(shù)時(shí)狀態(tài)估計(jì)的均方根誤差均值,可以看出,在粒子數(shù)較少時(shí)EnKPF仍然具有較高的估計(jì)性能。為考察不同集合采樣點(diǎn)數(shù)情況下EnKPF的性能,分別選取采樣點(diǎn)數(shù)為10、20、30、40、50和100進(jìn)行仿真。表2給出了不同采樣點(diǎn)數(shù)情況下?tīng)顟B(tài)估計(jì)的均方根誤差的均值和平均運(yùn)行時(shí)間。由表2可知,隨著采樣點(diǎn)數(shù)增加,EnKPF對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的均方根誤差呈遞減趨勢(shì),但是采樣點(diǎn)數(shù)為50時(shí)的估計(jì)性能與采樣點(diǎn)數(shù)為100時(shí)的估計(jì)性能相差不大,而算法運(yùn)行時(shí)間卻隨著采樣點(diǎn)數(shù)變化而顯著增加。由此可知,當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)達(dá)到一定數(shù)目后,增加采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)進(jìn)一步提高算法估計(jì)精度效果甚微,反而會(huì)降低算法的計(jì)算效率。4標(biāo)準(zhǔn)粒子