中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題30 正多邊形與圓、與弧長公式、扇形面積、圓錐側(cè)面積有關(guān)的計算（原卷版）

專題30正多邊形與圓、與弧長公式、扇形面積、圓錐側(cè)面積有關(guān)的計算【考查題型】【知識要點】正多邊形概念：各條邊相等，并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形。正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距?！窘忸}思路】1.正邊形半徑、邊心距和122.已知其中兩個值，第三個值可以借助勾股定理求解。正多邊形的對稱性：1）正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。2）一個正多邊形，如果有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．對稱中心就是這個正多邊的中心?！拘〗Y(jié)】正n變形的內(nèi)角為n?2×180°n，外角為3600【擴展】正多邊形常見邊心距與邊長的比值第一種正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，在Rt△BOD中，OD:BD:OB=1:3:2(圖一變式正三角形內(nèi)切圓與外切圓半徑比為1:2（圖二）第二種正方形在⊙O中四邊形是正方形，在Rt△OAE中，OE:AE:OE=1:1:2(圖三變式正方形內(nèi)切圓與外切圓半徑比為1:2第三種正六變形在⊙O中六邊形是正六邊形，在Rt△OAB，AB:OB:OA=1:3:2(圖五圖一圖二圖三圖四圖五設(shè)QUOTE的半徑為R，QUOTE圓心角所對弧長為l，弧長公式：QUOTE??=??????180l=nπR180扇形面積公式：QUOTE圓錐的側(cè)面積公式：S=12母線的概念：連接圓錐頂點和底面圓周任意一點的線段。圓錐體表面積公式：QUOTE（l為母線）【備注】1）圓錐的表面積=扇形面積=底面圓面積2）扇形的弧長為圓錐的底面圓周長2πR求陰影部分面積的幾種常見方法：1）公式法；2）割補法；3）拼湊法；4）等積變形構(gòu)造方程法；5）去重法?？疾轭}型一與正多邊形中心角有關(guān)的計算典例1．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點M在AB上，則∠CME的度數(shù)為（

A．30° B．36° C．45° D．60°變式1-1．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考中考真題）一個正多邊形的中心角為30°，這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．8 B．12 C．3 D．6變式1-2．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長等于6π，則正六邊形的邊長為（

）A． B．6 C．3 D．23變式1-3．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，若對角線AD的長約為8mm，則正六邊形ABCDEF的邊長為（

）A．2mm B．22mm C．2變式1-4．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF和正五邊形AHIJK內(nèi)接于⊙O，且有公共頂點A，則∠BOH變式1-5．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）第二十四屆北京冬奧會入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角α可以為__________度．（寫出一個即可）變式1-6．（2020·黑龍江綏化·中考真題）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點P為DE上一點（點P與點D，點E不重合），連接PC、PD，DG⊥PC，垂足為G，∠PDG變式1-7．（2020·湖南株洲·中考真題）一個蜘蛛網(wǎng)如圖所示，若多邊形ABCDEFGHI為正九邊形，其中心點為點O，點M、N分別在射線OA、OC上，則∠MON=考查題型二正多邊形與圓典例2．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B．32 C．332變式2-1．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫，如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標系中，若AB與x軸垂直，頂點A的坐標為（2，-3）．則頂點C的坐標為（

）A．(2?23,3) B．(0,1+23) 變式2-2．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個正六邊形的邊心距OM和BC的長分別為（）A．4，π3 B．3，π C．2，4π3 D．3，2π變式2-3．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣"，即通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，……．邊數(shù)越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長．再根據(jù)“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”來計算圓周率．設(shè)圓的半徑為R，圖1中圓內(nèi)接正六邊形的周長l6=6R，則π≈lA．12sin15° B．12cos15°變式2-4．（2021·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標原點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，那么經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點D的坐標為（）A．（?32，?3） B．（32，?332） C．（?3，變式2-5．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，剪去四個角后成為一個正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計的值，下面d及π的值都正確的是（

）A．d=8(2?1)sin22.5°，C．d=4(2?1)sin22.5°，變式2-6．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點的坐標是(?3,3)，則變式2-7．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=6，點M在邊AF上，且AM=2．若經(jīng)過點M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長是_____．變式2-8．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若厘米，則這個正六邊形的周長為_________厘米．變式2-9．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口b=20mm，則邊長a為_________mm．變式2-10．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）六個帶30°角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積_________．變式2-11．（2021·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的周長是24cm，連接這個六邊形的各邊中點G，H，K，L，M，N，則六邊形GHKLMN的周長是___cm．變式2-12．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點M，N；③連接AM,MN,NA．(1)求∠ABC(2)△AMN(3)從點A開始，以DN長為半徑，在⊙O上依次截取點，再依次連接這些分點，得到正n邊形，求n的值．變式2-13．（2021·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷．（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長為_____，其內(nèi)切圓的半徑長為______；（2）①如圖1，P是邊長為a的正△ABC內(nèi)任意一點，點O為△ABC的中心，設(shè)點P到△ABC各邊距離分別為?1，?2，?3，連接AP，BP，CP，由等面積法，易知12a②如圖2，P是邊長為a的正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點，設(shè)點P到五邊形ABCDE各邊距離分別為?1，?2，?3，?4，?5，參照①的探索過程，試用含a的式子表示?（3）①如圖3，已知⊙O的半徑為2，點A為⊙O外一點，OA=4，AB切⊙O于點B，弦BC//OA，連接AC，則圖中陰影部分的面積為______；（結(jié)果保留②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇ABCDEF，由于修路等原因需將花壇進行改造．若要將花壇形狀改造成五邊形ABCDG，其中點G在的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點G的位置，并說明理由．考查題型三與弧長公式有關(guān)的計算典例3．（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則BC的長為（

）A．6π B．2π C．32π D．變式3-1．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）某仿古墻上原有一個矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為2m，高為23m，則改建后門洞的圓弧長是（A．5π3m B．8π3m C．變式3-2．（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與AMB所在圓相切于點A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則AMB的長是（

）A．11πcm B．112πcm C．cm D．7變式3-3．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計）的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋB），點O是這段弧所在圓的圓心，半徑OA=90m，圓心角∠AOB=80°，則這段彎路（AB）的長度為（

A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm變式3-4（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）圓錐的底面圓半徑是1，母線長是3，它的側(cè)面展開圖的圓心角是（

）A．90° B．100° C．120° D．150°變式3-5．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，點O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過點C，且與邊AB相切于點D，交BC于點E，則劣弧DE的長是________（結(jié)果保留π）變式3-6．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐的母線AB＝6，底面半徑CB＝2，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角α＝_______．變式3-7．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點A，交邊BC于點C，D，∠B=90°，連接OD，AD．(1)若∠ACB=20°，求AD的長（結(jié)果保留π）．(2)求證：AD平分∠BDO．考查題型四與扇形面積有關(guān)的計算典例4．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長分別為半徑，圓心角∠O=120°形成的扇面，若OA=3m，OB=1.5m，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．變式4-1．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在5×6的長方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點．假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（

）A．π12 B．π24 C．10π變式4-2．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（

）A．23π?32 B． C．4變式4-3．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，將Rt△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△A'BA．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π變式4-4．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為2的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，PA，PD分別與⊙O相切于點A和點D，PD的延長線與BC的延長線交于點E，則圖中陰影部分的面積為（

A．5?π B．5?π2 C．52變式4-5．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AC和BD交于點O，過點O的直線EF交AB于點E（E不與A，B重合），交CD于點F．以點O為圓心，OC為半徑的圓交直線EF于點M，N．若AB=1，則圖中陰影部分的面積為（

）A．π8?18 B．π8?變式4-6．（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為4的正方形ABCD的對角線交于點O，以O(shè)C為半徑的扇形的圓心角∠FOH=90°變式4-7．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若一個圓錐體的底面積是其表面積的14變式4-8（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，BD⊥CE于點D，BC平分(1)求證：直線CE是⊙O(2)若∠ABC=30°,變式4-9．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ACB=60°，AD經(jīng)過圓心O交⊙O于點E，連接(1)判斷直線BD與⊙O(2)若AB=43變式4-10．（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點，過點C的圓O的切線交AB的延長線于點P，連接CA，CO，CB．(1)求證：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）．考查題型五與圓錐側(cè)面積有關(guān)的計算典例5．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）已知圓錐的母線長8cm，底面圓的直徑6cm，則這個圓錐的側(cè)面積是（

）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2變式5-1（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）用一張半圓形鐵皮，圍成一個底面半徑為4cm的圓錐形工件的側(cè)面（接縫忽略不計），則圓錐的母線長為（

A．4cm B．8cm C．12cm變式5-2．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）．“沙漏”是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm；圓柱體底面半徑是3cm，液體高是．計時結(jié)束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（

）A