中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿(mǎn)分突破（全國(guó)通用）：專(zhuān)題38 概率 （解析版）

專(zhuān)題38概率【考查題型】【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)一確定事件與隨機(jī)事件事件類(lèi)型的種類(lèi)：①必然事件：在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱(chēng)為必然事件。

②不可能事件：在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定不會(huì)發(fā)生，這些事情稱(chēng)為不可能事件。③隨機(jī)事件：在一定條件下，許多事情我們無(wú)法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，這些事情稱(chēng)為隨機(jī)事件?！緜渥ⅰ勘厝话l(fā)生的事件發(fā)生的可能性最大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小可能不同。知識(shí)點(diǎn)二頻率與概率概率的概念：某種事件在某一條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，但可以知道它發(fā)生的可能性的大小，我們把描述事件發(fā)生的可能性的大小的量叫做概率。概率的計(jì)算：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m中結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為（），其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(隨機(jī)事件)＜1.所以有：P(不可能事件)＜P(隨機(jī)事件)＜P(必然事件)。利用列舉法求概率１）直接列舉法求概率當(dāng)一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè),并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時(shí)，通常采用直接列舉法。２）列表法求概率當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法。３）樹(shù)狀圖法求概率當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)狀圖法求概率。利用頻率估計(jì)概率實(shí)際上，我們可以通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估計(jì)它的概率。用頻率估計(jì)概率，雖然不像列舉法能確切地計(jì)算出隨機(jī)事件的概率，但由于不受“各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等”的條件限制，使得可求概率的隨機(jī)事件的范圍擴(kuò)大。通常，在多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，擺動(dòng)的幅度會(huì)減小，這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為頻率的穩(wěn)定性.【注意事項(xiàng)】概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值?？疾轭}型一判斷事件類(lèi)型典例1（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）彩民李大叔購(gòu)買(mǎi)1張彩票，中獎(jiǎng)．這個(gè)事件是（

）A．必然事件 B．確定性事件 C．不可能事件 D．隨機(jī)事件【答案】D【分析】直接根據(jù)隨機(jī)事件的概念即可得出結(jié)論．【詳解】購(gòu)買(mǎi)一張彩票，結(jié)果可能為中獎(jiǎng)，也可能為不中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)與否是隨機(jī)的，即這個(gè)事件為隨機(jī)事件．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握隨機(jī)事件發(fā)生的條件，能夠靈活作出判斷．變式1-1．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）下列成語(yǔ)所描述的事件屬于不可能事件的是（

）A．水落石出 B．水漲船高 C．水滴石穿 D．水中撈月【答案】D【分析】根據(jù)不可能事件的定義：在一定條件下一定不會(huì)發(fā)生的事件是不可能事件，進(jìn)行逐一判斷即可【詳解】解：A、水落石出是必然事件，不符合題意；B、水漲船高是必然事件，不符合題意；C、水滴石穿是必然事件，不符合題意；D、水中撈月是不可能事件，符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定義是解題的關(guān)鍵．變式1-2（2022·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）下列事件中，屬于必然事件的是（

）A．拋擲硬幣時(shí)，正面朝上B．明天太陽(yáng)從東方升起C．經(jīng)過(guò)紅綠燈路口，遇到紅燈D．玩“石頭、剪刀、布”游戲時(shí)，對(duì)方出“剪刀”【答案】B【分析】根據(jù)隨機(jī)事件、必然事件的概念即可作答．【詳解】A．拋硬幣時(shí)，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是隨機(jī)事件；B．太陽(yáng)從東方升起是固定的自然規(guī)律，是不變的，故此事件是必然事件；C．經(jīng)過(guò)路口，有可能出現(xiàn)紅燈，也有可能出現(xiàn)綠燈、黃燈，故遇到紅燈是隨機(jī)事件；D．對(duì)方有可能出“剪刀”，也有可能出“石頭”、“布”，出現(xiàn)對(duì)方出“剪刀”是隨機(jī)事件．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件、必然事件的概念，充分理解隨機(jī)事件的概念是解答本題的關(guān)鍵．變式1-3（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）某醫(yī)院計(jì)劃選派護(hù)士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報(bào)名參加，其中甲是共青團(tuán)員，其余3人均是共產(chǎn)黨員．醫(yī)院決定用隨機(jī)抽取的方式確定人選．(1)“隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件；A．不可能

B．必然

C．隨機(jī)(2)若需從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的概率．【答案】(1)C(2)【分析】（1）根據(jù)隨機(jī)事件的定義即可解決問(wèn)題；（2）從甲、乙、丙、丁名護(hù)士積極報(bào)名參加，設(shè)甲是共青團(tuán)員用T表示，其余3人均是共產(chǎn)黨員用G表示，從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，然后利用樹(shù)狀圖即可解決問(wèn)題．（1）解：“隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中”是隨機(jī)事件；故答案為：C；（2）從甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報(bào)名參加，設(shè)甲是共青團(tuán)員用T表示，其余3人均是共產(chǎn)黨員用G表示．從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，如圖所示：它們出現(xiàn)的可能性相同，所有的結(jié)果中，被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的（記為事件A)的結(jié)果有6種，則，則被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率，隨機(jī)事件．解決本題的關(guān)鍵是掌握列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．考查題型二判斷事件發(fā)生可能性的大小典例2（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一張圓桌共有3個(gè)座位，甲、乙，丙3人隨機(jī)坐到這3個(gè)座位上，則甲和乙相鄰的概率為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】由圖可知，甲乙丙是彼此相鄰的，所以甲的旁邊是乙是必然事件，從而得出正確的選項(xiàng)．【詳解】解：這張圓桌的3個(gè)座位是彼此相鄰的，甲乙相鄰是必然事件，所以甲和乙相鄰的概率為1．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了求概率，解題的關(guān)鍵是判斷出該事件是必然事件．變式2-1（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）一只不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些除顏色外無(wú)其他差別，從中任意摸出3個(gè)球，下列事件是確定事件的為（

）A．至少有1個(gè)球是黑球 B．至少有1個(gè)球是白球C．至少有2個(gè)球是黑球 D．至少有2個(gè)球是白球【答案】A【分析】列出摸出的三個(gè)球的顏色的所有可能情況即可．【詳解】根據(jù)題意可得，摸出的三個(gè)球的顏色可能為：兩個(gè)白球，一個(gè)黑球；一個(gè)白球，兩個(gè)黑球；三個(gè)黑球，則可知摸出的三個(gè)球中，至少有一個(gè)黑球，故必然事件是至少有一個(gè)黑球，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．變式2-2．（2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）某校九年級(jí)選出三名同學(xué)參加學(xué)校組織的“法治和安全知識(shí)競(jìng)賽”．比賽規(guī)定，以抽簽方式?jīng)Q定每個(gè)人的出場(chǎng)順序，主持人將表示出場(chǎng)順序的數(shù)字1，2，3分別寫(xiě)在3張同樣的紙條上，并將這些紙條放在一個(gè)不透明的盒子中，攪勻后從中任意抽出一張，小星第一個(gè)抽，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．小星抽到數(shù)字1的可能性最小 B．小星抽到數(shù)字2的可能性最大C．小星抽到數(shù)字3的可能性最大 D．小星抽到每個(gè)數(shù)的可能性相同【答案】D【分析】算出每種情況的概率，即可判斷事件可能性的大?。驹斀狻拷猓好總€(gè)數(shù)字抽到的概率都為：，故小星抽到每個(gè)數(shù)的可能性相同．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用概率公式求概率，正確應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵．考查題型三根據(jù)概率公式計(jì)算概率典例3（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）書(shū)架上有2本數(shù)學(xué)書(shū)、1本物理書(shū)．從中任取1本書(shū)是物理書(shū)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)概率公式直接求概率即可；【詳解】解：一共有3本書(shū)，從中任取1本書(shū)共有3種結(jié)果，選中的書(shū)是物理書(shū)的結(jié)果有1種，∴從中任取1本書(shū)是物理書(shū)的概率=.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，掌握概率=所求事件的結(jié)果數(shù)÷總的結(jié)果數(shù)是解題關(guān)鍵．變式3-1（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）從下列一組數(shù)﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】找出題目給的數(shù)中的負(fù)數(shù)，用負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)除以總的個(gè)數(shù)，求出概率即可．【詳解】∵數(shù)﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中，一共有6個(gè)數(shù)，其中﹣2，﹣，﹣0.12，﹣為負(fù)數(shù)，有4個(gè)，∴這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)的概率為，故答案選：B．【點(diǎn)睛】本題考查負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)，概率計(jì)算公式，正確找出負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．變式3-2（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）不透明袋中裝有除顏色外完全相同的個(gè)白球、個(gè)紅球，則任意摸出一個(gè)球是紅球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)概率公式直接求解即可．【詳解】共有個(gè)球，其中紅球b個(gè)從中任意摸出一球，摸出紅球的概率是．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單概率公式的計(jì)算，熟悉概率公式是解題的關(guān)鍵．變式3-3（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）無(wú)色酚酞溶液是一中常見(jiàn)常用酸堿指示劑，廣泛應(yīng)用于檢驗(yàn)溶液酸堿性，通常情況下酚酞溶液遇酸溶液不變色，遇中性溶液也不變色，遇堿溶液變紅色．現(xiàn)有5瓶缺失標(biāo)簽的無(wú)色液體：蒸餾水、白醋溶液、食用堿溶液、檸檬水溶液、火堿溶液，將酚酞試劑滴入任意一瓶液體后呈現(xiàn)紅色的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：∵酚酞溶液遇酸溶液不變色，遇中性溶液也不變色，遇堿溶液變紅色，∵總共有5種溶液，其中堿性溶液有2種，∴將酚酞試劑滴入任意一瓶液體后呈現(xiàn)紅色的概率是：．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了概率的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握概率的求解方法．變式3-4（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，任意將圖中的某一白色方塊涂黑后，能使所有黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，結(jié)合概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：如圖所示，由軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義可知當(dāng)選取編號(hào)為1，3，5，6其中一個(gè)白色區(qū)域涂黑后，能使黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，∴任意將圖中的某一白色方塊涂黑后，能使所有黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形的概率是，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，熟知軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義是解題的關(guān)鍵．考查題型四根據(jù)概率求數(shù)量典例4（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)不透明的箱子中有5個(gè)紅球和若干個(gè)黃球，除顏色外無(wú)其它差別.若任意摸出一個(gè)球，摸出紅球的概率為，則這個(gè)箱子中黃球的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____個(gè)．【答案】15【分析】設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)概率計(jì)算公式列出方程，解出x即可．【詳解】解：設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，解得：，檢驗(yàn)：將代入，值不為零，∴是方程的解，∴黃球的個(gè)數(shù)為15個(gè)，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查概率計(jì)算公式，根據(jù)題意列出分式方程并檢驗(yàn)是解答本題的關(guān)鍵．變式4-1（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)不透明的口袋中裝有5個(gè)紅球和個(gè)黃球，這些球除顏色外都相同，某同學(xué)進(jìn)行了如下試驗(yàn)：從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球記下它的顏色后，放回?fù)u勻，為一次摸球試驗(yàn)．根據(jù)記錄在下表中的摸球試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以估計(jì)出的值為_(kāi)________．摸球的總次數(shù)10050010002000…摸出紅球的次數(shù)19101199400…摸出紅球的頻率0.1900.2020.1990.200…【答案】20【分析】利用大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率求解即可．【詳解】解：∵通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.2，∴＝0.2，解得：m＝20．經(jīng)檢驗(yàn)m＝20是原方程的解，故答案為：20．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率和解分式方程，本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)摸出紅球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．變式4-2（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)袋中裝有m個(gè)紅球，10個(gè)黃球，n個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同，任意摸出一個(gè)球，摸到黃球的概率與不是黃球的概率相同，那么m與n的關(guān)系是________．【答案】m+n＝10．【分析】直接利用概率相同的頻數(shù)相同進(jìn)而得出答案．【詳解】∵一個(gè)袋中裝有m個(gè)紅球，10個(gè)黃球，n個(gè)白球，摸到黃球的概率與不是黃球的概率相同，∴m與n的關(guān)系是：m+n＝10．故答案為m+n＝10．【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率公式，正確理解概率求法是解題關(guān)鍵．考查題型五幾何概率典例5（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在的長(zhǎng)方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點(diǎn)．假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒(méi)有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．【詳解】解：由圖可知，總面積為：5×6=30，，∴陰影部分面積為：，∴飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來(lái)，一般用陰影區(qū)域表示所求事件；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件發(fā)生的概率．變式5-1（2022·遼寧朝陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的是由8個(gè)全等的小正方形組成的圖案，假設(shè)可以隨意在圖中取一點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)陰影部分的面積所占比例得出概率即可．【詳解】解：由圖知，陰影部分的面積占圖案面積的，即這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概率的知識(shí)，熟練根據(jù)幾何圖形的面積得出概率是解題的關(guān)鍵．變式5-2（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤(pán)上，若飛鏢落在鏢盤(pán)上各點(diǎn)的機(jī)會(huì)相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，將陰影部分分割成圖形中的小三角形，令小三角形的面積為a，分別表示出陰影部分的面積和正六邊形的面積，根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得：圖中每個(gè)小三角形的面積都相等，設(shè)每個(gè)小三角形的面積為a，則陰影的面積為6a，正六邊形的面積為18a，∴將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤(pán)上，飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概率，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到圖中每個(gè)小三角形的面積都相等是解題的關(guān)鍵．變式5-3（2021·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）以下轉(zhuǎn)盤(pán)分別被分成2個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)面積相等的扇形，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這4個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)各1次．已知某轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針落在陰影區(qū)域的概率是，則對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)盤(pán)是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)概率公式求出每個(gè)選項(xiàng)的概率，即可得到答案．【詳解】解：A．指針落在陰影區(qū)域的概率是，B．指針落在陰影區(qū)域的概率是，C．指針落在陰影區(qū)域的概率是，D．指針落在陰影區(qū)域的概率是，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概率，熟練掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵．變式5-4（2021·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體表面涂上顏色，再把它分割成棱長(zhǎng)為1的小正方體，將它們?nèi)糠湃胍粋€(gè)不透明盒子中搖勻，隨機(jī)取出一個(gè)小正方體，只有一個(gè)面被涂色的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由在27個(gè)小正方體中選一個(gè)正方體，共有27種結(jié)果，滿(mǎn)足條件的事件是取出的小正方體表面只有一個(gè)面涂有顏色，有6種結(jié)果，根據(jù)幾何概率及其概率的計(jì)算公式，即可求解．【詳解】解：解：由題意，在一個(gè)棱長(zhǎng)為3cm的正方體的表面涂上顏色，將其分割成27個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的小正方體，在27個(gè)小正方體中，恰好有三個(gè)面都涂色有顏色的共有8個(gè)，恰好有兩個(gè)都涂有顏色的共12個(gè)，恰好有一個(gè)面都涂有顏色的共6個(gè)，表面沒(méi)涂顏色的1個(gè)，可得試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從27個(gè)小正方體中選一個(gè)正方體，共有27種結(jié)果，滿(mǎn)足條件的事件是取出的小正方體表面有一個(gè)面都涂色，有6種結(jié)果，所以所求概率為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率的計(jì)算，涉及正方體的幾何結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題．變式5-5（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知⊙是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓．現(xiàn)假設(shè)可以隨意在圖中取點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是_________．【答案】【分析】如圖，設(shè)OA=a，則OB=OC=a，根據(jù)正方形內(nèi)接圓和外接圓的關(guān)系，求出大正方形、小正方形和圓的面積，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，設(shè)OA=a，則OB=OC=a，由正方形的性質(zhì)可知∠AOB=90°，，由正方形的性質(zhì)可得CD=CE=OC=a，∴DE=2a，S陰影=S圓-S小正方形=，S大正方形=，∴這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式、正方形的性質(zhì)、正方形外接圓和內(nèi)切圓的特點(diǎn)、圓的面積計(jì)算，根據(jù)題意弄清楚圖形之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考查題型六列舉法求概率典例6（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）隨著信息化的發(fā)展，二維碼已經(jīng)走進(jìn)我們的日常生活，其圖案主要由黑、白兩種小正方形組成．現(xiàn)對(duì)由三個(gè)小正方形組成的“”進(jìn)行涂色，每個(gè)小正方形隨機(jī)涂成黑色或白色，恰好是兩個(gè)黑色小正方形和一個(gè)白色小正方形的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】列出所有可能的情況，找出符合題意的情況，利用概率公式即可求解．【詳解】解：對(duì)每個(gè)小正方形隨機(jī)涂成黑色或白色的情況，如圖所示，共有8種情況，其中恰好是兩個(gè)黑色小正方形和一個(gè)白色小正方形情況有3種，∴恰好是兩個(gè)黑色小正方形和一個(gè)白色小正方形的概率為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了用列舉法求概率，能一個(gè)不漏的列舉出所有可能的情況是解題的關(guān)鍵．變式6-1（2022·廣西貴港·中考真題）從，，2這三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則該點(diǎn)落在第三象限的概率是___．【答案】【分析】列舉出所有情況，看在第三象限的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．【詳解】解：∵從，，2這三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，∴所有的點(diǎn)為：（，），（，2），（，2），（，），（2，），（2，），共6個(gè)點(diǎn)；在第三象限的點(diǎn)有（，），（，），共2個(gè)；∴該點(diǎn)落在第三象限的概率是；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列舉法求概率，解題的關(guān)鍵是正確的列出所有可能的點(diǎn)，以及在第三象限上的點(diǎn)，再由概率公式進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．考查題型七列表法求概率典例7（2022·山西·中考真題）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國(guó)際氣象界普為“中國(guó)第五大發(fā)明”，小文購(gòu)買(mǎi)了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂(lè)．小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），讓小樂(lè)從中隨機(jī)抽取一張（不放回），再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，則小樂(lè)抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：將“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的圖片分別記為A、B、C、D．根據(jù)題意，列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）由表格可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是“立春”和“立夏”的結(jié)果有2種，故其概率為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．變式7-1（2022·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）為做好疫情防控工作，某學(xué)校門(mén)口設(shè)置了，兩條體溫快速檢測(cè)通道，該校同學(xué)王明和李強(qiáng)均從通道入校的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先列表得到所有的等可能的結(jié)果數(shù)，以及符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即即可．【詳解】解：列表如下：ABAA，AA，BBB，AB，B所以所有的等可能的結(jié)果數(shù)有4種，符合條件的結(jié)果數(shù)有1種，所以該校同學(xué)王明和李強(qiáng)均從通道入校的概率是故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是利用列表的方法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求解簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，掌握“列表的方法求概率”是解本題的關(guān)鍵．變式7-2（2022·遼寧朝陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）某社區(qū)組織A，B，C，D四個(gè)小區(qū)的居民進(jìn)行核酸檢測(cè)，有很多志愿者參與此項(xiàng)檢測(cè)工作，志愿者王明和李麗分別被隨機(jī)安排到這四個(gè)小區(qū)中的一個(gè)小區(qū)組織居民排隊(duì)等候．(1)王明被安排到A小區(qū)進(jìn)行服務(wù)的概率是．(2)請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求出王明和李麗被安排到同一個(gè)小區(qū)工作的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】（1）解：王明被安排到A小區(qū)進(jìn)行服務(wù)的概率是，故答案為：；（2）列表如下：A，B，C，D表示四個(gè)小區(qū)，ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表知，共有16種等可能結(jié)果，其中王明和李麗被安排到同一個(gè)小區(qū)工作的有4種結(jié)果，所以王明和李麗被安排到同一個(gè)小區(qū)工作的概率為．【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式7-3（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）從甲、乙、丙、丁4名學(xué)生中選2名學(xué)生參加一次乒乓球單打比賽，求下列事件發(fā)生的概率．(1)甲一定參加比賽，再?gòu)钠溆?名學(xué)生中任意選取1名，恰好選中丙的概率是；(2)任意選取2名學(xué)生參加比賽，求一定有乙的概率．（用樹(shù)狀圖或列表的方法求解）．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用例舉法例舉所有的等可能的情況數(shù)，再利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先列表得到所有的等可能的情況數(shù)以及符合條件的情況數(shù)，再利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由甲一定參加比賽，再?gòu)钠溆?名學(xué)生中任意選取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三種等可能，符合條件的情況數(shù)有1種，∴甲一定參加比賽，再?gòu)钠溆?名學(xué)生中任意選取1名，恰好選中丙的概率是（2）列表如下：甲乙丙丁甲甲、乙甲、丙甲、丁乙乙、甲乙、丙乙、丁丙丙、甲丙、乙丙、丁丁丁、甲丁、乙丁、丙所有所有的等可能的情況數(shù)有12種，符合條件的情況數(shù)有6種，所以一定有乙的概率為：【點(diǎn)睛】本題考查的是利用例舉法，列表的方法求解簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，概率公式的應(yīng)用，掌握“例舉法與列表法求解概率”是解本題的關(guān)鍵．變式7-4（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）2022年3月23日下午，“天宮課堂”第二課開(kāi)講，航天員翟志剛、王亞平、葉光富相互配合進(jìn)行授課，激發(fā)了同學(xué)們學(xué)習(xí)航天知識(shí)的熱情．小冰和小雪參加航天知識(shí)競(jìng)賽時(shí)，均獲得了一等獎(jiǎng)，學(xué)校想請(qǐng)一位同學(xué)作為代表分享獲獎(jiǎng)心得．小冰和小雪都想分享，于是兩人決定一起做游戲，誰(shuí)獲勝誰(shuí)分享，游戲規(guī)則如下：甲口袋裝有編號(hào)為1，2的兩個(gè)球，乙口袋裝有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球，兩口袋中的球除編號(hào)外都相同．小冰先從甲口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，小雪再?gòu)囊铱诖须S機(jī)摸出一個(gè)球，若兩球編號(hào)之和為奇數(shù)，則小冰獲勝；若兩球編號(hào)之和為偶數(shù)，則小雪獲勝．請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，說(shuō)明這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平．【答案】游戲?qū)﹄p方都公平【分析】根據(jù)題意列表求得雙方的概率即可求解．【詳解】解：所有可能的結(jié)果如下：

乙甲1234512∴共有10種等可能的結(jié)果，其中兩球編號(hào)之和為奇數(shù)的有5種結(jié)果，兩球編號(hào)之和為偶數(shù)的有5種結(jié)果．∴P（小冰獲勝）P（小雪獲勝）∵P（小冰獲勝）=P（小雪獲勝）∴游戲?qū)﹄p方都公平．【點(diǎn)睛】本題考查了游戲的公平性，列表法求概率，掌握求概率的方法是解題的關(guān)鍵．考查題型八樹(shù)狀圖法求概率典例8（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個(gè)，除顏色外兩個(gè)小球無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與第一次摸到紅球，第二次摸到綠球的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖得：∵共有4種等可能的結(jié)果，第一次摸到紅球，第二次摸到綠球有1種情況，∴第一次摸到紅球，第二次摸到綠球的概率為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)樹(shù)狀法或列表法求概率，列出所有等可能的結(jié)果是解決本題的關(guān)鍵．變式8-1（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）班長(zhǎng)邀請(qǐng)，，，四位同學(xué)參加圓桌會(huì)議．如圖，班長(zhǎng)坐在⑤號(hào)座位，四位同學(xué)隨機(jī)坐在①②③④四個(gè)座位，則，兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用樹(shù)狀圖法，確定所有可能情況數(shù)和滿(mǎn)足題意的情況數(shù)，最后運(yùn)用概率公式解答即可.【詳解】解：根據(jù)題意列樹(shù)狀圖如下：由上表可知共有12中可能，滿(mǎn)足題意的情況數(shù)為6種則，兩位同學(xué)座位相鄰的概率是.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫(huà)樹(shù)狀圖求概率，正確畫(huà)出樹(shù)狀圖成為解答本題的關(guān)鍵.變式8-2（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的電路圖，同時(shí)閉合兩個(gè)開(kāi)關(guān)能形成閉合電路的概率是（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中同時(shí)閉合兩個(gè)開(kāi)關(guān)能形成閉合電路的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把S1、S2、S3分別記為A、B、C，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中同時(shí)閉合兩個(gè)開(kāi)關(guān)能形成閉合電路的結(jié)果有4種，即AB、AC、BA、CA，∴同時(shí)閉合兩個(gè)開(kāi)關(guān)能形成閉合電路的概率為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，列出樹(shù)狀圖是解題的關(guān)鍵．變式8-3（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）一只不透明的袋子中裝有3個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的乒乓球，球面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3，攪勻后先從袋子中任意摸出1個(gè)球，記下數(shù)字后放回，攪勻后再?gòu)拇又腥我饷?個(gè)球，記下數(shù)字．(1)第一次摸到標(biāo)有偶數(shù)的乒乓球的概率是______；(2)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表等方法求兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率．【答案】(1)(2)兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率為【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：∵袋中共有3個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3的小球，數(shù)字2為偶數(shù)，∴第一次摸到標(biāo)有偶數(shù)的乒乓球的概率是故答案為：.（2）解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的結(jié)果有：，共4種，∴兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法，熟練掌握列表法與樹(shù)狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．變式8-4（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）“石頭、剪子、布”是一個(gè)廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢(shì)中的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢(shì)相同不分輸贏．假設(shè)甲、乙兩人每次都隨意并且同時(shí)做出3種手勢(shì)中的1種．(1)甲每次做出“石頭”手勢(shì)的概率為_(kāi)________；(2)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求乙不輸?shù)母怕剩敬鸢浮?1)(2)見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可；（2）先畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有的等可能性的結(jié)果數(shù)，然后找到乙不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù)，最后利用概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】（1）解：∵甲每次做出的手勢(shì)只有“石頭”、“剪子”、“布”其中的一種，∴甲每次做出“石頭”手勢(shì)的概率為；（2）解：樹(shù)狀圖如圖所示：甲、乙兩人同時(shí)做出手勢(shì)共有9種等可能結(jié)果，其中乙不輸?shù)墓灿?種，∴（乙不輸）．答：乙不輸?shù)母怕适牵军c(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，利用列表法或樹(shù)狀圖法求解概率，熟知概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．考查題型九游戲公平性典例9（2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題）為踐行青島市中小學(xué)生“十個(gè)一”行動(dòng)，某校舉行文藝表演，小靜和小麗想合唱一首歌．小靜想唱《紅旗飄飄》，而小麗想唱《大海啊，故鄉(xiāng)》．她們想通過(guò)做游戲的方式來(lái)決定合唱哪一首歌，于是一起設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲：下面是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，每個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被分成面積相等的幾個(gè)扇形．同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，若兩個(gè)指針指向的數(shù)字之積小于4，則合唱《大海啊，故鄉(xiāng)》，否則合唱《紅旗飄飄》；若指針剛好落在分割線(xiàn)上，則需要重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)．請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)游戲是否公平．【答案】不公平，見(jiàn)解析【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與數(shù)字之積小于4的情況，再利用概率公式求出合唱《大海啊，故鄉(xiāng)》和合唱《紅旗飄飄》的概率，然后進(jìn)行比較，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖如下：∵共有12種等可能的結(jié)果，其中數(shù)字之積小于4的有5種結(jié)果，∴合唱《大海啊，故鄉(xiāng)》的概率是，∴合唱《紅旗飄飄》的概率是，∵，∴游戲不公平．【點(diǎn)睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．變式9-1（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）現(xiàn)有A，B兩個(gè)不透明的袋子，A袋的4個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4；B袋的3個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3．（每個(gè)袋中的小球除數(shù)字外，其它完全相同．）（1）從A，B兩個(gè)袋中各隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩個(gè)小球上數(shù)字相同的概率是；（2）甲、乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則是：甲從A袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，乙從B袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，若甲、乙兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)，則甲勝；否則乙勝，用列表或樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)規(guī)則對(duì)甲、乙兩人是否公平．【答案】（1）；（2）這個(gè)規(guī)則對(duì)甲、乙兩人是公平的，理由見(jiàn)解析【分析】（1）畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到兩個(gè)數(shù)字相同的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)和偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算出甲、乙獲勝的概率即可得出答案．【詳解】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：共有12個(gè)等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)數(shù)字相同的結(jié)果有3個(gè)，∴兩個(gè)小球上數(shù)字相同的概率是＝，故答案為：；（2）這個(gè)規(guī)則對(duì)甲、乙兩人是公平的．畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)有6種，兩人摸到小球的數(shù)字之和為偶數(shù)的也有6種，∴P甲獲勝＝P乙獲勝＝，∴此游戲?qū)﹄p方是公平的．【點(diǎn)睛】本題考查的是游戲公平性以及列表法與樹(shù)狀圖法．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．變式9-（2021·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)只有顏色不同的小球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)白球，搖勻后從中一次性摸出兩個(gè)小球．（1）請(qǐng)用列表格或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法列出所有可能性；（2）若摸到兩個(gè)小球的顏色相同，甲獲勝；摸到兩個(gè)小球顏色不同，乙獲勝．這個(gè)游戲?qū)?、乙雙方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）這個(gè)游戲?qū)住⒁译p方不公平，明顯乙獲勝的概率更高【分析】（1）列表格列出所有可能性；（2）分別求出甲乙獲勝的情況個(gè)數(shù)后比較大小即可．【詳解】（1）所有可能性如下表：

甲乙紅1紅2白1白2紅1（紅，紅）（白，紅）（白，紅）紅2（紅，紅）（白，紅）（白，紅）白1（紅，白）（紅，白）（白，白）白2（紅，白）（紅，白）（白，白）總共12種情況．（2）摸到兩個(gè)小球的顏色相同有4種，摸到兩個(gè)小球顏色不同有8種∴甲獲勝概率=，乙獲勝概率=∴這個(gè)游戲?qū)?、乙雙方不公平，明顯乙獲勝的概率更高．【點(diǎn)睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)人取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．考查題型十用頻率估計(jì)概率典例10（2021·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）在一次心理健康教育活動(dòng)中，張老師隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行了心理健康測(cè)試，并將測(cè)試結(jié)果按“健康、亞健康、不健康”繪制成下列表格，其中測(cè)試結(jié)果為“健康”的頻率是（

）．類(lèi)型健康亞健康不健康數(shù)據(jù)（人）3271A．32 B．7 C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題意，根據(jù)頻率的定義計(jì)算，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，得測(cè)試結(jié)果為“健康”的頻率是故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了抽樣調(diào)查的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握頻率的性質(zhì)，從而完成求解．變式10-1（2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題）在一個(gè)不透明的袋中裝有若干個(gè)紅球和4個(gè)黑球，每個(gè)球除顏色外完全相同．搖勻后從中摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中．不斷重復(fù)這一過(guò)程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)是__________．【答案】6【分析】估計(jì)利用頻率估計(jì)概率可估計(jì)摸到黑球的概率為，然后根據(jù)概率公式構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：設(shè)袋中紅球的個(gè)數(shù)是x個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：x=6，經(jīng)檢驗(yàn)：x=6是分式方程的解，即估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)是6個(gè)．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，解題的關(guān)鍵是熟練掌握大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨試驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．變式10-2（2021·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）社團(tuán)課上，同學(xué)們進(jìn)行了“摸球游戲”：在一個(gè)不透明的盒子里裝有幾十個(gè)除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過(guò)程．整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖象如圖所示，經(jīng)分析可以推斷盒子里個(gè)數(shù)比較多的是___________（填“黑球”或“白球”）．【答案】白球【分析】利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，確定摸出黑球的概率，由此得到答案．【詳解】解：由圖可知：摸出黑球的頻率是0.2，根據(jù)頻率估計(jì)概率的知識(shí)可得，摸一次摸到黑球的概率為0.2，∴可以推斷盒子里個(gè)數(shù)比較多的是白球，故答案為：白球．【點(diǎn)睛】此題考查利用頻率估計(jì)概率，正確理解圖象的意義是解題的關(guān)鍵．變式10-3（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)口袋中有紅球、白球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過(guò)程，共摸了300次球，發(fā)現(xiàn)有120次摸到紅球，則這個(gè)口袋中紅球的個(gè)數(shù)約為_(kāi)___．【答案】8【分析】估計(jì)利用頻率估計(jì)概率可估計(jì)摸到紅球的概率為0.4，然后根據(jù)概率公式計(jì)算這個(gè)口袋中紅球的數(shù)量．【詳解】解：因?yàn)楣裁?00次球，發(fā)現(xiàn)有120次摸到紅球，所以估計(jì)摸到紅球的概率為0.4，所以估計(jì)這個(gè)口袋中紅球的數(shù)量為20×0.4＝8（個(gè)）．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率，用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．變式10-4（2021·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）“網(wǎng)紅”長(zhǎng)沙入選2021年“五一”假期熱門(mén)旅游城市．本市某景點(diǎn)為吸引游客，設(shè)置了一種游戲，其規(guī)則如下：凡參與游戲的游客從一個(gè)裝有12個(gè)紅球和若干個(gè)白球（每個(gè)球除顏色外，其他都相同）的不透明紙箱中，隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到紅球就可免費(fèi)得到一個(gè)景點(diǎn)吉祥物．據(jù)統(tǒng)計(jì)參與這種游戲的游客共有60000人，景點(diǎn)一共為參與該游戲的游客免費(fèi)發(fā)放了景點(diǎn)吉祥物15000個(gè)．（1）求參與該游戲可免費(fèi)得到景點(diǎn)吉祥物的頻率；（2）請(qǐng)你估計(jì)紙箱中白球的數(shù)量接近多少？【答案】（1）；（2）紙箱中白球的數(shù)量接近36個(gè)．【分析】（1）利用免費(fèi)發(fā)放的景點(diǎn)吉祥物數(shù)量除以參與這種游戲的游客人數(shù)即可得；（2）設(shè)紙箱中白球的數(shù)量為個(gè)，先利用頻率估計(jì)概率可得隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率，再利用概率公式列出方程，解方程即可得．【詳解】解：（