中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之考點(diǎn)題型全歸納與分層精練（全國通用）：專題13 二次函數(shù)(原卷版)

專題13二次函數(shù)【專題目錄】技巧1：二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的六種關(guān)系技巧2：二次函數(shù)圖像信息題的四種常見類型技巧3：求二次函數(shù)表達(dá)式的常見類型【題型】一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)【題型】二、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系【題型】三、二次函數(shù)的對(duì)稱性【題型】四、二次函數(shù)的最值【題型】五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【題型】六、二次函數(shù)平移問題【題型】七、二次函數(shù)解決實(shí)際問題【考綱要求】1、理解二次函數(shù)的有關(guān)概念，會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)．2、會(huì)根據(jù)公式確定圖象的頂點(diǎn)、開口方向和對(duì)稱軸，并能掌握二次函數(shù)圖象的平移．3、熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法，并能用它解決有關(guān)的實(shí)際問題．【考點(diǎn)總結(jié)】一、二次函數(shù)二次函數(shù)二次函數(shù)的概念一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．注意：(1)二次項(xiàng)系數(shù)a≠0；(2)ax2＋bx＋c必須是整式；(3)一次項(xiàng)可以為零，常數(shù)項(xiàng)也可以為零，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)可以同時(shí)為零；(4)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)．二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)圖象(a＞0)(a＜0)開口方向開口向上開口向下對(duì)稱軸直線x＝－eq\f(b,2a)直線x＝－eq\f(b,2a)頂點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))增減性當(dāng)x＜－eq\f(b,2a)時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＞－eq\f(b,2a)時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x＜－eq\f(b,2a)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞－eq\f(b,2a)時(shí)，y隨x的增大而減小最值當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時(shí)，y有最小值eq\f(4ac－b2,4a)當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時(shí)，y有最大值eq\f(4ac－b2,4a)【考點(diǎn)總結(jié)】二、二次函數(shù)的性質(zhì)1、拋物線的頂點(diǎn)式，對(duì)稱軸是平行于軸的直線。2、當(dāng)時(shí)，拋物線在軸的上方（除頂點(diǎn)外），它的開口向上，并且向上無限伸展；當(dāng)時(shí)，拋物線在軸的下方（除頂點(diǎn)外），它的開口向下，并且向下無限伸展。3、當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸（）的左側(cè)，隨著的增大而減??；在對(duì)稱軸（）的右側(cè)，隨著的增大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值最?。ㄊ?）；當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸（）的左側(cè)，隨著的增大而增大；在對(duì)稱軸（）的右側(cè)，隨著的增大而減小；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值最大（是0）。4、二次函數(shù)與的圖像形狀相同，可以看作是拋物線整體沿軸平移了個(gè)單位（當(dāng)時(shí)，向右平移個(gè)單位；當(dāng)時(shí)，向左平移個(gè)單位）得到的?！究键c(diǎn)總結(jié)】三、二次函數(shù)與的關(guān)系二次函數(shù)與的關(guān)系一般地，由的圖像便可得到二次函數(shù)的圖像：的圖像可以看成先沿軸整體左（右）平移了個(gè)單位（當(dāng)時(shí)，向右平移個(gè)單位；當(dāng)時(shí)，向左平移個(gè)單位），再沿軸整體上（下）平移了個(gè)單位（當(dāng)時(shí)，向上平移個(gè)單位；當(dāng)時(shí)，向下平移個(gè)單位）。因此，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)與的值有關(guān)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸直線直線位置由和的符號(hào)確定由和的符號(hào)確定開口方向向上向下增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，隨著的增大而減小；在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨著的增大而增大。在對(duì)稱軸的左側(cè)，隨著的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨著的增大而減小。最值當(dāng)時(shí)，最小值為當(dāng)時(shí)，最大值為開口大小|a|越大,開口越小，|a|越小,開口越大。【注意】二次函數(shù)ax2+bx+c=0①a決定開口方向及開口大小，這與y=ax2中的a完全一樣.a>0時(shí)，拋物線開口向上；a<0時(shí)，拋物線開口向下；a的絕對(duì)值越大，開口越小.②b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線，故：A.b=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；B.>0（即a,b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；C.<0（即a,b異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè).(口訣:“左同右異”）【技巧歸納】技巧1：二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的六種關(guān)系【類型】一、a與圖像的關(guān)系1．如圖，四個(gè)函數(shù)的圖像分別對(duì)應(yīng)的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，則a，b，c，d的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＞b＞c＞dB．a(chǎn)＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞dD．b＞a＞d＞c【類型】二、b與圖像的關(guān)系2．若二次函數(shù)y＝3x2＋(b－3)x－4的圖像如圖所示，則b的值是()A．－5B．0C．3D．43．當(dāng)拋物線y＝x2－nx＋2的對(duì)稱軸是y軸時(shí)，n______0；當(dāng)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)時(shí)，n______0；當(dāng)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)時(shí)，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”)【類型】三、c與圖像的關(guān)系4．下列拋物線可能是y＝ax2＋bx的圖像的是()5．若將拋物線y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4個(gè)單位長度后得到的圖像如圖所示，則c＝________．【類型】四、a，b與圖像的關(guān)系6．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，則下列說法中不正確的是()A．a(chǎn)＞0B．b＜0C．3a＋b＞0D．b＞－2a【類型】五、a，c與圖像的關(guān)系7．二次函數(shù)y＝(3－m)x2－x＋n＋5的圖像如圖所示，試求eq\r(（m－3）2)＋eq\r(n2)－|m＋n|的值．【類型】六、b，c與圖像的關(guān)系8．【中考·六盤水】已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則()A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0D．b＜0，c＞0【類型】七、a，b，c與圖像的關(guān)系9．在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，則符合條件的圖像是()10．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，給出以下四個(gè)結(jié)論：①abc＝0，②a＋b＋c＞0，③a＞b，④4ac－b2＜0.其中正確的結(jié)論有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)技巧2：二次函數(shù)圖像信息題的四種常見類型【類型】一、根據(jù)拋物線的特征確定a，b，c及與其有關(guān)的代數(shù)式的符號(hào)1．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝OC.則下列結(jié)論：①abc＜0；②eq\f(b2－4ac,4a)＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－eq\f(c,a).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．4B．3C．2D．1【類型】二、利用二次函數(shù)的圖像比較大小2．二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖像如圖，若點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函數(shù)圖像上，且x1<x2<1，則y1與y2的大小關(guān)系是()A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2【類型】三、利用二次函數(shù)的圖像求方程的解或不等式的解集3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像如圖所示，則當(dāng)函數(shù)值y＞0時(shí)，x的取值范圍是()A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞34．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋3的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________．【類型】四、根據(jù)拋物線的特征確定其他函數(shù)的圖像5．二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖像如圖所示，那么一次函數(shù)y＝ax＋b的圖像大致是()6．如圖，A(－1，0)，B(2，－3)兩點(diǎn)在一次函數(shù)y1＝－x＋m與二次函數(shù)y2＝ax2＋bx－3的圖像上．(1)求m的值和二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)設(shè)二次函數(shù)的圖像交y軸于點(diǎn)C，求△ABC的面積．技巧3：求二次函數(shù)表達(dá)式的常見類型【類型】一、由函數(shù)的基本形式求表達(dá)式題型1：利用一般式求二次函數(shù)表達(dá)式1．已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像與y軸交于點(diǎn)C(0，－6)，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是A(－2，0)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)將二次函數(shù)的圖像沿x軸向左平移eq\f(5,2)個(gè)單位長度，當(dāng)y<0時(shí)，求x的取值范圍．題型2：利用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)表達(dá)式2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，當(dāng)x＝1時(shí)，有最大值8，其圖像的形狀、開口方向與拋物線y＝－2x2相同，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是()A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8D．y＝－2x2＋4x＋63．已知某個(gè)二次函數(shù)的最大值是2，圖像頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上，并且圖像經(jīng)過點(diǎn)(3，－6)．求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．題型3：利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)表達(dá)式4．已知拋物線與x軸交于A(1，0)，B(－4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且AB＝BC，求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．題型4：利用平移法求二次函數(shù)表達(dá)式5．把二次函數(shù)y＝2x2的圖像向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度，平移后拋物線的表達(dá)式是___________．6．已知y＝x2＋bx＋c的圖像向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，得到的圖像的表達(dá)式為y＝x2－2x－3.(1)b＝________，c＝________；(2)求原函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)求兩個(gè)圖像頂點(diǎn)之間的距離．題型5：利用對(duì)稱軸法求二次函數(shù)表達(dá)式7．如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c的對(duì)稱軸為直線x＝1，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(3，0)，那么它對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是________________．8．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝－eq\f(1,2).(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)M是線段AB上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△MBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．題型6：靈活運(yùn)用方法求二次函數(shù)的表達(dá)式9．已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，4)，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【類型】二、由函數(shù)圖像中的信息求表達(dá)式10．如圖，是某個(gè)二次函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可知，該二次函數(shù)的表達(dá)式是()A．y＝x2－x－2B．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋2C．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋1D．y＝－x2＋x＋211．某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等．如圖中的折線ABD，線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y1(單位：元)，銷售價(jià)y2(單位：元)與產(chǎn)量x(單位：kg)之間的函數(shù)關(guān)系．(1)請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義；(2)求線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí)，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【類型】三、由表格信息求表達(dá)式12．若y＝ax2＋bx＋c，則由表格中信息可知y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是()x－101ax21ax2＋bx＋c83A.y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3D．y＝x2－4x＋813．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)自變量x和函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x…－eq\f(3,2)－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)…y…－eq\f(5,4)－2－eq\f(9,4)－2－eq\f(5,4)0eq\f(7,4)…則該二次函數(shù)的表達(dá)式為______________．【類型】四、幾何應(yīng)用中求二次函數(shù)的表達(dá)式14．某校校園內(nèi)有一個(gè)大正方形花壇，如圖甲所示，它由四個(gè)邊長為3米的小正方形組成，且每個(gè)小正方形的種植方案相同．其中的一個(gè)小正方形ABCD如圖乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五邊形EFBCG區(qū)域上種植花卉，則大正方形花壇種植花卉的面積y與x的函數(shù)圖像大致是()【類型】五、實(shí)際問題中求二次函數(shù)表達(dá)式15．在美化校園的活動(dòng)中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩墻足夠長)，用28m長的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD(籬笆只圍AB，BC兩邊)，設(shè)AB＝xm，花園的面積為Sm2.(1)求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界，不考慮樹的粗細(xì))，求花園面積的最大值．【題型講解】【題型】一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)例1、二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．若，是圖象上的兩點(diǎn)，則B．C．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小【題型】二、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系例2、如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)（4，0），其對(duì)稱軸為直線x＝1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型】三、二次函數(shù)的對(duì)稱性例3、拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線，其部分圖象如圖所示，則此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【題型】四、二次函數(shù)的最值例4、點(diǎn)P(m，n)在以y軸為對(duì)稱軸的二次函數(shù)y＝x2+ax+4的圖象上．則m﹣n的最大值等于（）A． B．4 C．﹣ D．﹣【題型】五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例5、已知二次函數(shù)（是常數(shù)，）的與的部分對(duì)應(yīng)值如下表：02606下列結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值為；③若點(diǎn)，點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，則；④方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是__________________．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【題型】六、二次函數(shù)平移問題例6、把函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．【題型】七、二次函數(shù)解決實(shí)際問題例7、如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長度不限）的矩形空地ABCD，為美化環(huán)境，用總長為100m的籬笆圍成四塊矩形花圃（靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計(jì)）．（1）若四塊矩形花圃的面積相等，求證：AE＝3BE；（2）在（1）的條件下，設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．二次函數(shù)（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．（2022·廣東廣州·一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象開口向下，且經(jīng)過第三象限的點(diǎn)P．若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣1，則一次函數(shù)y＝（a﹣b）x+b的圖象大致是（）A． B． C． D．2．（2022·山東煙臺(tái)·二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc>0；②若(?3，y1)，(4，y2)在拋物線上，則y1<y2；③當(dāng)?1<x<3時(shí)，y<0時(shí)；④8a+c>0．其中正確的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．②④3．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模）二次函數(shù)y=?x2+4x+7的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸分別是（

）A．，x＝2 B．，x＝2 C．，x＝－2 D．，x＝24．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）將拋物線向左平移2個(gè)單位長度，在向上平移1個(gè)單位長度，則平移后得到的拋物線解析式是（

）．A． B．C． D．5．（2022·福建福州·一模）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A． B．C． D．二、填空題6．（2022·河南·駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測）觀察函數(shù)與的圖像，寫出一條它們的共同特征：______．7．（2022·甘肅·一模）已知拋物線的部分圖像如圖所示，則方程的解是___________三、解答題8．（2022·浙江麗水·一模）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)是拋物線上