2021屆人教A版平面向量 單元測試

平面向量

一、單選題

1.已知點A(l,1),B(4,2)和向量。=(2,團，若方〃獲，則實數2的值為()

23八23

A.--B.-C.一D.--

3232

【答案】C

【解析】

試題分析：根據A、B兩點的坐標可得A8=(3,1),-：a//AB,.*.2x1-371=0,

2

解得2=—,故選C.

3

考點：考查了向量共線的條件.

點評：解本題的關鍵是掌握兩個向量共線的條件，代入兩個向量的坐標進行計算.

2.AA8C中，A(2,l),8(0,4),C(5,6),貝iJAg-4C=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出兩個向量的坐標，利用數量積坐標公式得到結果.

【詳解】

???4(2,1),以0,4),C(5,6),

UUUUUU

A8=(-2,3),4C=(3,5)

UUUUU1U

???AB-AC=-2x3+3x5=9

故選：c

【點睛】

本題考查數量積坐標運算，考查計算能力，屬于基礎題.

2

3.設)工=4,若“在〃方向上的投影為孑，且人在。方向上的投影為3,則“和人的

夾角等于()

【答案】A

【解析】

22

試題分析：若〃在〃方向上的投影為］,??.|4cose=§,匕在。方向上的投影為3,

/.|/?|cos^=3,

,.114I,I..cab1.c71

ci,h=4..1間1=—,/?—6..cos3——；~r——..8=—

3'l?\a\\b\23

考點：向量的數量積

4.已知向量a與人的夾角為30°,且忖=6,忖=2,則ab等于（）

A.2A/3B.3

C.V6D.G

【答案】B

【解析】

試題分析：aZ?=WWcos（a,b）=2x6x曰?=3,故選B.

考點：平面向量的數量積.

5.已知點。是ABC內部一點，并且滿足2Q4+3O8+5OC=0，OAC的面積為鳥，

S.

ABC的面積為則于=

A.3B.3

108

24

C.-D.—

521

【答案】A

【解析】

2OA+3OB+50C=0，：.2（OA+OC）=-3（OB+OC）.

設AC中點為M,8C中點為N,則2QW=—3ON，

0M3

?:MN為ABC的中位線，且-----=一,

ON2

、313c5,3

??g§CMN=MsABC"皿，即廠方選A.

54

試卷第2頁，總15頁

6.已知向量Z=(x,l),b=(4,x),若五不=5,則x的值為()

A.1B.2C.±1D.5

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用向量的數量積的運算法則化簡求解即可.

【詳解】

解：向量1=(x,1),b-(4,x)>若五不=5，

可得5x=5,解得％=1.

故選：4

【點睛】

本題考查向量的數量積的坐標表示，是基本知識的考查.

7.已知向量。=(3,1),。=(2攵一1次)，且(a+b)_L力，則A的值是

122

A.-1B.一—或一1C.一1或一D.-

255

【答案】C

【解析】

【分析】

根據向量坐標的加法運算得到a+b=(2k+2,1+k),再由向量垂直關系得到方程

(2k—l)(2k+2)+k(l+k)=0,從而解得k值.

【詳解】

向量a=(3,l),b=(2k-l,k),.-.a+b=(2k+2,l+k),

(a+b)±b,.?.(a+b)-b=O,則(2k-l)(2k+2)+k(l+k)=0,

即5k2+3k-2=0得(k一l)(5k+2)=0,得卜=一1或卜=1，

故選：C.

【點睛】

(1)向量的運算將向量與代數有機結合起來，這就為向量和函數的結合提供了前提，運

用向量的有關知識可以解決某些函數問題;(2)以向量為載體求相關變量的取值范圍，是

向量與函數、不等式、三角函數等相結合的一類綜合問題.通過向量的運算，將問題轉

化為解不等式或求函數值域，是解決這類問題的一般方法;(3)向量的兩個作用：①載體

作用：關鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉化為我們熟悉的數學問題;

②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.

8.下列說法正確的是()

A.與向量A5(|A6卜0)共線的單位向量只有網

B.向量“與。平行，則”與。的方向相同或相反

C.向量A8與向量BA是兩平行向量

D.單位向量都相等

【答案】C

【解析】

【分析】

由單位向量的概念判斷A,D;利用平行向量判斷B,C

【詳解】

與向量AB(\AB\^O)共線的單位向量有±*-,故A項錯誤.因為零向量與任一向量

平行，因此，若〃與6中有一個為零向量時，其方向是不確定的，故B項錯誤.因為向

量A8與區(qū)4方向相反，所以二者是平行向量，故C項正確;單位向量的長度都相等，

方向任意，而向量相等不僅需要長度相等，還要求方向相同，故D項錯誤.

故選：C

【點睛】

本題考查單位向量的概念，考查平行向量的性質，是基礎題

9.已知a=(-1,1)/=(1,0),則a在/，上的投影為()

A.顯B.一立C.1D.-1

22

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用投影公式計算得到答案.

【詳解】

試卷第4頁，總15頁

-1

4=(一1,1)/=(1,0),則a在上的投影為：W=T=-1.

故選：D.

【點睛】

本題考查了向量的投影，意在考查學生對于投影的理解.

10.在ABC中，AB=2,AC=3,ABAC=5>則BC=()

A.V3B.77C.272D.V23

【答案】A

【解析】

因為AB?AC=|A。cosAB,AC=\AB\|cosA=6cosA=5,

cos=-,由余弦定理可得：

6

BC?=4。2+482-24。-45?0$4=9+4-2乂2乂3><3=3,所以

6

BC=g，故選A.

考點：平面向量的數量積及余弦定理.

11.已知向量4=(24),/?=(-1,1),則2。一/?=()

A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)

【答案】A

【解析】

因為2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-l,l)=(5,7),故選A.

考點：本小題主要考查平面向量的基本運算，屬容易題.

12.已知向量a=(3,4),a—26=(11,4),若向量a與向量分的夾角為。，則cos9=()

33C44

AA.-D—C.-Dn?----

5555

【答案】B

【解析】

試題分析：由于向量a=(3,4),a—2b=(ll,4),設6=G,y)，則a—強=6—2x,

4-2y)=(11,4),3-2%=11,4-2y=4,x=—4,y=0,則b=(―4,0),

a?b3x(—4)+4x0

所以cos0=選B

\a\'kl5x45

考點：平面向量的坐標運算

二、填空題

13.已知向量；=（1,2），向量/；=（3,-4），則向量￡在向量「方向上的投影為.

【答案】-1

【解析】

向量a在向量b方向上的投影為討=丁亨喜口=一1,故答案為-1.

14.中，M為線段OC的中點，AM交3。于點。，若AQ=九

【解析】

由DQM~BQ4可得：AQ=2QM

：.AQ=-AM=-xl（AZ）+AC）=-^D+-AC

332、>33

,2

A+//=~

r22

15.已知雙曲線C：一■一與=l（a>8>0）的右焦點為F,過戶且斜率為出的直線交

ab~

C于A、B兩點,若A尸=4用3,則。的離心率為.

【答案】I

【解析】

【分析】

設A（玉,％）,B（x2,y2）,將直線的方程和雙曲線的方程聯(lián)立消元得出

,+%=羋絲，,必=二^7,由AE=4EB可得X=T%，這幾個式子再結

*-3a2-b23a2-b2

試卷第6頁，總15頁

合-化簡可得c=1a

【詳解】

因為直線A8過點R(C,O),且斜率為G

所以直線A8的方程為：y=43(x-c)

x2y2

與雙曲線二=1聯(lián)立消去工,得

CT

y2+^^-b2cy+b4=0

設4(%,%),3(/,%)

2屜2c_-3b4

所以，+%

^^'"2二^7^

因為AF=4EB，可得

代入上式得—3%=名"

-3a2-〃力3a2_b2

4c3oo

消去％并化簡整理得：-c2=-(3a2-b2)

36o

將〃=c2_/代入化簡得：co2=—a2

解之得c=(a

c6

因此，該雙曲線的離心率e=—=—

a5

故答案為：y

【點睛】

L直線與雙曲線相交的問題，常將兩個的方程聯(lián)立消元，用韋達定理表示出橫(縱)坐

標之和、積，然后再結合條件求解

2.求離心率即是求a與C的關系.

16.已知a=(l,l),Z?=(l,0),貝!J,一2目=.

【答案】V2

【解析】

由。_給=(-1,1)知卜一2*J(—l)2+F=0.

三、解答題

17.已知|之|二歷|=1，W與與的夾角為120。，

求：（1）a*b;

⑵航-2之）*（4a+b）-

【答案】（1）awb=|a||b|cos^z~=

o乙

⑵（3b-21）?（41+b）=-8|a|2+10a-b+3|bI^-IO-

【解析】

試題分析：（1）（2）根據向量的運算性質計算即可.

解:⑴a,b=|a11b|cos-^z~=-4;

o乙

（2）（3b-2a）?（41+b）=-8|a|2+10a'b+3|bI^-IO-

考點：平面向量數量積的運算.

L兀

18.已知點。是ABC的外接圓的圓心，AB=3,AC=2。ZBAC^-.

（1）求外接圓。的面積.

（2）求BOBC

【答案】（1）彳57r；（2）5

22

【解析】

【分析】

（1）根據余弦定理求出BC.設外接圓的半徑為「，由正弦定理得2r=,即

sinZBAC

求外接圓。的面積；

（2）設的中點為￡,則EO_L8C，則8。-BC=（3E+E0）-BC,即可求出數

量積.

【詳解】

（1）由余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2AB-ACCOS^=32+（2何一2x3x2血x/=5，

：.BC=y/5-

試卷第8頁，總15頁

2r_BC:也R

設外接圓的半徑為，由正弦定理得sin/BA。-0~

2

所以外接圓的面積為5=萬產

（2）設BC的中點為E,則EO_L5C，

BOBC（BEEOBCBEBCEOBCBC2

=\+/]=+=-2=2-.

【點睛】

本題考查正、余弦定理和向量的數量積，屬于基礎題.

19.在平面直角坐標系xOy中，點4（-1,2）,3（4,3）,C（3,6）,

AP=AB+AAC（AeR）.

（1）試求實數％為何值時，點P在第二、四象限的角平分線上；

（2）若點尸在第三象限內，求實數力的取值范圍.

7/、

【答案】⑴4=-3；⑵1）

O

【解析】

【分析】

（i）根據向量線性運算和坐標運算可求得（?P=（4+4/1,3+42）,由此得到P點坐標，

由點P位置可知4+4幾=一（3+4/1）,進而求得結果；

（2）根據第三象限點的坐標的特點可構造不等式組求得結果.

【詳解】

（1）由題意得:AB=（5,1）,AC=（4,4）

UUUUL11UUIU

QAP=AB+AAC

OP=QA+AP=QA+AB+XAC=OB+4AC=（4,3）+X（4,4）=（4+44,3+4/1）

.?.*4+443+44)

7

P在第二、四象限的角平分線上.-.4+4l=-（3F4）,解得：2=--

O

(2)由(1)知：P(4+42,3+4/1)

f4+4X<0

「在第三象限內八八，解得：2<-1

[3+4A<0

.../I的取值范圍為(-8,-1)

【點睛】

本題考查根據點的位置求解參數值和范圍的問題，關鍵是能夠通過向量的線性運算和坐

標運算求出點的坐標.

20.已知向量滿足國=|4=1,限+司=碼。一碼，伏wA且k/0).

(I)求用k表示。力的解析式/(%)；

(U)若向量“與匕的夾角是銳角，求實數k的取值范圍；

(ni)當k>o時，求向量“與/7的夾角的最大值.

【答案】(I)/(&)=t^(AwO)；(n)伙k>0且+6且左。2—J§｝；(HD

4k

7t

T,

【解析】

【分析】

(I)對加⑨卜四4|兩邊平方，化簡后可求得/仕)的表達式.(H)當向量a與

〃的夾角是銳角時，ab>Q，即土二〉0,k>Q,再排除同向時k的值，可

4k

求得k的的取值范圍.(HI)利用配方法，結合二次函數的性質，求得cos。的最小值,

從而求得。的最大值.

【詳解】

解：([)由已知,+同=網”一閩，得：|3+同2=(6,_,,，即

k2a2+2ka-b+b2=3a2-6ka-b+3k2b2，又同=1|=1,

Skab=2k2+2,:.a-b=，即工0).

(H)當向量a與8的夾角是銳角時，4包>0,由(I)可知a電=匚^>0.；.Z>0.

4k

又當向量a與b同向時，a-b=\a\-\h\,由(I)可知幺上1=1,.?.左=2±6.

11妹

試卷第10頁，總15頁

當向量a與人的夾角是銳角時，攵的取值范圍是伙|女〉0且ZH2+G且左。2—石｝.

（III）設向量a與b的夾角是。，

0abk1+\1（ni\CiV

則cos"麗=b=土+r五）+2，

當&=J=,即％=1時，cos。有最小值上，

又0?64%且丁=3。在［0,句上單調遞減，

ITTT

,此時。有最大值為。=不，即向量a與人的夾角的最大值為7.

【點睛】

本小題主要考查向量的運算，考查兩個向量夾角為銳角時參數的取值范圍的求法，考查

二次函數型函數求最值的方法，屬于中檔題.

21.在平面直角坐標系中，已知。為坐標原點，點4的坐標為（。,勿，點8的坐標為

（COS5,sinox）,其中〈/十〃且。＞0.設/（幻二以心從

（1）若。=百，b=l,3=2,求方程/。）=1在區(qū)間［0,2可內的解集.

（2）若函數/*）滿足：圖象關于點（：,（）］對稱，在x=5處取得最小值，試確定。、

b和。應滿足的與之等價的條件.

,（兀11兀5兀23兀1A—廣

【答案】（1）解集為:“丁5，1~，合卜（2）見解析.

【解析】

分析：（1）由平面向量數量積公式、結合輔助角公式可得/（x）=2sin（2x+g］,令

（兀、］（兀、7E

sin2x+-=力，從而可得結果；（2）“圖象關于點彳,0對稱，且在尤=一處/（x）

it71Tn

取得最小值”.因此，根據三角函數的圖象特征可以知道，---=~+-T,故有

3642

兀2兀2〃+1

—=--------

604

TT,

；.0=6〃+3,〃eN,當且僅當。=E,keZ時，/（x）的圖象關于點對稱;

37

此時a=0,［=±1,對b討論兩種情況可得使得函數/(x)滿足“圖象關于點(三,0)

對稱，且在x=3處/(x)取得最小值的充要條件”是“b〉0,a=0時，0=12m+9,

6

meN；或當2<0。=0時，co=12m+3,mcN”.

詳解：(1)根據題意/(x)=Q4?OB=/?sin5+acos5,

當。=百，b=l,G=2時,

/(x)=sinlx+V3cos2x=2sinf2x+(=1,nsin(2x+二

I3J2

TTTTTT5兀

則有2x+—=2E+—或2x+—=2R兀+—，keZ.

3636

717t

即工=&兀----或尢=女兀+一,keZ.

124

Ijriijr5冗237r

又因為工￡［0,2可,故/(x)=l在［0,2兀］內的解集為，5

._____2兀

(2)解：因為/(司=。4。6=>/。2+。25m(8+。)，設周期丁=1.

因為函數/(x)須滿足“圖象關于點］,0)對稱，且在x=弓處/(x)取得最小值”.

6

TTTtTn

因此，根據三角函數的圖象特征可以知道，---=-+-7,

u一兀2兀2〃4-1

故有T=--------:一

6694

，3=6〃+3,neN,

又因為，形如〃x)=^a2+bhm(cox+^的函數的圖象的對稱中心都是/(x)的零點,

Tl、

故需滿足sin-co+(/)=0,而當69=6/2+3,〃￡N時,

13J

兀

因為§(6〃+3)+。=2〃兀+兀+。,neN；

所以當且僅當。=E,ZEZ時,

/.(X)的圖象關于點泉0對稱;

a

sin(/)-=0

此時，,

b

COS(/)=±1

J/+/

試卷第12頁，總15頁

b

tZ=0,777=±1

例

(i)當b〉0,a=0時，〃x)=s泳wx,進一步要使》=巴處/(x)取得最小值,

6

/X

71

則有/7=sin—-CD

(6

7

71兀

二.—co—2.kit—，故69=12k—3,kEZ.

62

又口＞0,則有刃=12攵—3,keN",

a)=6n+3,neN

因此，由《可得口=12m+9,tnwN.

①=12k-3,kGN

(ii)當。<0。=0時，f\x)^-sincox,進一步要使x=4處/(x)取得最小值,

6

兀、/、

則有/2〕=-sin.I71_,71._.

-co—1—co=ZKK+—69=12K；

6J(6)2

又口〉0,則有3=12攵+3,keN.

①=6n+3,neN

因此,由<可得啰=12m+3meN.

①=l2k+3,kGN

綜上，使得函數/(X)滿足“圖象關于點對稱，且在x處/(X)取得最小值

的充要條件"是“〃>0,。=0時，co=12m+9,meN；或當/?<0〃=0時，

CD=12m+3,msN”.

點睛：本題主要考查公式三角函數的圖像和性質以及輔助角公式的應用，屬于難題.利

______b

2

用該公式/(%)=asincox-^-bcoscox=y]a+/sin(s;+9)(tan^>=—)可以求

_2兀

出:①/(X)的周期T=L;②單調區(qū)間(利用正弦函數的單調區(qū)間可通過解不等式求

得)；③值域(-正+b1a1+。2)；④對稱軸及對稱中心(由=A乃+:|?可

得對稱軸方程，由(yx+e=z萬可得對稱中心橫坐標.

22.(本題滿分14分)設函數/(x)=mn,其中向量/n=(2cosx,l),

n=(cosx,5/3sin2x),XER.

(1)求/(x)的最小正周期與單調遞減區(qū)間;

(2)在△ABC中，。、b、。分別是角A、B、C的對邊，已知/(A)=2,b=l,

△ABC的面積為立，求一山一的值.

2sinB+sinC

【答案】(1)\-+k7T,—+k7T],k&Z;

63

⑵gc=2

sinB+sinC

【解析】

試題分析：(1)根據向量數量積的坐標運算以及二倍角公式、輔助角公式可得

/(x)—m-n—

re27r7i37r

2sin(2x+生)+1,故周期丁=’"=乃，再由三+2人乃＜2工+2＜二+2女乃，2￡2,

62262

可得單調減區(qū)間為［三+版?，至+上乃］，左eZ；(2)由/(A