2021屆高考數(shù)學(xué)（理）二輪總復(fù)習(xí)學(xué)案：板塊二　考前重溫六個(gè)模塊

板塊二考前重溫六個(gè)模塊

摸獲二…一囪數(shù)與顯教

環(huán)節(jié)一主干知識(shí)要記牢

1.函數(shù)的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱)，都有八一》)=一段)成立，則於)為奇函數(shù)(都有八一光)=/2成立，則

兀0為偶函數(shù)).

(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對(duì)于函數(shù)/(X)，如果對(duì)

于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x的值：

若欠x+D=*x)(TWO),則.*x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期.

2.函數(shù)零點(diǎn)的存在性

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且

式。加與＜0,那么函數(shù).*x)在區(qū)間(a,份內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),即存在cW(a,b),使

得人c)=0,這個(gè)c也就是方程/U)=0的實(shí)數(shù)根.

3.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

(1)利用公式求導(dǎo)時(shí)，一定要注意公式的適用范圍及符號(hào)，如(爐)，=加門(mén)中〃

GQ,(cosx)'=-sin龍.

(2)注意公式不要用混，如(a'y=anna,而不是("')，=叩'」

環(huán)節(jié)二二級(jí)結(jié)論要用巧

1.已知函數(shù)/(X)是定義在集合。上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的xeo,都有7U)

十A—X)=0.特別地，若奇函數(shù)兀T)在。上有最值，則/U)max+/(X)min=0,且若0

GD,則式0)=0.

2.已知定義在R上的函數(shù)抵幻，若對(duì)任意的xGR,總存在非零常數(shù)T,使

得/U+7)=Ax),則稱兀r)是周期函數(shù)，T為其一個(gè)周期.

常見(jiàn)的與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論如下：

(1)如果4%+。)=一段)3/0),那么/U)是周期函數(shù)，其一個(gè)周期T=2a.

(2)如果犬%+0)=嵩

(aWO),那么是周期函數(shù)，其一個(gè)周期T=2a.

(3)如果/U+a)+/(x)=c(aW0),那么兀燈是周期函數(shù)，其一個(gè)周期T=2a.

3.已知函數(shù)_/U)是定義在R上的函數(shù).

(1)若.*a+x)=/S-x)恒成立，則y=/U)的圖象關(guān)于直線一對(duì)稱，特別

地，若尤)=/(a—x)恒成立，則y=/(x)的圖象關(guān)于直線尤=。對(duì)稱.

(2)若.*a+x)+y(Z?—x)=c,則y=/U)的圖象關(guān)于點(diǎn)("J,g中心對(duì)稱.特別

地，若7(a+x)+y(a—x)=2Z?恒成立，則了=凡1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,加中心對(duì)稱.

環(huán)節(jié)三易錯(cuò)易混要明了

1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“U”和“或”連接，

可用“和”連接或用“，”隔開(kāi).單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不

等式代替.

2.判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式

化簡(jiǎn)整理，但必須注意使定義域不受影響.

3.準(zhǔn)確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì).如函數(shù)y=a'(a〉O,aWl)的單調(diào)性

忽視字母。的取值討論，忽視〃>0；對(duì)數(shù)函數(shù)y=log“x(a>0,aWl)忽視真數(shù)與底

數(shù)的限制條件.

4.準(zhǔn)確理解導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，易忽視切點(diǎn)(刈，火xo))既在切線上，又在函

數(shù)圖象上，導(dǎo)致某些求導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題不能正確解出.

5.考生易混淆函數(shù)的極值與最值的概念，錯(cuò)以為了(刈)=0是函數(shù)y=/(x)在尤

=光。處有極值的充分條件.

環(huán)節(jié)四保證典題要練好

1.(2019.河南南陽(yáng)一中月考涵數(shù)於)="二Ig^：X二I1)^十’的定義域?yàn)?)

A.(-l,0)U(0,l]B.(-1,1]

C.(-4,-1]D.(-4,0)U(0,1]

x2—3x+420,

解析：選A要使函數(shù)大幻有意義，應(yīng)有《x+l〉0,

Lr+1W1.

解得一l<x<0或0VxW1.故選A.

2.已知函數(shù).穴x)=asinx+句若￡)+4—3]=6，則實(shí)數(shù)/=()

A.12B.-1

C.1D.3

解析：選D令g(x)=asinx+Aln則易知g(x)為奇函數(shù)，所以gg)+

g1_g=°，則由兀v)=g(x)+r,得右)+彳_；)=8(0+8(-；)+2/=2/=6,解得/

=3.故選D.

f+x,x，0,

3.(2019?福建泉州質(zhì)檢)已知函數(shù)_/U)=<°'若a[/(a)-A—a)]>0,

JXfx<0.

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(1,+oo)B.(2,+8)

C.(-8,-l)u(l,+°°)D.(一8,-2)u(2,+8)

解析：選D根據(jù)題意，當(dāng)a>0時(shí)，j(d)—j(—d)>0,a2+a—[—3(-a)]>0,

/.a2-2a>0,解得a>2;當(dāng)a<0時(shí)，/(?)—/(—a)<0,即一3a—[(一。尸+(—a)]<0,

.,.a2+2a>0,解得。<一2.綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍為(-8,—2)U(2,+~),故

選D.

4.(2019?山西臨汾一中等五校聯(lián)考)函數(shù)^=(2一%)23的圖象大致是()

解析:選B由凡r)=(x3—x)2國(guó)，得八一x)=(—/+%>2聞=一(J?—%)2國(guó)=~f(x),

則為奇函數(shù)，故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除C;當(dāng)x從右側(cè)趨于0時(shí)，/一小。，

2kl>0,故力>)<0,排除A、D.故選B.

5.(2019.江西贛州十三縣市十四校聯(lián)考)已知正方體458—AiBCQ的棱長(zhǎng)

為1,E,尸分別是邊44i,C。上的中點(diǎn)，點(diǎn)M是上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E,M,F

的平面與棱。Di交于點(diǎn)N,設(shè)平行四邊形EMF7V的面積為S,設(shè)y=$2,

則y關(guān)于x的函數(shù)y=>U)的圖象大致是()

A

解析：選A由對(duì)稱性可知，四邊形EMFN是菱形，所以S=；EFXMN,而

EF=巾,MN=2X+1,所以S=A/2X

+1,即./U)=2

2+1,故選A.

6.已知定義在R上的函數(shù)兀X)滿足/U+1)=逃1一外，且在[1,+8)上是增

1

函數(shù)，不等式/(ar+2)W/(x—1)對(duì)任意的r1恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是()

A.[一3，-1]B.[-2,0]

C.[-5,-1]D.[-2,1]

解析：選B當(dāng)。=0時(shí)，不等式式ox+2)W/(x-l)化為.穴2)W/(x-l),由函

數(shù)/U)的圖象特征可得九一1一1|,解得x23或九W1,滿足不等式人以+

2)勺口一1)對(duì)任意xW2-1恒成立，由此排除A、C兩個(gè)選項(xiàng).當(dāng)a=\時(shí)，不

等式,*ax+2)?！?1)化為/(x+2)W./(x—1),由函數(shù)/(x)的圖象特征可得|x+2-

一1

解得*母，不滿足不等式/(ax+2)〈危一1)對(duì)任意xC-

牙恒成

一

立，由此排除D選項(xiàng).綜上可知，故選B.

7.設(shè)函數(shù)7x)=A?：1sm"的最大值為加，最小值為〃?，則M+m=

&n_LLf+l+2x+sinx,2x+sinx人2x+sinx,,.

解析：yu)==1+x2+1,令g(x)=『+],則g。)為奇

函數(shù)，有g(shù)(%)max+ga)min=0,故加+加=2.

宏:案.?

8.函數(shù)段)=3x—7+lnx的零點(diǎn)位于區(qū)間(〃,〃+1)(〃?2內(nèi)，則n=.

解析：求函數(shù)/U)=3x—7+lnx的零點(diǎn)，可以大致估算兩個(gè)相鄰自然數(shù)的函

數(shù)值，如/2)=-l+ln2,由于In2<lne=1.所以式2)<0,_/(3)=2+ln3,由于In3>1,

所以大3)>0,所以函數(shù)/(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，故〃=2.

答案：2

9.(2019.沈陽(yáng)監(jiān)測(cè))已知函數(shù)4r)=Hnx(a>0),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若過(guò)點(diǎn)A(2,42))的切線斜率為2,求實(shí)數(shù)。的值；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，求證—十)；

X1

(3)若在區(qū)間(1,e)上e；e*0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：(1)由題意得了(x)=?，，a=4.

九乙

(2)證明：令g(x)=a(lnx—l+：)(x>0),

則以)X=&T),

令g<x)〉0,即ag—玄)>0，解得％>1，

令g，(x)<0,解得0<x<l；

.?.g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

.?.g(x)的最小值為g(l)=0,.\/(幻20。-0.

v-1Y---1

(3)由題意可知q<e,x,化簡(jiǎn)得<lnx,

x—1

又XC(1,e),二。〉1百T

inxl+

x-\~x

令〃。)=記下則如尸，

由(2)知，當(dāng)x￡(l,e)時(shí)，Inx—1+1>0,

X

：.h\x)>Q,即力。)在(1,e)上單調(diào)遞增，

."./?(x)</z(e)=e—l./.a^e—1.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為［e—l,+8).

一….三置趴數(shù)月空一響一

環(huán)節(jié)一主干知識(shí)要記牢

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)商數(shù)關(guān)系：：=tana(aWE+4攵GZ)；

COScX\乙)

(2)平方關(guān)系：sin^+cos2^^l(awR).

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

誘導(dǎo)公式的記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限.其中，“奇、偶”是指“攵皮

土a(AeZ)”中％的奇偶性；“符號(hào)”是把任意角a看作銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào).

3.三角恒等變換的主要公式

sin（夕±4）=sinacos4土cosasin夕;

cos（a土夕）=cosacos￡下sinasin依

tan研tan[3

tan（a土夕）=

1+tanatang

sin2a=2sinacosa；cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a_1=1—2sin2a；tan2a=

2tana

1—tan2a

4.平面向量的有關(guān)運(yùn)算

(l)兩個(gè)非零向量平行(共線)的充要條件：allb0a=)b

兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：a_L〃Oa?A=0o|a+》|=|。一〃|.

(2)若a=(x,y),則⑷

(3)若A(xi,yi),8(必*),

貝！J\AB\=^(X2-Xi)2+(y2-y\)2.

n-h

(4)右。=(九1,yi),6=(x2,”)，B為a與b的夾角，則cose=j^j=

x\xi+y\yi

環(huán)節(jié)二二級(jí)結(jié)論要用巧

1.由si〃a±cosa的符號(hào)判斷a的位置

(l)sina—cos?>0<=>?終邊在直線y=x上方(特殊地，當(dāng)a在第二象限時(shí)有sin

a-cosa>l).

(2)sina+cos終邊在直線y=一光上方(特殊地，當(dāng)a在第一象限時(shí)有

sina+cosa>l）.

2.三點(diǎn)共線的判定

三個(gè)點(diǎn)A,B,C共線=魂，危共線；

向量戌，PB,無(wú)中三終點(diǎn)A,B,。共線=存在實(shí)數(shù)a,4使得或=a麗+夕無(wú),

且a+4=1.

3.三角形“四心”向量形式的充要條件

設(shè)。為△ABC所在平面上一點(diǎn)，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,則

(1)0為△ABC的外心。|次|=|①|(zhì)=|囚=公不

(2)0為△ABC的重心=/+為+比=0.

(3)0為△ABC的垂心。萬(wàn)1為=訪阮=慶宓.

(4)0為△ABC的內(nèi)心OaOX+Z?為+c比=0.

環(huán)節(jié)三易錯(cuò)易混要明了

1.利用正弦定理解三角形時(shí)，注意解的個(gè)數(shù)討論，可能有一解、兩解或無(wú)解.在

△ABC中，A>B=sinA>sinB.

2.要特別注意零向量帶來(lái)的問(wèn)題：0的模是0,方向任意，并不是沒(méi)有方向；

0與任意非零向量平行；A0=0(2GR),而不是等于0；0與任意向量的數(shù)量積等

于0,即0也=0；但不說(shuō)0與任意非零向量垂直.

3.兩向量夾角的范圍為［0,兀］,向量的夾角為銳角與向量的數(shù)量積大于0不

等價(jià).

環(huán)節(jié)四保證典題要練好

1.已知點(diǎn)M是△ABC的邊8C的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且比=2前，則加

=()

A.B.

c.D.

2i21

解析：選C如圖，?:比=2旗：.EM=EC+CM=^AC+^CB=^AC+^AB

—AC)=^AB+^AC.

E

M

2.已知向量a=(九1),Z>=(A+2,1).若佃+勿=心一加，則實(shí)數(shù)力的值為()

A.-1B.2

C.1D.-2

解析：選A根據(jù)題意,對(duì)于向量a,b,若|a+b|=|a一例，則|0+肝=|。一肝,

變形可得層+242+。2=/-240+〃，即0力=0.又由向量a=?,1),*=(2+2,1),

得/iq+2)+l=0,解得2=—1.故選A.

21

若夕+。=弓，則，

3.sincos3tan+t;anu7=()

A.戰(zhàn)B.T

C”r18

。5D.-y

245

解析：選D由sin8+cos。=,，得1+2sinGeos即sinGeos0=一同,

e…1sin0,cos0118_

則一古攵選

tan0+~t—an07=-c-o-s-76+~si-n707=~sin19-c-o--sZ0=-5D.

4.(2019?湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)若AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,

c,已知2加in2A=asinB,且c=2/7,則，=()

A.2B.3

C.V2D.^3

解析：選A由2Z?sin2A=asin8,得4bsinA-cosA=asinB,由正弦定理得

4sinB-sinA-cosA=sini4-sinB,'.'sinA^O,且sin8W0,/.cosA=^,由余弦定

理得標(biāo)=82+4序一序，/.a2=4b2,；，=2.故選A.

5.(2019?河北廊坊期末)已知⑷=2,向量@在向量。上的投影為小，則。與

b的夾角為()

解析：選B設(shè)向量a與向量力的夾角為仇則a在力上的投影為|a|cos夕=

2cos"a在8上的投影為小，Acos0=^.'：0^[0,兀],.?.8=親故選B.

6.（2019.廣州測(cè)試）已知函數(shù)段）=sin（2r+“）（（）〈詞的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

為傳，0）,則函數(shù)1x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

-,3兀-,,71

A.2E—9,2E+g（女￡Z）

兀571

B.2E+g,2kn-\-~^（^EZ）

r,371,.7r-|,

C.kn--^-,E+g伏GZ）

，兀，，57fl

D.E+g,E+g（AGZ）

解析：選D由題可得sin（2X資+夕）=0,又0＜夕或，所以“=：,所以於）

=sin（2x+￡）,由2E+，W2x+；W2E+當(dāng)Z）,得/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是

",,71,.57fl

E+g,E+不（女GZ）.

7.（2019.上海普陀區(qū)一模）設(shè)。是兩個(gè)非零向量m8的夾角，若對(duì)任意實(shí)數(shù)

t,|a+利的最小值為1,則下列判斷正確的是（）

A.若⑷確定，則。唯一確定

B.若也確定，則。唯一確定

C.若。確定，則向唯一確定

D.若。確定，則⑷唯一確定

解析：選D設(shè)g⑺=（a+力）2=b2/2+2fa.5+/,則/=4（a/）2—4廬?/＜（）恒

口、，，c,?2a-blalcos6.|al2cos2/9

成區(qū)，當(dāng)且僅當(dāng)t=~~而~時(shí)，g⑺取仔取小值1,?.6-X-麻—-

2a」X同；；；，+.=1,化簡(jiǎn)得4251/。=1,所以當(dāng)。確定時(shí)，⑷唯一確定.

8.（2019.廣西質(zhì)檢）已知向量a,8的夾角為詈，|a=啦，步|=2,則a.（a—25）

答案：6

9.已知向量a=(2,l),b=(\,-2),若wa+就=(9,-8)(7,nGR),則加

~n的值為.

解析：ma+nb—(2m+n,m—2n)=(9,—8),

2m+n=9,\m=2,

.".i.".i.,.m—n=2—5——3.

8,l〃=5,

答案：一3

10.(2019?湖北部分重點(diǎn)中學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練)在△ABC中，a,b,。分別為內(nèi)角

A,B,。的對(duì)邊，且滿足cos(A—B)=2sinAsinB.

(1)判斷△ABC的形狀；

(2)若a=3,c=6,C。為角。的平分線，求C。的長(zhǎng).

解：(1)由cos(A—B)=2sinAsin8,得

cosAcosB+sinAsinB=2sinAsinB,

.".cosAcosB—sinAsinB=0,

：.cos(A+B)=0,：.C=90°.

故△ABC為直角三角形.

(2)由(1)知C=90。，又a=3,c=6,

b=y]c2—a2=3y/3,A=30°,

ZADC=180o-30°-45o=105°.

CDAC

由正弦定理得

sin廠sinZADC'

3A/33\/319v^2-3^v6

：.CD=.；-Xsin30°=r-；

sin1n0<5°0]6+[22o2

4

模獲三―一數(shù)…一.列

環(huán)節(jié)一主干知識(shí)要記牢

等差數(shù)列'等比數(shù)列

等差數(shù)列等比數(shù)列

通項(xiàng)公式+(〃-l)d。尸產(chǎn)0)

,1Xca\-ang

-n(a\-\-an),n(n—l),⑴產(chǎn)1,S“—x_q-—q

前〃項(xiàng)和Sn—2一〃m卜2d

(2)q=1,Sn~HCl\

環(huán)節(jié)二二級(jí)結(jié)論要用巧

1.等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論

+—l)d=〃機(jī)+(〃-m)d9

(2)“p=g,aq=p(pWq)=ap+g=O；Sm+n—SmSnnind.

(3)Sk,Slk-SkyS3ALs22,…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列.

(4)若等差數(shù)列｛而｝的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2祖，公差為由所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所

有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和§2〃產(chǎn)用(即+。〃?+1),s偶—S奇=機(jī)"，^~=.

3偶Clm+1

2.等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論

(1)。"=。同"'=GmCj'1p~\~C]=^m~\~dpdq=ClmCln.

(2)｛小｝,｛加｝成等比數(shù)列=｛%｝成等比數(shù)列.

(3)連續(xù)m項(xiàng)的和(如Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…)仍然成等比數(shù)列(注意：這

連續(xù)m項(xiàng)的和必須非零才能成立).

(4)若等比數(shù)列有2〃項(xiàng)，公比為《，奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S碼，則

環(huán)節(jié)三易錯(cuò)易混要明了

1.已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和求知，易忽視〃=1的情形，直接用S“一S“一|表示.事

買(mǎi)上，當(dāng)〃=1時(shí)，411—Si；當(dāng)〃22時(shí)，OnSn—Sn-1.

2.運(yùn)用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式時(shí)，易忘記分類(lèi)討論.一定分q=l和qWl

兩種情況進(jìn)行討論.

3.對(duì)于通項(xiàng)公式中含有(一1)"的一類(lèi)數(shù)列，在求S時(shí)，切莫忘記討論〃的奇

偶性；遇到已知a〃+i—z-i=d或如1二以〃》？)，求伍〃｝的通項(xiàng)公式時(shí)，要注意分

Cln-\

n的奇偶性討論.

環(huán)節(jié)四保證典題要練好

1.(2019?西安模擬)在等比數(shù)列｛斯｝中,若加5a6=27,則卬偌=()

A.3B.6

C.27D.9

解析：選D在等比數(shù)列｛“”｝中，由a4a5a6=送=27,得。5=3,所以ai“9=

后=9,故選D.

2.設(shè)&為等差數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和，若0=1,公差d=2,S"+2-S"=36,

則”=()

A.5B.6

C.7D.8

解析：選D由題意知Sn+2—5"=。"+1+。"+2=23+(2〃+1)4=2+2(2〃+1)

=36,解得〃=8.

3.(2019?南陽(yáng)質(zhì)檢)設(shè)數(shù)列｛a“｝是公差4<0的等差數(shù)列，S”為其前〃項(xiàng)和，若

S6=5ai+l(W,則S”取最大值時(shí)，〃等于()

A.5B.6

C.5或6D.6或7

解析:選CVS6=5ai+10J,：.6ai+l5d=5ai+l0d,得ai+5d=0,即燃

=0二?數(shù)列｛為｝是公差d<0的等差數(shù)列,，〃=5或6時(shí)，&取最大值.

4.(2019.吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期末)已知等差數(shù)列｛而｝的前〃項(xiàng)和為S,若

S13<0,S12>0,則在數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為()

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)

C.第7項(xiàng)D.第8項(xiàng)

”(ai+a”)Si3<0,

解析:選C根據(jù)等差數(shù)列伍“｝的前n項(xiàng)和公式因?yàn)?/p>

2[S12>0,

ai+ai3<0,<21+。13=2。7,ai<0,

所以，由'得〈所以數(shù)列｛&｝中絕對(duì)值

,a\+ai2>0,,a\+。12=。6+。7,.?6+(27>0,

最小的項(xiàng)為第7項(xiàng).

5.(2019?福建晉江季延中學(xué)月考)已知數(shù)列｛m｝滿足ai+2a2+3〃+…+〃成

=〃+l(〃WN*),則數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為.

解析：已知ai+2a2+3“3H---將〃=1代入，得m=2；當(dāng)〃22

時(shí)，將〃一1代入得ai+2a2+3a3H---F(/?—l)a?-i=?,兩式相減得〃a”=(〃+l)

2,n=\,

—〃=1,???〃〃=1,當(dāng)〃=1時(shí)不符合?！?!,..?加=

M心2.

2,〃=19

答案：an=<1

心2

6.(2019?廣東潮州模擬)已知S為數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和，a〃=2.3〃「(〃￡N*),

若從=；，，則81+歷+…+瓦=.

解析：由。"=2-3廠|可知數(shù)列｛?！ǎ且?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)歹L

心2(L3")

所以5〃=-\一^=3"—1,

1—3

.a〃+i_S.+]-S〃1_]

人JQQQQC,Q,

OnOn+1OnOn+11

則從+歷+…+e(W)+KT)+…+&—6y

_11_i1

=s?-s^=2-3n+l-r

答案：2-3n+l—1

7.(2019?河北二市聯(lián)考)在等比數(shù)列｛”“｝中，a?>0(nGN*),tzi?3=4,且t?+l

是42和。4的等差中項(xiàng)，若Z?"=10g2。"+1.

(1)求數(shù)列｛兒｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)歹U｛c”｝滿足c=ai+-~~7----,求數(shù)列｛<:"｝的前n項(xiàng)和.

nn+u2n-\u2n-\-\

解：(D設(shè)等比數(shù)列｛或｝的公比為4,且4>0，

在等比數(shù)列｛&｝中，由&>0,aia3=4得，s=2,①

又G+1是42和。4的等差中項(xiàng)，

所以2(03+1)=42+04,②

把①代入②得，2(2q+l)=2+2q2,

解得q=2或q=0(舍去)，

所以如=。2夕"-2=2"-|,

則bn=log2fln+1=log22z,=rt.

(2)由(1)得，c"=a"+H

=2〃+-------------------

(2?-1)(2?+1)

=2"+42〃一廠2〃+1]

所以數(shù)列｛以｝的前〃項(xiàng)和

*=2+22+§+（?￡!+.?.+（壯7-票7）］

〃)」』

2(1—2l-2+

1-2十公2〃+1尸2"2?+r

8.（2019?汕頭模擬）設(shè)數(shù)列｛而｝的前n項(xiàng)和為Sn,ai=l,且數(shù)列⑸｝是以2

為公比的等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛0”｝的通項(xiàng)公式；

（2）求<21+媒3H----FiZ2n+l.

解：（l）：S=s=l,且數(shù)列｛S｝是以2為公比的等比數(shù)列，

.—『I,

又當(dāng)B2時(shí)，斯=&-51=2"」一2"-2=2"-2.

當(dāng)及=1時(shí)，0=1,不適合上式.

J1,11=1,

Un—]入f

[2〃FI22.

(2)由(1)知，。3,Q5,…，。2〃+1是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)歹!J,

.2(1—4〃)2(4-1)

?十。十…十?！?/p>

.4352+]=~1-4-J.

.?2(4〃-1)22n+,+l

?'?〃1+々3+???~VCl2n+\—1+Q=.

模獲四―一立林幾何

環(huán)節(jié)一主干知識(shí)要記牢

1.幾何體的側(cè)面積與體積

（1）圓柱的側(cè)面積：S『c/=2兀”（c是底面周長(zhǎng)，/為母線長(zhǎng)）.

圓錐的側(cè)面積：SiM=3c/=7n7（c是底面周長(zhǎng)，/為母線長(zhǎng)）.

,,

圓臺(tái)的側(cè)面積：SM=^(c+c)Z=n(r+r)/(c,d分別是上、下底面周長(zhǎng)，/為母

線長(zhǎng)).

球的表面積：S=4TTR2(R為球的半徑).

(2)柱體的體積：Vt*=S/?(S為底面積，/?是柱體的高).

錐體的體積：V雕=；S/2(S為底面積，力是錐體的高).

41

球的體積：V球=]兀R=]S表H(火為球的半徑).

2.空間位置關(guān)系的證明方法

a//a)

Ia_La

⑴線線平行：夕(=>a//b,,(=>a//b

b工a,9

aC/3=b)

a///3〕、

a//b

aHy=a>=>a//b,〃f==>c〃b.

a//c

pr\y=b)

a//bya"〕

(2)線面平行："Ua}=a〃°a///J

i,「=a〃a,uA-/i，=a〃a.

aU用

atlaJaQaJ

aUa,Z?Ua]

a_La

(3)面面平行：a^b=Or=a〃4，_\=a//B，

a///3,b〃/

a//B

(=>a//y.

a_l_a

(4)線線垂直：h(-\=>aLh.

aUa,/?Ua]a邛]

(5)線面垂直：aC\b=O}=>Z±a,aC￡=l}=Q_LQ,

Ila,ILbJaUa,a_L/J

a〃4]a//b

；=。_1_夕，；=h_La.

a//[i

(6)面面垂直：,\=>a±/3,,；=otJL夕.

al-a)aa

環(huán)節(jié)二二級(jí)結(jié)論要用好

1.球的組合體

(1)球與長(zhǎng)方體的組合體：長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

(2)球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體的

棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角

線長(zhǎng).

(3)球與正四面體的組合體：棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為書(shū)

。(正四面體高手的日外接球的半徑為乎a(正四面體高夠的知

2.用向量求空間中角的公式

(1)直線h/2的夾角。有cos6=|cos<Z1,fa)|.

(2)直線/與平面a的夾角。有：

sin，=|cos〈/,〃〉|(其中〃是平面a的法向量).

(3)平面a,4的夾角。有cos8=|cos{n\,ni)|,則a—/一。二面角的平面角

為。或九一6.(其中"i,〃2分別是平面a,4的法向量)

環(huán)節(jié)三易錯(cuò)易混要明了

1.注意幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別，側(cè)面積只是表面積的一部分，不包

括底面面積.

2.球的簡(jiǎn)單組合體中幾何體度量之間的關(guān)系不清，如棱長(zhǎng)為。的正方體的外

接球、內(nèi)切球、棱切球的半徑分別為冬，會(huì)專a.

3.錐體體積公式為在求解錐體體積時(shí)，不能漏掉;.

4.在應(yīng)用直線和平面平行的性質(zhì)定理時(shí)，要防止出現(xiàn)“一條直線平行于一個(gè)

平面就平行于這個(gè)平面內(nèi)的一切直線”的錯(cuò)誤.

5.空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理不能熟練把握，忽視判

定定理和性質(zhì)定理中的條件，導(dǎo)致判斷出錯(cuò).如由a_L夕，aHj3=l,m±l,易誤

得出m邛的結(jié)論，就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中mCa的限制條件.

環(huán)節(jié)四保證典題要練好

1.（2019?廣東廣州模擬）設(shè)如〃是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面,

下列命題中正確的是（）

A.若a_L夕，77?C?,nU/J,則用_L〃

B.若"?_La,〃2〃幾，n〃B，貝！Ja_LQ

C.若m上幾,mUa,〃U夕，則

D.若a〃夕，mUa,nU口,則“〃〃

解析：選B若a工0,mUa,nU/J,則〃z與〃相交、平行或異面均有可能,

故A錯(cuò)誤；Vm±a,m//n9:.nla.火,：n〃B，:.alfi,故B正確；若"?」鹿,

77?Ca,nU§,則a與4的位置關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤；若a〃4，mC.a,nU.,

則m//n或m,n異面，故D錯(cuò)誤.選B.

2.（2019?湖北四校聯(lián)考）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面

積為（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.16B.（10+#）兀

C.4+（5+?。┴.6+（5+小）無(wú)

解析：選C該幾何體是兩個(gè)相同的半圓錐與一個(gè)半圓柱的組合體，其表面

積為5=兀+4兀+4+小兀=4+（5+?。┴?/p>

3.（2019?洛陽(yáng)市第一次統(tǒng)考）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積

是（）

側(cè)視圖

2

俯視圖

C.號(hào)^D.9無(wú)

解析：選B依題意，題中的幾何體是由兩個(gè)完全相同的圓柱各自用一個(gè)不

平行于其軸的平面截去后所得的部分拼接而成的組合體（各自截后所得的部分也

完全相同），其中一個(gè)截后所得的部分的底面半徑為1,最短母線長(zhǎng)為3、最長(zhǎng)母

線長(zhǎng)為5,將這兩個(gè)截后所得的部分拼接，恰好可以形成一個(gè)底面半徑為1,母線

長(zhǎng)為5+3=8的圓柱，因此題中的幾何體的體積為71X12x8=8兀，故選B.

4.在三棱錐A—BC。中，側(cè)棱AB,AC,AO兩兩垂直，△ABC,AACD,

△AOB的面積分別為坐坐，坐則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.2兀B.6兀

C.4乖nD.24兀

解析：選B設(shè)相互垂直的三條側(cè)棱AB,AC,AD分別為a,b,c,則

=*，3bc=嘩,/=凈，解得a=6，b=\,c=，5.所以三棱錐A—的

外接球的直徑則其外接球的表面積5=4兀/?2=6無(wú).

5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一

個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，

盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是寸.

（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）

解析：由題意知，圓臺(tái)中截面圓的半徑為十寸，圓臺(tái)內(nèi)水的體積為

4-rr+r+r下）=々乂9*（1（）2+62+10*6）=588兀（立方寸），降雨量為1

3（寸）.

答案：3

6.（2019.合肥市質(zhì)檢）高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個(gè)幾何體，它

的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積是原直三棱

柱的體積的.

直觀圖側(cè)視圖

俯視圖

解析：由側(cè)視圖、俯視圖知該幾何體是高為2、底面積為:X2X(2+4)=6的

四棱錐，其體積為"x6X2=4.而直三棱柱的體積為T(mén)X2X2X4=8,則該幾何體

的體積是原直三棱柱的體積的宏

答案：|

7.如圖，在多面體ABCDE中，△A8C是以BC為斜邊的等腰直角三角形,

OC_L平面ABC,ED//BC,BC=BE=2ED.

(1)求證：平面ABEL平面D4C；

(2)求直線A8與平面ADE所成角的正弦值.

解：⑴證明：平面ABC,A3U平面ABC,

：.DC±AB,

又△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，

：.AC1AB.

'：DCQAC=C,DAC,

又ABU平面ABE,平面平面DAC.

(2)設(shè)EO=1,則8C=BE=2,

'：BC//DE,8a平面ADE,

DEU平面ADE,

.,.BC〃平面AOE.

設(shè)BC的中點(diǎn)為M,則B到平面AOE的距離即B到平面AOE的距離，連接

EM,MA,過(guò)M作MNLAE,垂足為M如圖，則EMLBC,

EM=\IBE^-BM2=V3，

則DC=y[3.

△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，M為8C的中點(diǎn)，

：.AM1BC,又EMLBC,AMHEM=M,

.?.8C_L平面AEM,

\'ED//BC,，石。，平面AEM,

；.ED_LMN,又EDCAE=E,

平面ADE,

，點(diǎn)B到平面ADE的距離即MN.

?.?OC_L平面ABC,AMU平面ABC,：.DC1AM,

XEM//DC,：.EMLAM,

在RtA4ME中，＜EM=事,AM=^BC=1,：.AE=2,MN=,,

設(shè)直線AB與平面ADE所成的角為仇

曲

…歸海飛-4-

8.(2019?南寧模擬)如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面A8CO是菱形，PD

_1_平面ABC。，PD=AD=3,PM=2MD,AN=2NB,ZDAB=60°.

p

(1)求證：AM〃平面PNC；

(2)求二面角D-PC-N的余弦值.

解：(1)證明：如圖，在PC上取一點(diǎn)/，使P/=2/C,連接MRNF,

?；PM=2MD,AN=2NB,

PF=2FC,

C.MF//DC,MF=^DC,

22

XAN//DC,AN=^AB=^DC,

：.MF//AN,MF=AN,

：.四邊形MFNA為平行四邊形.

...AM〃/N.又FNU平面PNC,AM。平面PNC,

〃平面PNC.

(2)取AB中點(diǎn)E,連接OE,PE,?.?底面ABC。是菱形，ZDAB=60°,AZ

AED=9Q°.

,JAB//CD,：.ZEDC=90°,

即CD±DE.

又平面ABCD,

故DP,DE,OC兩兩相互垂直，以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)E,DC,0P所在直

線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則P(0,0,3),3，0),C(0,3,0),0)，

B(邛，1，°｝。(°。0)，則無(wú)=(。，3，—3),沈=喳1，ol

易知平面PDC的一個(gè)法向量機(jī)=(1,0,0).

設(shè)平面PNC的法向量〃=(xi,yi,zi),

"=0,/產(chǎn)f=0,

由1〃?充=0,得］—￥汨+3|二°，

取〃=(5,3小，3?

55y

/?cos(m,〃>=麗=訴T79.

故二面角O—PC—N的余弦值為零.

模塊五…一M幾何

環(huán)節(jié)一主干知識(shí)要記牢

1.點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離

|Avo+3yo+C

(1)點(diǎn)P(xo,泗)到直線Ac+By+C=0的距離為d=

yl^+B2

|Ci-C|

(2)兩平行線/i：Ax+By+Ci=0,/：Ax+By+Ci=0間的距離為"=2

2曲+/

2.圓的方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x—a)2+(y—。)2=/.

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+￡y+F=0(￡)2+E2-4F>0).

(3)圓的直徑式方程：(x—xi)(x—x2)+(y—")=0(圓的直徑的兩端點(diǎn)是

A(xi,yi),3(x2,>2)).

3.圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)

名稱橢圓雙曲線拋物線

\PF\\+\PF2\=\m-\PF2\\=|PF1=|PMPM，/于

定義

2a(2a>\F\F2\)2a(2a<\FiFi\)M

y22『v2

標(biāo)準(zhǔn)方程方=1(">>>。)U一方=1(。>6b>0)y1=2px(p>0)

圖形TK

長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)2cb虛軸長(zhǎng)

軸

幾2b2b

何cIb2-e=~=\l1+^2

e=~=\/1——

離心率a\laa\la~e=1

性

(0<e<l)(e>D

質(zhì)

b

漸近線y=±ax

4.弦長(zhǎng)的求解方法

設(shè)直線與圓錐曲線交于A(xi,y),Bg竺)兩點(diǎn)，若直線的斜率存在(設(shè)

為勒則|A用=叫1+妁加一刈；若30,為m=寸+治一"|,其中陽(yáng)一間=

、(XI+X2)2—4XIX2,|yi—)，2|=#3+”)2—46”.當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),可直

接求出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長(zhǎng).

環(huán)節(jié)二二級(jí)結(jié)論要用巧

1.直線/i：Aix+Biy+G=0與直線/2：A2x+&y+C2=