高等數(shù)學期末試卷及答案

PAGEPAGE9高等數(shù)學測試題一一、單項選擇題(每小題4分，滿分20分)1．曲面在點處的切平面方程是（）A.B.C.D.2．設函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，，則=（）A.B.C.D.3．設空間區(qū)域，則下列等式（）成立.A.B.C.D.4．下列級數(shù)中，絕對收斂的級數(shù)是（）A.B.C.D.5．已知冪級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級數(shù)的收斂域為（）A.B.C.D.二、填空題(每小題4分，滿分20分)6．通過曲線且母線平行于軸的柱面方程為．7．設函數(shù)，其中是由確定的隱函數(shù)，則．8．微分方程的通解為．9．交換積分次序．10．級數(shù)的收斂半徑．三、計算題(每小題6分，滿分30分)11．求函數(shù)的極值．12．求曲面介于兩平面與之間的部分的面積．13．求微分方程滿足條件的特解．14．求過點和且垂直于平面的平面方程．15．求冪級數(shù)的和函數(shù)．四、理論及其應用題（每題滿分8分，共24分）16．求二階線性非齊次微分方程滿足條件的特解．17．已知點與的直角坐標分別為與．線段繞軸旋轉一周所成的旋轉曲面為．求由及兩平面所圍成的立體體積．18．將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求的和．五、證明題（本題滿分6分）19．設是的函數(shù)，且，求證：．《高等數(shù)學（下）》測試題一參考答案一、1．B；2．D；3．C；4．C；5．A．二、6．；7．1；8．；9．；10．1/2．三、11．解，由解得駐點，又因為，則在點處，，，且，故點是函數(shù)的極小值點，極小值為．12．解．13．解因均為二次齊式，故所給方程為齊次微分方程．令，則，代入方程，得，即．兩邊積分，得，將代回，得通解．由初始條件，得．故所求特解為．14．解由題設知，所求平面的法向量，既垂直于已知平面的法向量，又垂直于向量，故可取，由此得所求平面的點法式方程為，即．15．解因為，，記，則，對上式從0到的積分，得，故.四、16．解原方程對應的齊次方程為，齊次方程的特征方程是，解得其特征根為，于是齊次方程的通解為．由于不是特征根，故非齊次方程的特解形式應設為，將它代入非齊次微分方程中，得.于是，非齊次微分方程的通解為.將初始條件代入，得，故所求的特解為．17．解直線的方程為，即過軸上的中任一點且垂直于軸截旋轉體所得截面是一個圓，與交于點．于是圓的半徑為，面積為．因此，．18．解因為當時，有所以，取，得．五、19．證明在方程兩邊同時對求導數(shù)得，.同理，得，將所求偏導數(shù)代入等式，即得恒等式．故命題得證．《高等數(shù)學（下）》測試題二一、單項選擇題(每小題4分，滿分20分，把答案寫在括號內(nèi))1．函數(shù)在原點處的偏導數(shù)存在情況是（）(A)存在，存在；(B)存在，不存在；(C)不存在，存在；(D)不存在，不存在．2．變換積分的次序為（）(A)；(B)；(C)；(D)．3．直線與平面的關系是（）(A)互相平行，不在上；(B)在上；(C)垂直相交；(D)相交但不垂直．4．若級數(shù)與均收斂，則下列級數(shù)絕對收斂的是（）A．；B．；C．；D．．5．設平面區(qū)域是由直線及兩條坐標軸所圍成，記；則有（）(A)；(B)；(C)；(D)．二、填空題(每小題4分，滿分20分，把答案寫在橫線上)6．過點且與直線垂直的平面方程是．7．微分方程的通解為．8．已知平面是曲面在點處的切平面，則的值等于．9．級數(shù)的收斂域為．10．是由與所圍成的圖形在第一象限內(nèi)的部分，則二重積分．三、基本計算題(每小題6分，共30分)11．設，其中具有二階偏導數(shù)，求．12．已知，且與的夾角，求以和為邊的平行四邊形的面積．13．設是由曲線繞軸旋轉一周而成的曲面與平面圍成的空間區(qū)域，求．14．求微分方程的通解．15．將函數(shù)展開成的冪級數(shù)．四、概念及其應用題（每小題8分，共24分）16．求的極值．17．求曲面與所圍立體的體積．18．求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域及和函數(shù)．五、證明題（本題6分）19．證明滿足方程．《高等數(shù)學（下）》測試題二參考答案一、1．B；2．D；3．A；4．C；5．B．二、6．；7．；8．3；9．；10．．三、11．解，．12．解由向量積的幾何意義知，以和為邊的平行四邊形面積為13．解由旋轉拋物面與平面圍成．曲面與平面的交線為選用柱坐標變換由題意得積分區(qū)域，于是14．解由特征方程得特征根為，所以，齊次方程的通解為，又由是特征方程的單根，于是，即，代入公式中，得，所以，從而，原方程的通解為．15．解