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文檔簡介
2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析
2019年上半年教師資格考試高中數(shù)學(xué)
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.下列選項(xiàng)中,運(yùn)算結(jié)果一定是無理數(shù)的是()
A.有理數(shù)和無理數(shù)的和B.有理數(shù)與有理數(shù)的差
C.無理數(shù)和無理數(shù)的和D.無理數(shù)與無理數(shù)的差
2
Xacost,
.2
2.在空間直角坐標(biāo)系中,由參數(shù)方程yasmt,(0Wt<2)所確定的曲線的
Zasin2t,
一般方程為()
222222
xya,Xy'a,Xya.Xya,
C.
A.2B.2D.2
z2xyz4xyZ22xyZ4xy
xcoscos,
3.已知空間直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的變換公式為ycossin,(0,
zsin,
,--),則在球坐標(biāo)系中,=一表示的圖形是()
223
A.柱面B.圓面C.半平面D.半錐面
4.設(shè)A為n階矩陣,B是經(jīng)A若干次初等行變換得到的矩陣,則下列結(jié)論正確
的是()
A.|A|=|B|B.|A|A|B|
C若|A|=0,則一定有|B|=0D.若|A|>0,則一定有|B|>0
n112n11,
5.已知fX1X,則f(1)=()
n12n1!
A.-1B.0C.1D.
111
6.若矩陣Ax4y有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,2是A的二重特征根,
335
則()
A.x=-2,y=2B.x=1,y=-1C.x=2,y=-2D,x=-1?y=1
7.下列表述屬于數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的是()
①利用圖形描述,分析數(shù)學(xué)問題;
2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析
②借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系,形態(tài)變化和運(yùn)動(dòng)規(guī)律;
③建立形與數(shù)的關(guān)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題直觀模型,探索解決問題的思路;
④在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,分析問題建立模型。
A.①②⑤B.?2)@D.②??
8.下列描述為演繹推理的是()
A.從一般到特殊的推理B.從特殊到一般的推理
C.通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)論的推理D.通過觀察猜想得到結(jié)論的推理
二、簡答題(本大題共5小題,每小題7分,共35分)
9.一次實(shí)踐活動(dòng)中,某班甲、乙兩個(gè)小組各20名同學(xué)在綜合實(shí)踐基地脫玉米、完
成脫粒數(shù)量(千克)的數(shù)據(jù)如下:
甲組:57,59,63,63,64,71,71,71,72,7575,
78,79,82,83,83,85,86,86,89
乙組:50,53,57,62,62,63,65,65,67,68
69,73,76,77,78,85,85,88,94,96
問題:
(D)分別計(jì)算甲、乙兩組同學(xué)脫粒數(shù)量(千克)的中位數(shù);(2分)
0)比照甲,乙兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)你給出2種信息,并說明實(shí)際意義。(5分)
10.在空間直角坐標(biāo)系下,試判定直線li:xy1。,與直線J:
x2yz20
2LJ」的位置關(guān)系,并求這兩條直線間的距離。
211
11.在平面直角坐標(biāo)系下,
(1)三次多項(xiàng)式函數(shù)的圖象過四個(gè)點(diǎn)Pi(0,1),Pi(1,3),P3(-1,3),
P4(2,15),求該三次多項(xiàng)式函數(shù)的表達(dá)式;(4分)
(2)設(shè)Pi(X”yi)(i=1,2,,n)是平面上滿足條件Xi〈X2〈Xn的n個(gè)點(diǎn),
則由這n個(gè)點(diǎn)所唯一確定的多項(xiàng)式函數(shù)的最高次數(shù)是多少?簡要說明理由。(3
分)
12.高中數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)性課程,簡述“基礎(chǔ)性”的含義,并
舉例說明。
13.評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該采用多樣化的方式,請(qǐng)列舉四種不同類型的評(píng)價(jià)方
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式。
三、解答題(本大題1小題,10分)
14.設(shè)R2為二維歐式平面,F(xiàn)是R2到R2的映射,如果存在一個(gè)實(shí)數(shù),01,
使得對(duì)于任意的P,QeR2,有d(F(P),F(Q))Wd(P,Q),(其中d
(P,Q)表示P,Q兩點(diǎn)間的距離),則稱F是壓縮映射。
設(shè)映射T:R2R2,
T((x,y))=Lx,ly>x,yR2<,
23
(1)證明:映射T是壓縮映射:(4分)
(2)設(shè)Po=Po(Xo,yo)為R2中任意一點(diǎn),令Pn=T(Pn-1),n=1,2,3,,證明:
n8時(shí),平面點(diǎn)列{Pn}收斂,并求limPn。(6分)
四、論述題(本大題1小題,15分)
15.函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主線,請(qǐng)結(jié)合實(shí)例談?wù)勅绾斡煤瘮?shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)中學(xué)
數(shù)學(xué)課程中的方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容。
五、案例分析題(本大題1小題,共20分)
16.案例:下面提供的案例是教師A和教師B在《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教學(xué)
中的“課堂提問”。
教學(xué)環(huán)節(jié)教師A教師B
概念的引入1.方程lnx+2x-6=0是否有1.觀察三組一元二次方程
實(shí)數(shù)根?及其相應(yīng)的二次函數(shù),你
2.在初中你是如何判斷一能發(fā)現(xiàn)方程的根和函數(shù)
個(gè)方程是否有實(shí)數(shù)根圖象與X軸交點(diǎn)之間有何
的?關(guān)系嗎?
3.函數(shù)與方程之間有什么
關(guān)系?
概念的學(xué)習(xí)4.怎樣定義函數(shù)的零點(diǎn)?2.函數(shù)的零點(diǎn)如何定義?
5,函數(shù)的零點(diǎn)是零嗎?3.f(x)=-x2-2x+3的零點(diǎn)
是什么?
4.根據(jù)下列函數(shù)圖象,判
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斷函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)?
概念的意義6.函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義是5.函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義
什么?是什么?
零點(diǎn)存在性定理的引入7.根據(jù)函數(shù)圖象判斷滿足6.觀察f(x)=-x2-2x+3的
什么條件時(shí)函數(shù)有零圖象,它在卜4,-2]上有零
點(diǎn)?點(diǎn),計(jì)算f(-4)和f(-2)
的乘積,你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)乘
積有什么特點(diǎn)?在區(qū)間
[0,2]上是否也具有這種
特點(diǎn)?
零點(diǎn)存在性定理的學(xué)習(xí)(教師板書:如果函數(shù)(教師板書:如果函數(shù)
y=f(x)在區(qū)間[a,b]上y=f(x)在區(qū)間[a,b]上
的圖象是連續(xù)不斷的一的圖象是一條連續(xù)不斷的
條曲線,并且有f(a)-f一條曲線,并且f(a)4
(b)<0,那么函數(shù)y=f6)<0,那么函數(shù)y=f
(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)
有零點(diǎn),即存在CG(a,有零點(diǎn),即存在ce(a,
b)使f(c)=0,這個(gè)cb)使得f(c)=0,這個(gè)c
也就是方程f(c)團(tuán)的根)也就是方程f(x)=0的根)
8.滿足定理?xiàng)l件的函數(shù)零7.為何要求函數(shù)的圖象
點(diǎn)是唯一的嗎?連續(xù)?
9.滿足什么條件零點(diǎn)唯8.能否由“函數(shù)f(x)
一?依據(jù)是什么?在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)'
得到“f(a)?f(b)VO”?
9.如果函數(shù)圖象在[a,b]±
連續(xù),能否由“f(a)?f
(b)VO”判斷函數(shù)在區(qū)
間(a,b)內(nèi)零點(diǎn)只有一
個(gè)?
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例題及練習(xí)、小結(jié)(略)(略)
問題:
?)請(qǐng)對(duì)兩位教師的課堂提問進(jìn)行評(píng)價(jià),并簡述理由;(15分)
0)請(qǐng)對(duì)兩位教師“概念引入”環(huán)節(jié)的課堂提問給出改進(jìn)建議。(5分)
六、教學(xué)設(shè)計(jì)題(本大題1小題,30分)
17.“簡單隨機(jī)抽樣(第一課時(shí))”的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)如下。
目標(biāo)一:學(xué)會(huì)從現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科中提出具有一定價(jià)值的統(tǒng)計(jì)問題,理解隨機(jī)
抽樣的必要性;
目標(biāo)二:結(jié)合具體的實(shí)際問題情境,體會(huì)簡單隨機(jī)抽樣的重要性;
目標(biāo)三:以“問題鏈”的形式理解樣本是否具有代表性。
要求:
0)請(qǐng)針對(duì)上述教學(xué)目標(biāo),完成下列任務(wù):
①根據(jù)教學(xué)目標(biāo)一,設(shè)計(jì)兩個(gè)問題,并說明設(shè)計(jì)意圖;(8分)
②根據(jù)教學(xué)目標(biāo)二,給出一個(gè)實(shí)例,并說明設(shè)計(jì)意圖;(4分)
③根據(jù)教學(xué)目標(biāo)三,設(shè)計(jì)“問題鏈"(至少包含兩個(gè)問題),并說明設(shè)計(jì)意圖。
(6分)
0)請(qǐng)針對(duì)“簡單隨機(jī)抽樣”的內(nèi)容,回答下列問題:①這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)
是什么?(4分)
②作為高中階段“統(tǒng)計(jì)”學(xué)習(xí)的起始課,其難點(diǎn)是什么?(4分)
③這節(jié)課對(duì)后續(xù)哪些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有直接影響?(4分)
答案解析
一、單項(xiàng)選擇題
1A【解析】(1)有理數(shù)與有理數(shù):和、差、積、商均為有理數(shù)(求商時(shí)分母不
為零)。(2)有理數(shù)與無理數(shù):①一個(gè)有理數(shù)和一個(gè)無理數(shù)的和、差為無理數(shù);
②一個(gè)非零有理數(shù)與一個(gè)無理數(shù)的積、商為無理數(shù)。(3)無理數(shù)與無理數(shù):和、
差、積、商可能是有理數(shù),也可能是無理數(shù)。故本題選Ao
2d
xacos,t,
2B【解析】由ya"t可得x+y=acos2222(2sintcost)2
sin,t+asint=a,z=a=4xy,
zasin2t
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所以將參數(shù)方程化為一般方程為④故選B。
z4xy。
X1
-
2
X
消
參得
得
y1到
3.D【解析】將=-代入到y(tǒng)-
32
z
ZVI2
Z收3y2,該方程是由yOz平面上的射線z氐(z>0)繞z軸旋轉(zhuǎn)得到
的,它表示以原點(diǎn)為頂點(diǎn),以射線z抬y(z>0)為母線,以z軸為中心軸的半
錐面。故選Do
4.C【解析】矩陣的初等行(列)變換有:①交換矩陣的兩行(列);②將一個(gè)
非零數(shù)k乘到矩陣的某一行(列);③將矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行
(列)上。若矩陣A經(jīng)過上面三種初等變換得到矩陣B,則對(duì)應(yīng)的行列式的關(guān)
系依次是|A|=-|B|,|A|=k|B|,|A|=|B|o即|A|=a|B|,aeR,所以|A|=0時(shí)必有舊|=0。
故選Co
5.B【解析】根據(jù)泰勒公式的展開式
352n12n1
XX[n1Xn1X
sinxw=x——1所以
3!5!2n1!n12n1!
2n1
n11
fX1xsinx>f(1)=sin=0。故選B。
n12n1!
6.C【解析】由題意可知矩陣A可以相似對(duì)角化,且2對(duì)應(yīng)兩個(gè)線性無關(guān)的
特征向量,所以2EAx。有兩個(gè)線性無關(guān)的解,即有3r2EA2
,所
111111
以r2EA=1。2EAx2yx2y要使r2EA=1,則
333000
有寸+
T,可得x=2,y=-2o故選Co
x2y
7.A【解析】直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利
用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括:借助空間形式
認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建
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立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路。④中的描述
屬于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。故選Ao
8.A【解析】演繹推理是從一般規(guī)律出發(fā),運(yùn)用邏輯證明或數(shù)學(xué)運(yùn)算,得出特殊
事物應(yīng)遵循的規(guī)律,即從一般到特殊的推理。歸納推理是由個(gè)別、特殊到一般的
推理,通過實(shí)驗(yàn)結(jié)論和通過觀察猜想得到結(jié)論的推理都是歸納推理。故選A,
二、簡答題
9.【解析】(1)根據(jù)中位數(shù)的定義知,甲組脫粒數(shù)量的中位數(shù)為三上75,
2
乙組脫粒數(shù)量的中位數(shù)為為竺E68.5。
2
(2)①甲組同學(xué)脫粒數(shù)量的平均值為
(57+59+63+63+64+71+71+71+72+75+75+78+79+82+83+83+85+86+86+89)4-
20=74.6,乙組同學(xué)脫粒數(shù)量的平均值為
(50+53+57+62+62+63+65+65+67+6869+73+76+77+78+85+85+88+94+96)4-
20=71.65。根據(jù)平均數(shù)的大小比較可知,甲組脫粒速度更快。
②根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況,能夠看出甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定,乙組數(shù)據(jù)波動(dòng)很大。進(jìn)
而可知,甲組同學(xué)的脫粒能力差不多,而乙組同學(xué)脫粒能力存在很大的個(gè)體差異性。
ijk
10?【解析】根據(jù)直線的方程可知,直線k的方向向量ni11Q1,1,1,
121
直線L的方向向量ri22,1,1。在li中令y=0,可得L過k
Mi=(-1,0,-1),
又I2過點(diǎn)M2(1,-1,0),M1M22,1,1。因?yàn)榛旌戏e
111
Qn2MlM221120,即向量n-鹿,M1M2不共面,所以直線
211
Il與直線l2異面。
ijk
直線I1與直線I2的公垂線的方向向量I%n21112,1,3,
211
M1M22,1,1,則兩直線之間的距離等于向量M1M2在向量?方向上的投影的
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長度,即d?M1M2|2|Vl4。
-fij-E7
11.【解析】(1)設(shè)三次多項(xiàng)式的表達(dá)式為f(x)=a3x3+a2x2+aix+a。,根據(jù)題意
a01,
得,@3a2aia03,解得a=1,a=2,a=?1,a=1,所以f(x)=x3+2x2-x+1。
3210
8.3S2SiSo3,
8a34a22ala。15,
(2)平面上n個(gè)橫坐標(biāo)不同的點(diǎn)唯一確定的多項(xiàng)式函數(shù)的最高次數(shù)是n-1。設(shè)多
n-1n2
項(xiàng)式g(x)=an-ix+an-2x-++a2x2+a1x+ao的圖象經(jīng)過R(xnyD(i=1,2,
2
n1n2axax
Qn2X1a
an321110
2
n1n2axaxa
2X2y,,
n),則有叫空221202這是一個(gè)關(guān)于ai(i=0,
2
n1n2axaxay,
22n1n0n
1,,n-1)的非齊次線性方程組,它的系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的行列式為n階范德蒙德
n2n1111
1X1XiXiXXX
n12n
1XX2n1
22x2
行列式Xj為0
n2n2n21ijn
n2XiX2Xn
1XXn1
nnXnn1n1n1
Xix2Xn
因?yàn)閤1<X2<<Xn,所以此行列式不等于0o由克拉默法則得,該線性方程組有
唯一解,即存在唯一的一組數(shù)句(i=0,1,,n-1)o所以由這n個(gè)點(diǎn)所唯一確
定的多項(xiàng)式函數(shù)的最高次數(shù)是n-1。
12.【參考答案】高中數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性的具有以下幾點(diǎn)含義。
①高中數(shù)學(xué)課程在課程內(nèi)容上包含了數(shù)學(xué)中最基本的部分。在義務(wù)教育階段之后,
為滿足需求給學(xué)生提供更高水平的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),面向全體學(xué)生提供了學(xué)生現(xiàn)階段學(xué)
習(xí)及未來發(fā)展所需要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),為學(xué)生的未來發(fā)展奠定基礎(chǔ)。
②高中數(shù)學(xué)課程為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供了選修內(nèi)容。例如,高中數(shù)學(xué)設(shè)有選修與
必修課程,必修課程是為了滿足所有學(xué)生的共同數(shù)學(xué)需求,選修系列課程是為了滿
足學(xué)生的不同數(shù)學(xué)需求,它仍然是學(xué)生發(fā)展所需要的基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)課程。
③高中數(shù)學(xué)課程為學(xué)生適應(yīng)未來社會(huì)生活,高等教育和職業(yè)發(fā)展等提供必需的數(shù)
學(xué)基礎(chǔ)。例如,大學(xué)階段理工科類的學(xué)生需要更多的數(shù)學(xué)知識(shí),而高中數(shù)學(xué)課程
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為大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供了必備的基礎(chǔ)知識(shí)。
④高中數(shù)學(xué)課程也為學(xué)生學(xué)習(xí)其他學(xué)科的課程,如高中物理、化學(xué)技術(shù)等,提供
了必要的知識(shí)準(zhǔn)備。
13.【參考答案】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的形式多樣,主要有口頭測驗(yàn)、書面測驗(yàn)、開放
式問題研究、活動(dòng)報(bào)告、課堂觀察、課后訪談、課內(nèi)外作業(yè)、建立成長記錄袋等。
下面列舉幾種不同的評(píng)價(jià)方式進(jìn)行闡述。
①口頭測驗(yàn),是指在教學(xué)過程中教師通過與學(xué)生之間的言語互動(dòng),及時(shí)地了解學(xué)
生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況,找出問題并及時(shí)糾正。
②書面評(píng)語評(píng)價(jià),教師對(duì)學(xué)生的作業(yè)或者其他活動(dòng)報(bào)告所做的書面性的評(píng)價(jià)。評(píng)
價(jià)形式不僅僅是分?jǐn)?shù)或者等級(jí),評(píng)語一般以鼓勵(lì)為主,用以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)與解決
問題。
③課后訪談,是指教師通過課后與學(xué)生的溝通交流了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況的-種
評(píng)價(jià)方式。這種評(píng)價(jià)方式可以幫助老師更直接地了解到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況
④建立成長記錄袋,了解學(xué)生的成長經(jīng)歷,可以有效地幫助他們確立今后的學(xué)習(xí)
目標(biāo)與方向。
三、解答題
14.【解析】(1)證明:設(shè)P(XP,yp),Q(XQ,yo)是R2上任意的兩點(diǎn),則T
(P)=T((Xp,yp))=(1x1>),T(Q)=T((XQ,yQ))=(1x1y)。
-p?一P—Q,-Q
2323
d(T(P),T(Q))
11I?2
Xx11
J_p-Q-yp-yo
V2233
22
11/2
12
;
、二XpXQ-yPyQj-XpxQ-yPyQ
4
1_________2__________2_j41
1xxxxdP,Q,即存在滿足題意的所以映射T
—VPQPQ
2v22
是壓縮映射。
一D、/111
(2)由于Pn=T(Pn-1)=T(T(Pn-2)):==「(「。)=(—7Xo,-7y()),因?yàn)閘imrxo0,
23n2
1
m
J—y00,所以點(diǎn)列{Pn}收斂,且limFJ,0,0。
3n
2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析
四、15.【參考答案】函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主線,同時(shí)也對(duì)應(yīng)著重要的數(shù)學(xué)思
想方法,就是函數(shù)與方程的思想方法。函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析
問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題;方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手,應(yīng)用數(shù)學(xué)語言
將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,包括方程、方程組和不等式、不等式組,然后
通過解方程或不等式來解決問題。
首先,函數(shù)與方程,中學(xué)數(shù)學(xué)課程中一元二次方程的求解問題,可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)
函數(shù)的零點(diǎn)問題。方程是利用算術(shù)來從數(shù)量關(guān)系入手解決問題,函數(shù)是集合間的
映射關(guān)系,當(dāng)需要計(jì)算函數(shù)值時(shí),可以利用方程的運(yùn)算方法;在求解方程時(shí)也可
以利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象。例如當(dāng)y=0時(shí),函數(shù)x的值表示函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)
的橫坐標(biāo),也就是方程的根,那么交點(diǎn)的數(shù)量就是方程的根的數(shù)量,也是方程的
根的判別式的判別目的。
其次,函數(shù)與不等式,用函數(shù)的觀點(diǎn)來看,不等式的解集就是使函數(shù)圖象y=f(x)
在x軸上方或下方的x的區(qū)域。在解不等式時(shí)可以借助函數(shù)的圖象來理解和運(yùn)算,
也就是經(jīng)典的線性規(guī)劃問題。
最后,函數(shù)與數(shù)列,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看作是關(guān)于首項(xiàng)和公差(公比)的
一次函數(shù)的離散化,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是二次函數(shù)的離散化,等比數(shù)列的
通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式都是指數(shù)函數(shù)的離散化,因此可以將借助函數(shù)的性質(zhì)
來研究數(shù)列,可以通過函數(shù)圖象和解析式來求得數(shù)列的某些值。
五、案例分析題
16【參考答案】(1)課堂提問的原則主要有以下八種,分別為:有目的性原則、
啟發(fā)性原則、適度性原則、興趣性原則、循序漸進(jìn)性原則、全面性原則、充分思考
性原則、及時(shí)評(píng)價(jià)性原則。
A教師的課堂提問中遵循了目的性、循序漸進(jìn)、充分思考性等幾個(gè)原則。但是違
背了啟發(fā)性、適度性、全面性、興趣性以及時(shí)評(píng)性原則。
首先是啟發(fā)性、適度性和全面性原則。教師A提出的問題普遍特點(diǎn)是相對(duì)比較難
的,比較抽象,適合于中等及以上的同學(xué),沒有考慮全體學(xué)生的水平,所以,違
背了適度性和全面性原則。其次是違背了興趣性原則。教師A在教學(xué)中,例
子相對(duì)比較少,更多的是直接提問知識(shí)層面上的問題,讓學(xué)生直接思考。沒有考
慮從學(xué)生的興趣出發(fā),調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。最后是及時(shí)評(píng)價(jià)性原則。教師A在
整個(gè)教學(xué)中,沒有體現(xiàn)出對(duì)學(xué)生的回答及時(shí)做出評(píng)價(jià)。
2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析
B教師的課堂提問中遵循了目的性、啟發(fā)性、循序漸進(jìn)性、充分思考性、興趣性、
適度性、全面性等幾個(gè)原則。但是沒有遵循及時(shí)評(píng)價(jià)性原則。教師B在整個(gè)的
教學(xué)過程中,能夠充分的利用例子,通過循序漸進(jìn)的提問,幫助學(xué)生一步一步理
解函數(shù)的零點(diǎn)的概念以及方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系。
但在提問過程中,B教師沒有對(duì)學(xué)生的回答及時(shí)做出評(píng)價(jià)。在教學(xué)中,對(duì)學(xué)生的
表現(xiàn)進(jìn)行及時(shí)的評(píng)價(jià),這樣才能夠保證學(xué)生與教師的快速成長。
(2)A老師概念引入部分的提問沒有遵循循序漸進(jìn)性的原則,問題的設(shè)置要考
慮學(xué)生的認(rèn)知水平,問題的設(shè)置應(yīng)該由易到難、由簡到繁。對(duì)于教師A的建議:
應(yīng)該先提問:同學(xué)們,初中你是如何判斷一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根的?(回顧之前學(xué)過
的方法)用初中的方法判斷l(xiāng)nx+2x-6=0是否有實(shí)數(shù)根嗎?(引導(dǎo)學(xué)生思考方程和
函數(shù)之間的關(guān)系)
B教師的概念引入雖然給出了三組實(shí)例,但還需在函數(shù)的類型上進(jìn)行改進(jìn),不單
單只呈現(xiàn)一元二次方程及其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù),還可以增加一次方程及其對(duì)應(yīng)函數(shù)
讓學(xué)生進(jìn)行觀察。
六、教學(xué)設(shè)計(jì)題
17.【參考答案】(1)①問題一:某校領(lǐng)導(dǎo)要了解全校學(xué)生的視力情況(近視和
不近視),隨機(jī)抽取50名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)出這50名學(xué)生的視力情況,最后估計(jì)出全
校學(xué)生的視力情況。你會(huì)設(shè)計(jì)何種抽樣方法?你認(rèn)為這種抽樣方法有什么優(yōu)缺
點(diǎn)?在隨機(jī)抽取的過程中應(yīng)該注意什么?
問題二:假設(shè)你是一名藥品安全監(jiān)測的工作人員,要對(duì)一批藥品進(jìn)行安全監(jiān)測,
你準(zhǔn)備怎樣做?需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行一一調(diào)查嗎?那么,應(yīng)該怎樣獲取樣本呢?
設(shè)計(jì)意圖:兩個(gè)問題的提出讓學(xué)生對(duì)于簡單隨機(jī)抽樣有一個(gè)初步了解,意識(shí)到簡
單隨機(jī)抽樣在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用,與我們的生活息息相關(guān)。并將抽樣調(diào)查與
普查進(jìn)行對(duì)比,引導(dǎo)學(xué)生提出抽樣的必要性。
②實(shí)例:經(jīng)消費(fèi)者反映,某品牌牛奶存在細(xì)菌超標(biāo)問題。針對(duì)該問題,食品衛(wèi)生
工作人員需要對(duì)該品牌牛奶進(jìn)行衛(wèi)生達(dá)標(biāo)檢驗(yàn)。但是,若食品衛(wèi)生工作人員對(duì)該
品牌所有牛奶進(jìn)行逐一檢測,將面臨巨大的工作壓力。因此,食品衛(wèi)生工作人員
只隨機(jī)抽取該品牌部分牛奶進(jìn)行衛(wèi)生檢測。
2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析
設(shè)計(jì)意圖:將實(shí)際生活問題作為實(shí)例進(jìn)行教學(xué),不僅可以使學(xué)生對(duì)簡單隨機(jī)抽樣
方法有更深的理解,還可以使其感受在面對(duì)總體數(shù)量較多時(shí),簡單隨機(jī)抽樣方法
的重要性。
③師:在1936年美國總統(tǒng)選舉前,某雜志工作人員做了一次民意測驗(yàn),即調(diào)查蘭
頓和羅斯福誰將成為美國的下一屆總統(tǒng)。該調(diào)查者通過電話簿和車輛登記簿上面
的名單(只有少數(shù)富人擁有)給一大批人發(fā)了調(diào)查表,通過分析調(diào)查表數(shù)據(jù),從
而做出預(yù)測。
問題一:該雜志工作人員運(yùn)用了什么抽樣方法?研究的總體和樣本分別是什么?
該抽樣方法具有什么特征?
設(shè)計(jì)意圖:結(jié)合生活實(shí)際描述問題情境并設(shè)置問題,加深學(xué)生對(duì)簡單隨機(jī)抽樣方
法的理解,使其進(jìn)一步明確簡單隨機(jī)抽樣的特征,并巧妙地為后面問題做鋪墊。
師:該雜志工作人員做出的預(yù)測是蘭頓將在選舉中獲勝。但實(shí)際情況是,羅斯福
在選舉中獲勝。
問題二:你知道該雜志的工作人員的預(yù)測為什么是錯(cuò)誤的嗎?分析該工作人員的
抽樣樣本可以發(fā)現(xiàn)什么?該樣本是否具有代表性?
設(shè)計(jì)意圖:顛覆性的結(jié)果,引出抽樣問題。使學(xué)生自主思考和探究問題,可以培
養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問題的習(xí)慣以及發(fā)現(xiàn)問題的能力。
師:該抽樣樣本中涉及的調(diào)查者是富人階層,只占所有選票中的少數(shù)。所以該工
作人員所抽取的樣本不具有代表性。
問題三:結(jié)合上述實(shí)例,在運(yùn)用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取樣本時(shí),應(yīng)該注意什么?
除此之外,還應(yīng)該注意什么?
設(shè)計(jì)意圖:通過實(shí)例使學(xué)生理解樣本是否具有代表性的重要性。此外,該問題進(jìn)
一步開拓學(xué)生的思維,從而達(dá)到總結(jié)出簡單隨機(jī)抽樣時(shí)需要注意的問題的目的。
(2)①教學(xué)重點(diǎn):了解簡單隨機(jī)抽樣方法的意義;理解簡單隨機(jī)抽樣方法的定
義;掌握簡單隨機(jī)抽樣最常用的兩種方法一一抽簽法和隨機(jī)數(shù)法。靈活選用抽樣
方法。
②教學(xué)難點(diǎn):理解一些統(tǒng)計(jì)名詞;抽簽法和隨機(jī)數(shù)法的實(shí)施步驟;面對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)
時(shí),正確判斷所選取的抽樣方法是否合適。
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③本節(jié)課是高中階段學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的第一節(jié)課,統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、整理、
分析數(shù)據(jù)的學(xué)科,它可以為人們制定決策提供依據(jù)。本節(jié)課對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)用樣本
估計(jì)總體以及變量的相關(guān)關(guān)系有直接影響。
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2019下半年高中數(shù)學(xué)教師資格證真題
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
ax八
1.若函數(shù)f(x)=e>xU,在x=o處可導(dǎo),則a,b的值是()
bsin2x,x0,
A.a=2,b=1B.a=1,b=2
C.a=-2,b=1D.a=2,b=-1
n.1
2.若函數(shù)f(x)=XSin7,X°,的一階導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù),則正整數(shù)n的取
0,x0
值范圍是()
A.n23B.n=2
C.n=1D.n=0
3?已知點(diǎn)Mi(1,2,-1),M2(1,3,0),若平面1過點(diǎn)Mi且垂直于MIM2,
則平面2:6x+y+18z-18=0與平面1之間的夾角是()
A.—B.—C.—D.一
6432
4.若向量a,b,c滿足a+b+c=0,那么axb=()
A.bXaB.cXb
C.bXcD.aXc
5.設(shè)n階方陣M的秩r(M)=r<n,則M的n個(gè)行向量中()
A.任意一個(gè)行向量均可由其他r個(gè)行向量線性表示
B.任意r個(gè)行向量均可組成極大線性無關(guān)組
C.任意r個(gè)行向量均線性無關(guān)
D.必有r個(gè)行向量線性性無關(guān)
6.下列變換中關(guān)于直線y=x的反射變換是()
10cossin
A.M,B.M2
01sincos
0110
C.MD.M4
31001
7.下列對(duì)向量學(xué)習(xí)意義的描述:
①有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科的聯(lián)系;
2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析
②有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義及價(jià)值,發(fā)展運(yùn)算能力;
③有助于學(xué)生掌握處理幾何問題的一種方法,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想
④有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)不同內(nèi)容之間存在廣泛的聯(lián)系。
其中正確的共有()
條B.2條C.3條D.4條
8.數(shù)學(xué)歸納法的推理方式屬于()
A.歸納推理B.演繹推理C.類比推理D.合情推理
二、簡答題(本大題共5小題,每小題7分,共35分)
i03
9.已知線性變換Y=AX+B,其變換矩陣A,B。
015
3
?)寫出橢圓3zi1在該變換下的曲線方程;
49
。)舉例說明在該變換條件下,什么性質(zhì)不變,什么性質(zhì)發(fā)生變化(例如距離、
斜率、相交等)。
In5
10.f(x)=lnx(x>0),g(x)=x1。
4
0)求曲線y=f(x)與g(x)所圍成圖形的面積;
0)求平面圖形OWyWf(x),1WxW3,繞y軸旋轉(zhuǎn)所得體積。
11.一個(gè)袋子里8個(gè)黑球,8個(gè)白球,隨機(jī)不放回連續(xù)取球5個(gè),每次取出1個(gè)球,
求最多取到3個(gè)白球的概率。
12.數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn),以及它們的形成和發(fā)
展,還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義,以及與數(shù)學(xué)
相關(guān)的人文活動(dòng)。請(qǐng)你給出數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的兩個(gè)事例。
13.簡述數(shù)學(xué)建模的過程。
三、解答題(本大題共1小題,10分)
14.f(x)在[a,b]上連續(xù),且f(a)?f(b)<0,請(qǐng)用二分法證明f(x)=0在
區(qū)間[a,b]上至少有一個(gè)根。
四、論述題(本大題共1小題,15分)
15.有人說,當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)欠缺的是思維能力的培養(yǎng),請(qǐng)談?wù)勀愕目捶?,并給出
2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析
具體的教學(xué)建議。
五、案例分析題(本大題共1小題,20分)
16.案例:
在學(xué)習(xí)了“直線與圓的位置關(guān)系”后,教師要求學(xué)生解決如下問題:
22
求過點(diǎn)P(2,3)且與圓O:(X-1)+y=1相切的直線I的方程。
一位學(xué)生給出的解法如下:
2
由圓。:(X-1)+y2=1知,圓心0(1,0),半徑為1,設(shè)直線I的斜率為k,
22
則其方程為y-3=k(x-2),即kx-y-2k+3=0?因?yàn)橹本€I與圓O:(x-1)+y=i
相切,所以圓心O到直線I的距離dJ解得k=f,所以,所求直
丙3
線I的方程為4x-3y+1=0o
問題:
。)指出上述解法的錯(cuò)誤之處,分析錯(cuò)誤原因,并給出兩種正確解法;(14
分)
。)針對(duì)該題的教學(xué),談?wù)勅绾卧O(shè)置問題,幫助學(xué)生避免上述錯(cuò)誤。(6分)
六、教學(xué)設(shè)計(jì)題(本大題共1小題,30分)
17.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)對(duì)“導(dǎo)數(shù)的概念及其意義”提出的學(xué)
習(xí)要求為:①通過實(shí)例分析,經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程,了
解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá),體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)
涵與思想。
②體會(huì)極限思想。
③通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。
請(qǐng)針對(duì)“導(dǎo)數(shù)的概念及其意義”,以達(dá)到學(xué)習(xí)要求①為目的,完成下列教學(xué)設(shè)計(jì):
。)寫出教學(xué)重點(diǎn);(6分)
0)寫出教學(xué)過程(只要求寫出新課導(dǎo)入,概念的形成與鞏固等過程)及設(shè)
計(jì)意圖。(24分)
2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析
答案
一、單項(xiàng)選擇題
ax
1.A【解析】f(x)在x=0處可導(dǎo),所以f(x)在x=0處必連續(xù),b+sin2x=limeb1,
xo
由可導(dǎo)性質(zhì)可知limfxlimfx,所以limaeaxlim2cos2x,a=2。故選
x0x0x0x0
Ao
nx111sin110.
2.A【解析】fxxC°Sx,X由題意可知fx在x=0處連
0,x0,
續(xù),所以limfx0,當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)成立。故選A。
xo
3.B【解析】MIM20,1,1>設(shè)平面1的一點(diǎn)到點(diǎn)Mi的向量為a=(x-1,y-2,
z+1),二者垂直,則(x-1)X0+(y-2)X1+(z+1)X1=0,整理得y+z-1=0,
平面2:6x+y+18z-18=0,法向量為n26,1,18,平面3:y+z-1=0,法向量為
n30,1,1,可得cos普普近,可知只有B項(xiàng)符合題意。
|n211n31<2,3612
4.C【解析】a+b+c=0,則a+c=-b,所以(a+c)Xb=-bxb=0,貝?。輆義b+c
Xb=0,所以axb=-cXb=bXc。故選C。
5.D【解析】由題意知r(m)=r<n,由矩陣性質(zhì)可知必然有r個(gè)行向量線性無關(guān),
A錯(cuò);只有極大無關(guān)組中行向量才能由其它向量表示,B錯(cuò);線性無關(guān)才可以,
任意r個(gè)行向量不能保證線性無關(guān),C錯(cuò)。故選D。
6.C【解析】在平面任取一點(diǎn)P(x,y),點(diǎn)P關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)Px.y,由
X望y
乙"Xf)*1V
點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)公式得2xu。故選C。
y2丫y1oy
7.D【解析】向量理論具有神奇的數(shù)學(xué)內(nèi)涵,豐富的物理背景,向量既是代數(shù)研
究對(duì)象也是幾何研究對(duì)象,是溝通凡何和代數(shù)的橋梁。向量是描述直線、曲線、
平面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題
的基礎(chǔ),在解決實(shí)際問題中發(fā)揮重要作用。故選D。
8.B【解析】數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法,是一種演繹推理方法,它的基本思想
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