2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第4章三角函數(shù)第5節(jié)三角恒等變換 學(xué)案

第五節(jié)三角恒等變換考試要求：1．經(jīng)歷用單位圓推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程．2．能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．3．能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶)．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))；sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))；sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))；tan(α－β)＝tanα-tanβ1+tanαtan(α＋β)＝tanα+tanβ1-tan1．形如f(x)＝asinx＋bcosx的函數(shù)，可視為和角公式的逆用，化為f(x)＝a2+b2·sin(x＋φ)或f(x)＝a22．tanα±tanβ＝tan(α±β)(1±tanαtanβ)．2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tan1．二倍角公式中的角是任意的．2．1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，cos2α＝1+cos2α2，sin2二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (√)(2)存在實數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立． (√)(3)公式tan(α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ可以變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtan(4)當(dāng)α是第一象限角時，sinα2＝1-cosα(5)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立． (√)2．tan1A．1 B．－1C．2 D．－2A解析：因為tan13．已知sinα＋cosα＝13，則sin2πA．118 C．89 B解析：由sinα＋cosα＝13，兩邊平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－所以sin2π4-α＝1-cosπ24．sin4712解析：原式＝sin30＝sin30°cos5．化簡：2sin4sinα解析：2＝2sinα+2sin考點1公式的簡單應(yīng)用——基礎(chǔ)性1．sin(－260°)cos35°－sin10°sin145°＝()A．22 B．－C．12 D．－A解析：sin(－260°)cos35°－sin10°sin145°＝－sin(180°＋80°)cos35°－sin(90°－80°)sin(180°－35°)＝sin80°cos35°－cos80°sin35°＝sin(80°－35°)＝sin45°＝222．(2021·全國乙卷)cos2π12－cos25A．12 C．22 D解析：由題意，cos2π12－cos25π12＝cos2π12－cos2π2-π12＝cos2π3．(2022·云南模擬)tan87°－tan27°－3tan27°·tan87°＝()A．2 B．3C．－2 D．－5B解析：因為tan87°-所以tan87°－tan27°＝3+所以tan87°－tan27°－3tan27°tan87°＝3.應(yīng)用三角恒等變換公式化簡求值的關(guān)注點(1)記清公式及其變形形式是關(guān)鍵．(2)注意對公式的整體把握，要熟悉公式的逆用及變形，T1是公式的逆用，T3是公式的變形應(yīng)用．(3)注意與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用，T1，T2都是先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，再進行化簡求值．考點2三角函數(shù)的化簡求值問題——綜合性考向1給值求值問題(1)若sin3π8+α＝13A．1718 B．－C．79 D．－C解析：因為sin3π8+α所以cos3π4+2α＝cos23π8+α＝1－2sin2(2)已知θ∈0，π2，且cosA．724 C．±724 D．±D解析：因為cos2θsinθ-π4＝cos2所以cosθ＋sinθ＝75又因為θ∈0，π2，且cos2θ＋sin所以cosθ＝35，sinθ＝45或cosθ＝45，sinθ＝35，則tanθ＝故tan2θ＝2tanθ1本例(1)中，若把已知條件改為cos3π8+α＝1解：因為cos3π8+α＝＝cosπ+3＝－2cos23π8給值求值問題的一般步驟(1)化簡條件式或待求式．(2)觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手．(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值．考向2給值求角問題(1)設(shè)α，β為鈍角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，則α＋A．3π4C．7π4 DC解析：因為α，β為鈍角，sinα＝55，cosβ＝－31010，所以cosα＝－255所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝22又α＋β∈(π，2π)，所以α＋β∈3π2，2π，所以α(2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cosα+π4sinβ，則(A．tan(α－β)＝1B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1D．tan(α＋β)＝－1C解析：因為sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cosα+π4sin所以2sinα+β+π4＝22cosα+π4sinβ，即sinα+β+π所以sinα+π4cosβ＋sinβcosα+π4＝2cos所以sinα+π4cosβ－sinβcosα+π所以α＋π4－β＝kπ，k∈Z，所以α－β＝kπ－π4，所以tan(α－本例(1)中，若α，β為銳角，sinα＝55，cosβ＝31010，則απ4解析：因為α，β為銳角，sinα＝55，cosβ＝所以cosα＝255，sinβ＝所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×又0<α＋β<π，所以α＋β＝π4求角的原則是：通過求角的某種三角函數(shù)值來求角．在選取函數(shù)時，應(yīng)遵循的規(guī)則是：(1)已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)．(2)已知正弦、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)．(3)若角的范圍是0，π21．(2022·攀枝花模擬)已知cosθ＋sinθ+π6＝32A．12 C．23 A解析：因為cosθ＋sinθ+π6＝cosθ＋32sinθ＋12cosθ＝332cosθ+122．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，則2α－－3π4解析：因為tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα-β+tanβ1又因為tan2α＝2tanα1-tan2α＝2所以tan(2α－β)＝tan2α-tan因為tanβ＝－17<0，所以π2<β<π，－π<2α－β<0，所以2α－β＝－考點3三角函數(shù)角的變換與式的變換——綜合性考向1三角函數(shù)角的變換(1)若α，β∈π2，π，且sinα＝255，sin(α－β)＝－3A．－11525C．55 C解析：因為α，β∈π2，π，且sinα＝255，所以cosα＝－因為sin(α－β)＝－35，所以α－β∈-π2，0，所以cos(α－β則sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝255×(2)已知2cos2α+πA．－12 C．27 B解析：因為cos2α+π3＝1－2sin2α+π所以21-2sin化簡得，4sin因為sinα+π6∈[－1，1]，所以sinα+π所以cosα-π＝sinα+π6＝本例(1)條件不變，求cos(2α－β)的值．解：因為α，β∈π2，π，且sinα＝所以cosα＝－1-sin2因為sin(α－β)＝－35，所以α－β∈-所以cos(α－β)＝1-sin2則cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)＝－55×4角的變換問題的關(guān)注點(1)明確各個角之間的關(guān)系：已知角與未知角、非特殊角與特殊角．(2)熟悉角的變換技巧：構(gòu)造“已知角±特殊角＝所求角”．(3)掌握半角與倍角的轉(zhuǎn)化方法：倍角公式．考向2三角函數(shù)式的變換(1)(2021·全國甲卷)若α∈0，π2，tan2α＝cosαA．1515 C．53 A解析：因為tan2α＝cosα2-sinα，所以tan2α＝sin因為α∈0，π2，所以cosα≠0，所以2sinα1-所以cosα＝1-sin2α＝154，所以tanα(2)若α∈π2，π，cos2α＋sin5πA．－32C．32 D．－3A解析：因為cos2α＋sin5π4-α＝0，所以cos2α－sin2所以(cosα－sinα)(cosα＋sinα)－22(cosα－sinα所以(cosα－sinα)cosα因為α∈π2，π，所以cosα－sinα≠0，故cosα＋sinα＝所以α∈π2，3π4又(cosα＋sinα)2＝1＋sin2α，所以12＝1＋sin2α，解得sin2α＝－1因為2α∈π，3π2，所以cos2α所以sin2α+π6＝32sin2α＋12cos2α＝三角函數(shù)式的變換問題的關(guān)注點(1)關(guān)鍵：明確各個三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，進行恰當(dāng)?shù)南仪谢セ?2)常用公式：誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．1．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cosπ4+α＝13A．33 B．－C．539C解析：cosα+β2＝cosπ4+α-π4-β因為0＜α＜π2，所以π4＜π4＋α所以sinπ4+α＝又－π2＜β＜0，則π4＜π4所以sinπ4-β2＝63.故cosα+2．若α，β是銳角，且sinα－sinβ＝－12，cosα－cosβ＝12，則tan(α－－73解析：因為sinα－sinβ＝－12，cosα－cosβ＝兩式平方相加得2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝12即2－2cos(α－β)＝12，所以cos(α－β)＝3因為α，β是銳角，且sinα－sinβ＝－12所以0＜α＜β＜π2，所以－π2＜α－所以sin(α－β)＝－1-cos2所以tan(α－β)＝sinα-β考點4三角函數(shù)恒等變換的綜合應(yīng)用——應(yīng)用性已知函數(shù)f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間0，(2)若f(x0)＝65，x0∈π4，π解：(1)由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x+π所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.因為f(x)＝2sin2x+π6在區(qū)間0，又因為f(0)＝1，fπ6＝2，fπ2＝－1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2)由(1)可知f(x0)＝2sin2x又因為f(x0)＝65，所以sin2x0由x0∈π4，π2，得2x0＋從而cos2x0+π6所以cos2x0＝cos2x0+π6-π6＝cos2x三角恒等變換的綜合應(yīng)用策略(1)進行三角恒等變換要注意：變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系．(2)把y＝asinx＋bcosx化為y＝a2+b2·sin(已知函數(shù)f(x)＝4tanx·sinπ2-x(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間-π解：(1)f(x)的定義域為xxf(x)＝4tanxcosxcosx＝4sinxcosx＝4sinx1＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x-所以f(x)的最小正周期T＝2π(2)因為x∈-π所以2x－π3∈-由y＝sinx的圖象可知，當(dāng)2x－π3∈-即x∈-π4，-π當(dāng)2x－π3∈-π2，π6，即x∈所以當(dāng)x∈-π4，π4時，f(x拓展考點勾股關(guān)系視角下的恒等變換同角三角函數(shù)基本關(guān)系研究平方關(guān)系與商數(shù)關(guān)系，而平方關(guān)系反映出來的就是勾股關(guān)系，高考中出現(xiàn)頻率較高的勾股數(shù)有9組，它們是(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(8，15，17)，(33，56，65)，(1，1，2)，(1，3，2)，(1，2，5)，(1，3，10)，熟記常用的勾股數(shù)，弄清三角恒等變換題目與勾股數(shù)的內(nèi)在關(guān)系，能起到事半功倍的效果．已知x∈-π2，0，cos(π－x)＝－4A．724 B．－C．247 D．－D解析：因為x∈-π2，0，cos(π－所以cosx＝45，sinx＝－1-cos由同角三角函數(shù)的關(guān)系，得tanx＝sinxcosx因此，tan2x＝2tanx1-tan上述問題中含有兩組勾股數(shù)，實際上由cosx＝45，我們會聯(lián)想到勾股數(shù)(3，4，5)，直接得到sinx＝35，tanx＝34(關(guān)系研究時暫不探討符號特征)，這時由于sin2x＝2sinxcosx＝2425，所以又會聯(lián)想到勾股數(shù)(7，24，25)，又可直接得出cos2x＝725在△ABC中，A＝π4，cosB＝－1010，則sinC＝________，tan25543解析：因為cosB＝－1010且0<B<π，所以sinB＝1010.又A＝π4，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinπ4cosB＋cosπ4所以cosC＝255，tanC＝12，tan2C＝2已知tanαtanα+π[四字程序]讀想算思求sin2的值1．能用到哪些公式？2．既有“切”又有“弦”，如何處理三角恒等變換1．轉(zhuǎn)化與化歸．2．?dāng)?shù)形結(jié)合tanαtan1．兩角和的正弦、正切公式，二倍角公式等．2．切化弦sin2α22(sin2α＋cos2α1．弦切互化及“1”的代換．2．拆角湊角．3．構(gòu)造圖形思路參考：利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值．解：由tanαtanα+π4＝tanαtanα當(dāng)tanα＝－13時，α若α為第二象限角，則sinα＝110，cosα＝－3所以sin2α＝－35，cos2α＝4若α為第四象限角，則sinα＝－110，cosα＝3sin2α＝－35，cos2α＝4把sin2α＝－35，cos2α＝4得sin2α+π4＝22(sin2α當(dāng)tanα＝2時，α可能為第一象限角或第三象限角．若α為第一象限角，則sinα＝25，cosα＝1所以sin2α＝45，cos2α＝－3若α為第三象限角，則sinα＝－25，cosα＝－1所以sin2α＝45，cos2α＝－3把sin2α＝45，cos2α＝－3sin2α+π4＝22(sin2α所以sin2α+π4＝思路參考：根據(jù)萬能公式sin2α＝2tanα1+tan2解：由tanαtanα+π4解得tanα＝－13或tanα根據(jù)公式sin2α＝2tanα1+tan2可得當(dāng)tanα＝－13時，sin2α＝－35，cos2α＝當(dāng)tanα＝2時，sin2α＝45，cos2α＝－35，兩種情況的結(jié)果都是sin2α+π4＝22(sin2α思路參考：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系中“1”的代換．解：由tanαtanα+π4解得tanα＝－13或tanαsin2α+π4＝22(sin2α＝22(2sinαcosα＋cos2α－sin2α＝2＝22×2tanα+1-tan2αtan2α思路參考：把正切轉(zhuǎn)化為正弦、余弦的比值，得到α與α＋π4解：因為tanαtanα+π4所以sinαcosα+π4＝－23cosα·sinα+又π4＝α+π4所以sinπ4＝sin＝sinα+π4cosα－cosα+π4sinα＝由①②，得sinαcosα+π4＝－cosαsinα+π4＝把2α＋π4拆分為α＋α+sin2α+π4＝sinαcosα+π4＋cosαsinα+π思路參考：令α＋π4＝β，則2α＋π4＝α＋將原問題進行轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造幾何圖形求解．解：令α＋π4＝β，則2α＋π4＝α＋原題可轉(zhuǎn)化為：已知tanαtanβ＝－23，求sin(如圖，構(gòu)造Rt△ABC，其中BC＝1，CD＝2，AD＝1，tanα＝13，tanβ＝－12，sin(α＋β)＝sin在△ABD中，BD＝5，AB＝10，AD＝1，由余弦定理得cosθ＝A＝102+5所以sin(α＋β)＝sinθ＝1-cos2θ＝1-1．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要掌握運算求解能力、轉(zhuǎn)化化歸能力，體現(xiàn)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．2．基于高考數(shù)學(xué)評價體系，本題涉及兩角和的正弦、正切公式等知識，滲透著轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法，有一定的綜合性，對培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力起到了積極的作用．若tanπ4-θ＝3，則A．3B．－3C．34D．－A解析：(方法一)因為tanπ4-θ＝1-tanθ1+tanθ＝3，所以tanθ＝－12.所以(方法二)同方法一求得tanθ＝－12因為sin2θ＝2tanθ1+tan2cos2θ＝1-tan2θ1+tan所以cos2課時質(zhì)量評價(二十五)A組全考點鞏固練1．sin20°sin10°－cos20°cos10°＝()A．－32 B．－C．12 A解析：sin20°sin10°－cos20°cos10°＝－(cos20°·cos10°－sin20°sin10°)＝－cos(20°＋10°)＝－cos30°＝－322．tan67.5°－1tanA．1 B．2C．2 D．4C解析：tan67.5°－1tan67.5°＝sin67.5°3．(多選題)若sinα2＝33，A．cosα＝1B．sinα＝2C．sinα2+D．sinα2-AC解析：因為sinα2＝33，α∈(0，π)，所以α2∈0，π2，cosα2＝1-sin2α2＝63.則cosα＝1－2sin2α2＝1－2×3sinα2+π4＝sinα2cosπ4＋cosα2sinα2-π4＝sinα2cosπ4－cosα24．(多選題)下列選項中，值為14A．sinπ12sinB．13-2C．1D．cos72°·cos36°AD解析：對于A，sinπ12sin5π12＝sinπ12cosπ12＝12sinπ6＝14，故A正確；對于B，13-2對于C，原式＝cos50°+3sin50°sin50°cos50°＝235．在斜三角形ABC中，sinA＝－2cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－2，則角A的值為()A．π4 C．π2 A解析：由題意知：sinA＝－2cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－2cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC兩邊同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－2，又tan(B＋C)＝tanB+tanC1-tantan6．(2022·煙臺質(zhì)檢)已知α∈-π3，π6，sin2αA．4-3310C．2+35A解析：因為sin2α2+π所以1-cosα+π整理可得cosα+π3＝因為α∈-π3，π6，可得α所以sinα+π3＝1-cos則sinα＝sinα+π3-π3＝sinα+π3cosπ3－cos7．(2022·北京卷)若函數(shù)f(x)＝Asinx－3cosx的一個零點為π3，則A＝________，fπ1－2解析：因為函數(shù)f(x)＝Asinx－3cosx的一個零點為π3，所以32A－3×12＝0，所以A＝1，函數(shù)f(x)＝sinx－3所以fπ12＝2sinπ12-π3＝2sin-8．已知cos4α－sin4α＝23，且α∈0，π2，則sin2532-156解析：因為cos4α－sin4α＝23，所以cos2α－sin2α＝cos2則sin2α＝1-cos22αcos2α+π3＝cos2αcosπ3－sin2αsinπ3＝9．已知α∈0，π2，若sinα-π4＝3解：因為α∈0，π2，所以α－π又sinα-π4＝35，所以cosα-π4＝1-則sinα＝sinα-π4+π4＝sinα-π4cosπ4＋coscosα＝cosα-π4+π4＝cosα-π4cosπ4－sin所以sin2α＝2sinαcosα＝2×7210×B組新高考培優(yōu)練10．(多選題)關(guān)于函數(shù)f(x)＝2cos2x－cos2x+πA．其圖象可由y＝2sin2x的圖象向左平移π8B．f(x)在0，C．f(x)在[0，π]上有2個零點D．f(x)在-πAC解析：f(x)＝2cos2x－cos2x+π2－1＝cos2x＋sin2x＝2sin由y＝2sin2x的圖象向左平移π8個單位得y＝2sin2x+由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)在0，π8令f(x)＝0得sin2x+π4＝0，則x＝f(x)在-π2，11．已知cosα-π6＝34，則sin2α+πA．14 B．C．37D解析：由cosα-π6＝34，得sin2α+π6＝sin2α-π6+π再由cosα-π6＝34，得2cos2α2-π12－1＝所以sin2α+π6＋cos2α212．(多選題)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有一個“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”其意思為今有水池1丈見方(即CD＝10尺)，蘆葦生長在水的中央，長出水面的部分為1尺．將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水岸齊接(如圖所示)．試問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少？假設(shè)∠BAC＝θ，現(xiàn)有下述四個結(jié)論，其中正確的是()A．水深為12尺B．蘆葦長為15尺C．tanθ2＝D．tanθ+π4ACD解析：設(shè)BC＝x，則AC＝x＋1，因為AB＝5，所以52＋x2＝(x＋1)2，所以x＝12，即水深為12尺，A正確；蘆葦長為13尺，B錯誤