2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第6章立體幾何第4節(jié)直線平面垂直的判定與性質(zhì) 學(xué)案

第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考試要求：1．能以立體幾何中的定義、基本事實和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理．2．能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形中垂直關(guān)系的簡單命題．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足．“任意一條直線”與“所有直線”是同義的，但與“無數(shù)條直線”不同，定義的實質(zhì)是直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直a性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行a⊥αb⊥線面垂直的判定定理中平面內(nèi)的兩條直線必須是相交的．2．平面與平面垂直(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直l⊥αl?性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直α⊥βl?面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可．3．線面角與二面角(1)直線與平面所成的角(線面角)①平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．②特例：若一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°.若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°.③直線與平面所成的角θ的取值范圍是：0°≤θ≤90°.(2)二面角①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．③二面角的平面角的范圍：0°≤θ≤180°.4．常用結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線．(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直．(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α. (×)(2)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直． (√)(3)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b. (√)(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α. (×)(5)a⊥α，a?β?α⊥β. (√)2．設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，則下列說法正確的是()A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥mA解析：因為l⊥β，l?α，所以α⊥β(面面垂直的判定定理)．3．(多選題)如圖，圓柱的軸截面是四邊形ABCD，E是底面圓周上異于A，B的一點，則下列結(jié)論中正確的是()A．AE⊥CEB．BE⊥DEC．DE⊥平面CEBD．平面ADE⊥平面BCEABD解析：由AB是底面圓的直徑，得∠AEB＝90°，即AE⊥EB．因為圓柱的軸截面是四邊形ABCD,BC⊥底面AEB，所以BC⊥AE.又EB∩BC＝B，BC，BE?平面BCE，所以AE⊥平面BCE，所以AE⊥CE，故A正確．同理可得，BE⊥DE，故B正確．若DE⊥平面CEB，則DE⊥BC．因為BC∥AD，所以DE⊥AD．在△ADE中AD⊥AE，所以DE⊥AD不成立，所以DE⊥平面CEB不成立，故C錯誤．由A的證明可知AE⊥平面BCE.因為AE?平面ADE，所以平面BCE⊥平面ADE，故D正確．故選ABD．4．“直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面α垂直”的________條件．必要不充分解析：根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”不能推出“直線a與平面α垂直”，反之則可以，所以應(yīng)是必要不充分條件．5．如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________．4解析：因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC．因此△ABC，△PBC也是直角三角形．故圖中共有4個直角三角形．考點1垂直關(guān)系的基本問題——基礎(chǔ)性1．已知平面α和直線a，b，若a∥α，則“b⊥a”是“b⊥α”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件B解析：根據(jù)空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，由a∥α，b⊥α，可得b⊥a.反之不成立，可能b與α相交或平行．所以“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分條件．2．(多選題)已知a，b表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，下列說法正確的是()A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，則a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，則α⊥βC．若a⊥α，a⊥b，α∥β，則b∥βD．若α∩β＝a，a∥b，則b∥α或b∥βABD解析：對于A，若a⊥α，α∥β，則a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，故A正確；對于B，若a⊥α，a⊥b，則b?α或b∥α，所以存在直線m?α，使得m∥b，又b⊥β，所以m⊥β，所以α⊥β.故B正確；對于C，若a⊥α，a⊥b，則b?α或b∥α，又α∥β，所以b?β或b∥β，故C錯誤；對于D，若α∩β＝a，a∥b，則b∥α或b∥β，故D正確．3．在三棱錐S-ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜邊AB＝a的等腰直角三角形，則以下結(jié)論：①異面直線SB與AC所成的角為90°；②直線SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④點C到平面SAB的距離是12a其中正確的是________．(填序號)①②③④解析：由題意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正確；再根據(jù)SB⊥AC，SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正確；取AB的中點E，連接CE(圖略)，可證得CE⊥平面SAB，故CE的長度即為點C到平面SAB的距離，為12a，故④在判斷垂直關(guān)系問題時，需明確各類垂直關(guān)系及其內(nèi)在聯(lián)系，可借助幾何圖形來判斷，也可列舉反例進(jìn)行判斷，同時要注意判斷滿足定理的條件．考點2空間角及其應(yīng)用——應(yīng)用性(2022·全國甲卷)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則()A．AB＝2ADB．AB與平面AB1C1D所成的角為30°C．AC＝CB1D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°D解析：如圖所示，連接AB1，BD，不妨令A(yù)A1＝1，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面AA1B1B，BB1⊥平面ABCD，所以∠B1DB和∠DB1A分別為B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，即∠B1DB＝∠DB1A＝30°，所以在Rt△BDB1中，BB1＝AA1＝1，BD＝3，B1D＝2，在Rt△ADB1中，DB1＝2，AD＝1，AB1＝3，所以AB＝2，CB1＝2，AC＝3，故選項A，C錯誤，由圖易知，AB在平面AB1C1D上的射影在AB1上，所以∠B1AB為AB與平面AB1C1D所成的角，在Rt△ABB1中，sin∠B1AB＝BB1AB1＝13＝33，故選項B錯誤，如圖，連接B1C，則B1D在平面BB1C所以∠DB1C為B1D與平面BB1C1C所成的角，在Rt△DB1C中，B1C＝2＝DC，所以∠DB1C＝45°，所以選項D正確．求線面角、二面角的常用方法(1)線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線、找垂足，把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解．(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角來度量．平面角的作法常見的有定義法和垂面法．注意利用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)．在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面都是側(cè)棱長為5的等腰三角形，則二面角V-AB-C的大小為________．60°解析：如圖，作VO⊥平面ABCD，垂足為O，則VO⊥AB．取AB的中點H，連接VH，OH，則VH⊥AB．因為VH∩VO＝V，所以AB⊥平面VHO，所以AB⊥OH，所以∠VHO為二面角V-AB-C的平面角．易求VH2＝VA2－AH2＝4，所以VH＝2.而OH＝12BC＝1，所以∠VHO＝60°.故二面角V-AB-C考點3線面、面面垂直的判定與性質(zhì)——綜合性考向1線面垂直的判定與性質(zhì)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB＝5，AC＝6，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF＝54，EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝10.求證：D′H⊥平面ABCD．證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD．又由AE＝CF得AEAD＝CFCD，故AC∥EF，因此EF⊥HD，從而EF⊥D′由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB由EF∥AC得OHDO＝AEAD＝14，所以O(shè)H＝1，D′H于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF?平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD．證明線面垂直的4種方法(1)線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.(2)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.(3)性質(zhì)：①a∥b，b⊥α?a⊥α；②α∥β，a⊥β?a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l?l⊥γ.(客觀題可用)考向2面面垂直的判定與性質(zhì)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．求證：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.證明：(1)(方法一)取PA的中點H，連接EH，DH.因為E為PB的中點，所以EH∥AB且EH＝12AB又CD∥AB且CD＝12AB，所以EH∥CD且EH＝CD所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH.又DH?平面PAD，CE?平面PAD，所以CE∥平面PAD．(方法二)連接CF.因為F為AB的中點，所以AF＝12AB．又CD＝12AB，所以AF＝又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，因此CF∥AD．又CF?平面PAD，AD?平面PAD，所以CF∥平面PAD．因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA．又EF?平面PAD，PA?平面PAD，所以EF∥平面PAD．因為CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD．又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD．(2)因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA．又因為AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可證AB⊥FG.又因為EF∩FG＝F，EF，F(xiàn)G?平面EFG，所以AB⊥平面EFG.又因為M，N分別為PD，PC的中點，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因為MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.1．證明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定義．(2)面面垂直的判定定理．2．已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ABD沿對角線BD折起，記折起后點A的位置為點P，且使平面PBD⊥平面BCD．求證：(1)CD⊥平面PBD；(2)平面PBC⊥平面PCD．證明：(1)因為AD＝AB，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝∠ADB＝45°.又因為AD∥BC，所以∠DBC＝45°.又∠DCB＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD．因為平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面PBD．(2)由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP.又BP⊥PD，PD∩CD＝D，所以BP⊥平面PCD．又BP?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD．課時質(zhì)量評價(三十五)A組全考點鞏固練1．已知平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，過平面α和β外的一點P作直線m⊥l，則“m∥α”是“m⊥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C解析：當(dāng)m∥α?xí)r，過m作平面γ∩α＝n，則m∥n，結(jié)合α⊥β，得n⊥β，從而m⊥β；當(dāng)m⊥β時，在α內(nèi)作直線n⊥l，結(jié)合α⊥β，得n⊥β，所以m∥n.又m?α，n?α，所以m∥α.故選C．2．如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則圖中與平面PCD垂直的平面是()A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PABC解析：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．因為四邊形ABCD為矩形，所以CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD．3．已知AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A，B的一點，D為下底面圓周上一點，且AD⊥圓柱的底面，則必有()A．平面ABC⊥平面BCDB．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACDD．平面BCD⊥平面ABDB解析：因為AB是圓柱上底面的一條直徑，所以AC⊥BC．又AD⊥圓柱的底面，所以AD⊥BC，因為AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD．又BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．4．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為94，底面是邊長為3的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABCA．5π12 C．π4 D．B解析：如圖，取正三角形ABC的中心O，連接OP，則∠PAO是PA與平面ABC所成的角．因為底面邊長為3，所以AD＝3×32＝32，AO＝2三棱柱的體積為34×(3)2AA1＝9解得AA1＝3，即OP＝AA1＝3，所以tan∠PAO＝OPOA＝3因為直線與平面所成角的范圍是0，所以∠PAO＝π35．若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與底面夾角的余弦值為________．13解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題意πrl＝3πr2，即l＝3r，設(shè)母線與底面夾角為θ，則cosθ＝rl＝6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD．(只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析：因為PA⊥底面ABCD，所以BD⊥PA．連接AC(圖略)，則BD⊥AC，且PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC．所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD．又PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．7．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上．點P到直線CC1的距離的最小值為________．255解析：點P到直線CC1的距離等于點P在平面ABCD上的射影到點C的距離，設(shè)點P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長度的最小值．當(dāng)P′C⊥DE時，P′C的長度最小，此時P′C＝2×8．如圖，三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)若PA＝PC，求三棱錐P-ABC的體積．(1)證明：如圖，取AC的中點O，連接BO，PO.因為△ABC是邊長為2的正三角形，所以BO⊥AC，BO＝3.因為PA⊥PC，所以PO＝12AC因為PB＝2，所以O(shè)P2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB．因為AC∩OP＝O，AC，OP?平面PAC，所以BO⊥平面PAC．又OB?平面ABC，OB?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．(2)解：因為PA＝PC，PA⊥PC，AC＝2，所以PA＝PC＝2.由(1)知BO⊥平面PAC，所以VP-ABC＝VB-APC＝13S△PAC·BO＝13×B組新高考培優(yōu)練9．(2022·全國乙卷)在正方體中ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1DA解析：對于A，由于E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則EF∥AC．又AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，且BD，DD1?平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，則EF⊥平面BDD1.又EF?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，選項A正確；對于B，由選項A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在該正方體中，試想D1運動至A1時，平面B1EF不可能與平面A1BD垂直，選項B錯誤；對于C，在平面ABB1A1上，易知AA1與B1E必相交，故平面B1EF與平面A1AC不平行，選項C錯誤；對于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C與平面B1EF有公共點B1，故平面B1EF與平面A1C1D不可能平行，選項D錯誤．10．(多選題)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，則下面結(jié)論正確的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．平面ACC1A1⊥CB1D1D．異面直線AD與CB1所成的角為60°ABC解析：對于A，因為ABCD-A1B1C1D1為正方體，所以BD∥B1D1，由線面平行的判定可得BD∥平面CB1D1，故A正確；對于B，連接AC，因為ABCD-A1B1C1D1為正方體，所以BD⊥AC，且CC1⊥BD，由線面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1，所以BD⊥AC1，故B正確；對于C，由上可知BD⊥平面ACC1，又BD∥B1D1，所以B1D1⊥平面ACC1，則平面ACC1A1⊥CB1D1，故C正確；對于D，異面直線AD與CB1所成的角即為直線BC與CB1所成的角為45°，故D錯誤．故選ABC．11．如圖，在長方形ABCD中，AB＝3，BC＝1，點E為線段DC上一動點，現(xiàn)將△ADE沿AE折起，使點D在平面ABC內(nèi)的射影K在直線AE上，當(dāng)點E從D運動到C，則點K所形成軌跡的長度為()A．32 B．C．π3 D．C解析：由題意，將△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED內(nèi)過點D作DK⊥AE，K為垂足，由翻折的特征知，連接D′K，則∠D′KA＝90°，故點K的軌跡是以AD′為直徑的圓上一弧，根據(jù)長方形知圓半徑是12，如圖，當(dāng)E與C重合時，AK＝1×14＝12，取O為AD′的中點，得到△OAK是正三角形．故∠KOA＝π3，所以∠KOD′＝212．如圖所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在平面ABC上的射影H必在()A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC的內(nèi)部A解析：連接AC1，因為AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以點C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．13．已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：________．若l⊥m，l⊥α，則m∥α(答案不唯一)解析：若l⊥α，l⊥m，則m∥α，顯然①③?②正確；若l⊥m，m∥