高斯光束斜入射非平行法布里珀羅干涉儀透射光強分布

高斯光束斜入射非平行法布里珀羅干涉儀透射光強分布

1高斯光束正入射和法布里-鮑羅干涉儀后光束分布的研究fpr-fpe的廣泛應(yīng)用，由于光譜分析、激光共振腔、傳感器技術(shù)和光學(xué)通信技術(shù)的廣泛應(yīng)用，引起了人們的關(guān)注。[1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11]。由于法布里-珀羅干涉儀的應(yīng)用常常和激光聯(lián)系在一起,而基模激光光束具有高斯分布,因而人們對高斯光束經(jīng)過法布里-珀羅干涉儀后透射光束的分布進行了大量研究。在眾多研究工作中,人們常常假定高斯光束正入射法布里-珀羅干涉儀或法布里-珀羅干涉儀的兩鏡面為嚴格平行,但在實際的應(yīng)用過程中,高斯光束正入射和法布里-珀羅干涉儀兩反射端面嚴格平行難于實現(xiàn),因而有必要對高斯光束斜入射(本文的研究針對入射角小于1°)非平行法布里-珀羅干涉儀后光束的情況進行研究。Lee等在忽略高斯光束沿傳播路徑上的衍射對光斑強度分布影響的條件下,采用傳輸函數(shù)的方法對此進行了研究。顯然,利用這種模型對于入射光斑較小,法布里-珀羅干涉儀的端面反射系數(shù)r較大時是不合理的。本文利用多光束干涉原理,從高斯光束的傳播方程出發(fā),研究了在不同的入射角下,非平行法布里-珀羅干涉儀鏡面的不平行度(由楔角ε來標定,考慮實際應(yīng)用的情形,本文楔角的取值小于0.01°)對高斯光束的透射光分布的影響。2非平行法布里-賓羅干涉儀兩反射端面插裝法在自由空間沿z軸傳輸?shù)母咚构馐杀硎緸镋(x,y,z)=Aw0w(z)exp[-x2+y2w2(z)]×exp{-i[βz-arctan(zf)]}exp[-iβ(x2+y2)2R(z)],(1)式中A為高斯光束束腰中心的振幅,w0為高斯光束的腰斑半徑,及β=2πn/λ,(2)w(z)=w0√1+(z/f)2,(3)R(z)=z[1+(f/z)2]=z+f2/z,(4)f=nπw20/λ.(5)這里R(z)和w(z)分別為相對于束腰中心傳輸了距離z后高斯光束等相位面的曲率半徑和光斑半徑,n為非平行法布里-珀羅干涉儀兩端面之間介質(zhì)的折射率(本文假設(shè)兩端面之間的介質(zhì)為真空,即n=1),β為傳播常量,λ為光在真空中的波長。圖1為一振動方向垂直于xz平面的高斯光束以與非平行法布里-珀羅干涉儀的出射端面M2的法線方向成θ角射入非平行法布里-珀羅干涉儀的光路圖(考慮到入射端面M1的厚度非常小,因此忽略了光線在通過M1時由于折射引起的側(cè)移),圖中r1,r2分別為端面M1、M2的反射系數(shù),z0為入射處的光斑中心到束腰中心的距離,L為非平行法布里-珀羅干涉儀從高斯光束的入射點到第一個出射點的距離,由圖1可知非平行法布里-珀羅干涉儀在該出射點處的腔長為Lcos(θ-ε),ε為非平行法布里-珀羅干涉儀兩反射端面所成的楔角。如楔角ε是由入射面M1繞楔形的頂點逆時針旋轉(zhuǎn)到出射面M2,則楔角ε為正值,如圖1(a)所示。反之楔角ε為負值,如圖1(b)所示。以圖中與z軸相垂直的平面M′為考察面,o′為入射高斯光束傳輸軸與考察面M′的交點,oo′的距離為L0。如圖所示,入射高斯光束在非平行法布里-珀羅干涉儀中經(jīng)過m(m=0,1,2,…)次往返反射后的出射光束為第(m+1)次光束,其傳輸軸與考察面M′的交點為(其中o′與點重合),其場分布為Em,光強分布為EmE*m。對于第(m+1)次出射的次光束,如圖1(a)所示,其傳輸軸線相對入射光束的傳輸軸線偏轉(zhuǎn)了一個2mε角,其在M2平面上的光斑中心沿o″x″方向相對于o″點移動的距離為Δxm,Δxm為圖1中點o″與點xm之間的距離。光束相對于入射處多傳輸?shù)木嚯x為Δzm,Δzm為圖1(a)中光斑中心由入射點傳輸?shù)絰m所經(jīng)過的距離,利用與文獻中類似的幾何推導(dǎo)方法可得到Δxm、Δzm:Δxm=Lcos(θ-ε)cosθ/sinεcos(θ+2nε)-Lcos(θ-ε)sinε,(6)Δzm=Lcos(θ-ε)cosθsinθ×[tan(θ+2mε)-tan(θ-ε)].(7)而在考察面M′上,第(m+1)次出射的次光束的光斑中心沿o′x′相對于o′點移動的距離為Δ■m,Δ■m為圖1中點o′到x′的距離,光束的光斑中心相對于入射處o點多傳輸?shù)木嚯x為Δ■m,由(6)式、(7式)可推得Δ■m、Δ■m:Δx′m=Δxmcosθ+(L0-L-Δxmsinθ)tan(2mε),(8)Δz′m=z0+Δzm+(L0-L-Δxmsinθ)/cos(2mε),(9)在圖1(a)中,考察o′x′上的任一點p,p離o′的距離x′,則p點到第(m+1)次出射的次光束的傳輸軸線的距離pz′為Xm=|(x′-Δx′m)cos(2mε)|,(10)相應(yīng)的光束軸線傳輸?shù)絲′點的距離為Ζm=Δx′m+(x′-Δx′m)sin(2mε),(11)由高斯光束的傳輸方程并考慮高斯光束在法布里-珀羅干涉儀中的來回傳播,可推導(dǎo)出第(m+1)次出射的次光束在p點所產(chǎn)生的光場:Em(Xm,y,Ζm)=Κ(r1r2)mw0w(Ζm)exp[-X2m+y2w2(Ζm)]×exp{-i[βΖm-arctan(Ζmf)]}×exp[-iβ(X2m+y2)2R(Ζm)],(12)其中Κ=A√(1-r21)(1-r22),(13)因此,p點總的透射光場為各次光束在該點所產(chǎn)生的光場之和,即Et=Ν∑m=0Em(Xm,y,Ζm),(14)從圖1中可以看出,當(dāng)2mε+θ≥π/2時,在腔中往返m次后的光束不再從端面M2出射,而從腔的側(cè)面逃逸,因此可得Ν=[π4ε-θ2ε],(15)表示取整,則p點的光強為Ι=EtE*t=k2Ν∑m=0Ν∑n=0(r1r2)m+nw20w(Ζm)w(Ζn)exp[-X2m+y2w2(Ζm)]exp[-X2n+y2w2(Ζn)]×cos{β(Ζn-Ζm)+arctan(Ζmf)-arctan(Ζnf)+β2[Xn+y2R(Ζn)-X2m+y2R(Ζm)]},(16)以上的推導(dǎo)及所得各式對于楔角ε為負值時同樣適用,當(dāng)ε為零時我們已在文獻中作了相關(guān)研究。由于p點為o′x′軸上的任意一點,通過改變x′的大小,即可得到M′面上任意點的光強,從而可對其透射光束的分布進行研究。當(dāng)楔角為負值時,如圖1(b)所示,隨著高斯光束在非平行法布里-珀羅干涉儀腔內(nèi)多次往返反射,出射次光束出射點的位置先逐漸往o′x′軸的正方向偏,在往返反射m次后,當(dāng)θ+2mε≤0時,這時次光束出射點的位置將反過來向o′x′軸的負方向偏移,光束在此處出現(xiàn)“反跳”,由(8)式可知反跳點離o′的距離:x′c=Δxmcosθ+(L0-L-Δxmsinθ)tan(2mε),(17)其中mc=[-θ2ε].(18)我們知道當(dāng)光束在平行法布里-珀羅干涉儀腔內(nèi)傳輸滿足共振條件時,這時腔的透過率最大,而對于楔行腔,腔內(nèi)往返次數(shù)不等的光束之間是無法嚴格滿足共振條件的,但如果鄰近出射次光束之間在考察面上的相位接近2π的整數(shù)倍時,非平行法布里-珀羅干涉儀的透射性最好,出射光束的的峰值強度最強,稱此時光束在非平行的法布里-珀羅干涉儀腔內(nèi)的傳輸滿足準共振條件,把滿足此條件的頻率稱為準共振頻率ωm,光波的頻率ω偏離ωm的大小即為頻率失諧,用Ω表示:Ω=ω-ωm,(19)結(jié)合(19)式和(16)式即可討論失諧大小對透射光強的影響。3《反跳》的結(jié)果分析圖2給出了不同腰斑大小的高斯光束經(jīng)過具有不同楔角的非平行法布里-珀羅干涉儀后透射光強沿o′x′的分布圖,這里,為了簡化僅討論一維分布的情形。其中圖2(a1)、圖2(a2)為大光斑入射高斯光束的透射光強分布圖,入射光束腰斑處的半峰全寬(FWHM)D=6mm,它的腰斑半徑大小ω0=D/1.665,圖2(b1)、圖2(b2)、圖2(c1)、圖2(c2)中入射光斑的半峰全寬為D=1mm。計算時所用其它的數(shù)據(jù)為:θ=5mrad,r12=r22=0.99,λ=632.8nm,L=9.998806mm,L0=0.2m,z0=0,A=1。從圖2中可看出,當(dāng)楔角為正值時,圖2(a1)中出射光斑在o′稍偏右位置形成一主峰,在主峰計算中,為了使光束在非平行法布里-珀羅干涉儀中傳輸滿足準共振條件,L的大小作微小的適當(dāng)調(diào)整。主峰的右側(cè)形成了一系列的次峰,次峰的強度沿o′x′的正方向越來越小而使光斑右側(cè)的強度逐漸平滑地下降。當(dāng)楔角為負值時[圖2(a2)],在o′x′的零值附近形成的光強分布大體與楔角為正時相同,但光斑右側(cè)的強度隨o′x′的正方向不是越來越平滑地下降,而是形成幅度越來越大的振蕩,當(dāng)振蕩到某一值時,光強突然下降到零。從圖2(a2)中的放大部分看,在主峰的頂端也出現(xiàn)了振蕩。由上文的理論分析可知,這是由于在楔角為負時,沿o′x′的出射位置先左偏后右偏的出射次光束之間在考察面上的相位復(fù)雜,互相干涉后的強度分布也極為復(fù)雜的緣故。如入射光斑變小為D=1mm[其光強分布如圖2(b1)、圖2(b2)、圖2(c1)、圖2(c2)所示],當(dāng)楔角為正時,光強分布為單峰結(jié)構(gòu),峰值的右側(cè)不如左側(cè)陡峭,而且光強逐漸衰減到零,比較圖2(b1)、圖2(c1)可知,出射光束的峰值強度隨楔角的增大而減小;當(dāng)楔角為負時[如圖2(b2)、圖2(c2)所示],楔角的絕對值越大,光強振蕩得越劇烈,由圖中的放大部分可見,出射光束有很多個次峰,“反跳”處的光強隨楔角的絕對值增大而增大,ε達到一定值時,“反跳”處的光強為光斑峰值強度。利用文獻中給出的數(shù)據(jù)所模擬得到的透射光強的分布圖與文獻中的結(jié)果圖7、圖8相比較發(fā)現(xiàn),當(dāng)入射高斯光束的光斑半徑較大時所得到的和文獻相同,但當(dāng)入射高斯光束的腰斑半徑較小時,我們所得到的結(jié)果與文獻的結(jié)果相差較大。這是由于在文獻中忽略了高斯光束沿傳播路徑上的衍射對光斑強度分布的影響,從而導(dǎo)致該文中理論結(jié)果與實驗結(jié)果存在較大的偏差。在圖3、圖4中分別給出了透射光的峰值強度和峰值強度位置隨楔角ε的變化曲線。從圖3中可以看出:隨著楔角值的增大,峰值強度總體呈現(xiàn)下降的趨勢。峰值強度先下降得較快,然后隨著ε的進一步增大,峰值強度的下降趨緩,最后曲線趨于平坦。在圖4中,峰值強度位置的兩條曲線都分為兩段,它們的變化趨勢大體相同。開始時,隨著負楔角ε的絕對值的減少,峰值沿o′x′的正方向偏離零點越大,ε達到某一值時,峰值位置突然下跳到零附近,且隨之出現(xiàn)小幅波動,然后緩慢向零值靠近。結(jié)合圖3、圖4還可看出,在相同的楔角ε下,θ角越大,光斑的峰值強度越小,峰值強度的位置在負楔角范圍內(nèi)所形成跳躍性變化卻越大。從上文的分析可知,“反跳”處的光強較強是由于此處有較多相位差接近2π整數(shù)倍的次光束相長干涉所致,且楔角的絕對值越大,“反跳”的位置出現(xiàn)得越早,“反跳”處的出射次光束在腔內(nèi)往返的次數(shù)越少,因此干涉后的強度也越大。而θ角越小,在ε為負時,使得“反跳”出現(xiàn)得更早;在ε為正時,使次光束之間的重疊部分增大,準共振作用加強。楔角ε和入射角θ角的共同作用導(dǎo)致圖3、圖4所示的結(jié)果。圖5給出了峰值強度隨對法布里-珀羅干涉儀腔的自由光譜范圍(RFS)進行歸一化后的頻率失諧的變化曲線?？煽闯龇逯祻姸入S頻率失諧量的變化近似為高斯型,在楔角的絕對值為相等的條件下,楔角為負時出射光斑的峰值強度比楔角為正時的大;當(dāng)楔角一定時,θ角越小,出射光斑的峰值強度越大,曲線的半極大寬度也越小(峰值強度隨頻率失諧量的變化更陡峭)。從圖5中還可出,透射光束的峰值強度隨失諧量的增大而迅速下降,因此,為得到好的透射特性,入射光束的頻率與法布里-珀羅干涉儀腔的共振頻率間的頻率失諧量的絕對值必須小于RFS/F[F為法布里-珀羅干涉儀腔的精細度,F=πR/(1-R)]。4透射光束分布