劈尖干涉條紋定域中心的解析解

劈尖干涉條紋定域中心的解析解

1干涉條紋定域中心的確定眾所周知，厚度線性改變的薄膜可以形成斷裂，而分裂開采是一種類似于厚度等厚干涉的等厚干涉，廣泛應(yīng)用于精確測量、光學(xué)元件加工等領(lǐng)域。由于斷裂延遲干預(yù)受入射角、兩個界面的折射角和反射角、兩個界面的相對折射角、斷裂角和光源位置等因素的影響，定域中心的確定和定域深度的討論非常復(fù)雜。在不同的角度和一側(cè)，本研究討論了膜干涉和斷裂交叉擾動的定域中心和定域深度的概念或相關(guān)計算，這是關(guān)于彎曲角度小的類似討論。對劈裂影響的定域中心和定域深度與上述物理關(guān)系的分析討論相對應(yīng)。在討論中，我們討論了如何盡可能盡可能地將干擾條紋的表面區(qū)域？現(xiàn)在沒有人研究。在這項工作中，我們獲得了定域中心橫截面中幾個參數(shù)的多參量方程，然后使用nb軟件消除中間參數(shù)，并獲得了定域中心的精確分析解。分析了定域中心與定域深度、入射角、截面角度、相對折射角和入射點位置等物理因素的依賴關(guān)系，并確定了斷裂橫截面的檢測方法。2中心d點的合成點光源照射劈尖時,干涉屬非定域問題,而擴展光源照射下的劈尖定域中心指的是光源的相干孔徑角為零的情形.如圖1所示,擴展光源長為b(圖中放大了光源),與水平方向的夾角為θ0.設(shè)光源中心S0的坐標(biāo)為(x0,y0);入射角為α;A點處的折射角為β;C點處的折射角為γ;劈尖角為θ,上下表面反射的兩束波光在D點相遇,兩分界面的折射率分別為n1和n2.為求定域中心軌跡方程,先設(shè)有一束相干孔徑角為零的光入射.由圖1可得角度關(guān)系為∠ABΗ=π2-β+θ,∠ABC=2β-2θ∠BAC=π2-β,∠ACB=π2+2θ-β∠BCF=β-2θ,∠ACD=π2+γ∠ADC=α-γ,∠DAC=π2-α由折射定律可得如下關(guān)系式n1sinα=n2sinβ(1)n2sin(β-2θ)=n1sinγ(2)設(shè)AH=h.由正弦定理,得AB=hcos(β-θ)(3)BC=cosβcos(β-2θ)AB=cosβcos(β-2θ)hcos(β-θ)(4)AC=sin(2β-2θ)cos(β-2θ)AB=sin(2β-2θ)cos(β-2θ)hcos(β-θ)(5)DC=cosαsin(α-γ)AC=cosαsin(α-γ)sin(2β-2θ)cos(β-2θ)hcos(β-θ)(6)AD=cosγsin(α-γ)AC=cosγsin(α-γ)sin(2β-2θ)cos(β-2θ)hcos(β-θ)(7)聯(lián)合式(3)～(7)并利用三角函數(shù)的積化和差及二倍角公式,容易得出定域中心D點的兩個坐標(biāo)分別為x=hsinθ-2hsin(β-θ)sinαcosγsin(α-γ)cos(β-2θ)(8)y=2hsin(β-θ)cosγcosαsin(α-γ)cos(β-2θ)(9)3定域中心坐標(biāo)的建立由(1),(2)兩式可知,參量方程中的折射角β和γ由入射角和兩個界面的相對折射率確定,是兩個中間變量,因這兩個中間變量以三角函數(shù)的形式出現(xiàn),給相關(guān)量的討論帶來諸多不便,因而許多文獻(xiàn)在討論定域中心軌跡方程的形狀時,只能近似處理劈尖角很小的情形,很難進(jìn)行解析討論.因光源中心S0坐標(biāo)為(x0,y0),則h=(x0-y0tanα)sinθ.應(yīng)用Matlab的科學(xué)計算功能,把(1),(2)兩式和h的表達(dá)代入(8),(9)兩式,就可得到定域中心點的兩個坐標(biāo)分別為x=[1sinθ-2sin(U+θ)sinα√n21-n22sin2Un1sinWcosU]?(x0-y0tanα)sinθ(10)y=2sin(U+θ)√n21-n22sin2Ucosαn1sinWcosU?(x0-y0tanα)sinθ(11)其中U=arcsin(n1n2sinα)-2θ,W=α-arcsinn2sinUn1,兩個坐標(biāo)可寫成函數(shù)形式x=x(n1,n2,x0,y0,α,θ);y=y(n1,n2,x0,y0,α,θ),都不顯含中間參量h,β和γ,是定域中心點參量方程的解析形式,可以比較方便地討論定域中心點和定域深度了.4分析結(jié)果表明的討論與分析4.1定域中心軌跡方程(1)當(dāng)n1→n2,此時相對折射率接近1,則U→α-2θ,W→2θ,則(10),(11)兩式可進(jìn)一步近似為x=[1-sin(α-θ)cosθsinα]?(x0-y0tanα)(12)y=[sin(α-θ)cosθcosα](x0-y0tanα)(13)聯(lián)立(12),(13)兩式,消去參量α,得定域中心點的軌跡方程為[x-x0-y0tanθ2]2+[y+y0-x0tanθ2]2=(y0-x0tanθ)2+(x0-y0tanθ)24(14)不考慮入射角的取值范圍,這是一個半徑為√(y0-x0tanθ)2+(x0-y0tanθ)2/2,圓心為[(x0-y0tanθ)/2,(-y0+x0tanθ)/2]的標(biāo)準(zhǔn)圓方程,其半徑和圓心都和劈尖角、光源位置有關(guān).由方程(14)可知,劈尖角的大小和光源位置并不能影響到定域中心的形狀.顯然,當(dāng)θ很小且x0和y0的大小很接近時,圓半徑過渡到√y20+x20/2,圓心坐標(biāo)為(x0/2,-y0/2),這就是文獻(xiàn)所提到的圓心坐標(biāo)和半徑.不過,這里要求的條件是θ很小且x0和y0的大小很接近.圖2顯示了入射角在合理的取值范圍內(nèi),不同光源位置對圓心和半徑的影響.由圖可知,在相同劈尖角、相對折射率近似為1的情形下,定域中心點是一段圓弧,所對應(yīng)圓心角的大小跟角度的取值范圍(-cos(2θ)～arctan(x0/y0))有關(guān).(2)一般情況下實光源不會出現(xiàn)在介質(zhì)中,不會出現(xiàn)n2<n1的情形,故這里只討論n2>n1的情形.消去式(10)和式(11)中的參量α所得到的軌跡方程表達(dá)式過于煩瑣,反而不利于解析討論,因此,這里給出定域中心點軌跡方程的圖形解.由式(11)可得入射角須滿足的一個條件為sinα≥sin2θn22n12-1-cos2θ(15)由圖1也可直接看出,劈尖處所對應(yīng)的入射角是最大入射角,其值為arctan(x0/y0).因此入射角的取值范圍為(arcsin(sin2θn22/n12-1-cos2θ),arctan(x0/y0)).分別做出在此區(qū)間的軌跡方程,如圖3～圖5所示.圖3～圖5均說明當(dāng)相對折射率不為1時,定域中心點的軌跡方程已經(jīng)不是圓了.這三幅圖表明劈尖干涉可定域在劈尖的上界面處;可定域在劈尖的下界面附近;也可定域在劈尖內(nèi)部.實際上,曲線平行于劈尖的上界面,且縱坐標(biāo)為零的部分就是定域在劈尖上界面處.圖3說明了相對折射率小的部分有較長的一段曲線定域在劈尖上界面處.圖4則表明在光源水平方向越遠(yuǎn)離劈尖點的部分有較長的一段定域在劈尖上界面處.由圖5可看出,劈尖角越小時定域在劈尖上界面的長度也越長.4.2干涉條紋的特征設(shè)光源和水平方向的夾角θ0=α.圖1所示的入射光線是對應(yīng)于相干孔徑角為零時的光源中心處的入射光線.若光源中心處有兩處入射角為α+χ/2和α-χ/2(χ=λ/b)的兩列波入射,則根據(jù)定域深度的概念,Δy=y(α+χ/2)-y(α-χ/2)就是所謂的定域深度.(1)當(dāng)相對折射率近似為1時,把兩個入射角α+χ/2和α-χ/2分別代入式(13),相減后化簡得y(α+χ/2)-y(α-χ/2)=sinχ[(x0+y0tanθ)cos2α-(y0-x0tanθ)sin2α](16)由于χ的數(shù)量級為10-6→10-5,已經(jīng)是很小的了,則sinχ≈χ=λ/b,式(16)可近似為Δy=(λ/b)[(x0+y0tanθ)cos2α-(y0-x0tanθ)sin2α](17)由式(17)可知,光源寬度b越大,定域深度越小.對點光源,b→0,Δy→∞,定域深度為無窮大,整個空間可找到干涉條紋.(2)當(dāng)相對折射率大于1時,把兩個入射角α+χ/2和α-χ/2分別代入式(11),相減后式子很長,不便討論.由于χ很小,根據(jù)函數(shù)微分的含義,可作近似處理y(α+χ/2)-y(α-χ/2)≈χ(dy/dα)(18)再用Matlab把(dy/dα)和入射角α的函數(shù)關(guān)系用圖示方法表示.由圖6和圖7可知,定域點縱坐標(biāo)對入射角的導(dǎo)數(shù)都不大.由式(18)可知,當(dāng)χ為10-5的數(shù)量級時,定域深度y(α+χ/2)-y(α-χ/2)≈0,能觀察到的清晰的干涉條紋的范圍并不大,定域中心處的干涉條紋的可見度才比較大,其他地方很難觀察到干涉條紋.5定域中心軌跡利用Matlab軟件,可方便地得到定域中心點軌跡方程的簡化解析形式.當(dāng)相對折射率近似為1時,定域中心軌跡實際上是一段圓弧;相對折射率不為1時,定域中心點軌跡就不是