2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷及解析（真題樣卷）

2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一.個(gè).是符

合題意的

1.（3分）（2021?北京）截止至1J2021年6月1日，北京市已建成34個(gè)地下調(diào)蓄設(shè)施，蓄水

能力達(dá)到140000立方米，將140000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.14xl04B.1。4xl05C.1。4xl06D.14xl06

2.（3分）（2021?北京）實(shí)數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，這四個(gè)數(shù)中，

絕對(duì)值最大的是（）

abed

—Ljl---1—------------La__I---

4-3-2-101234

A.aB.bC.cD.d

3.（3分）（2021?北京）一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球和1個(gè)綠球，這些球

除了顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，恰好是黃球的概率為（）

A.1B.1C.1D.2

6323

5.（3分）（2021?北京）如圖，直線h，12,b交于一點(diǎn)，直線14〃h，若Nl=124°,52=88。,

則/3的度數(shù)為（）

A.26°B.36°C.46°D.56°

6.（3分）（2021?北京）如圖，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔

開.若測(cè)得AM的長(zhǎng)為1。2km,則M,C兩點(diǎn)間的距離為（）

A.Oo5kmB.Oo6kmC.Oo9kmD.Io2km

7.（3分）（2021?北京）某市6月份日平均氣溫統(tǒng)計(jì)如圖所示，則在日平均氣溫這組數(shù)據(jù)中,

眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

8.（3分）（2021?北京）如圖是利用平面直角坐標(biāo)系畫出的故宮博物院的主要建筑分布圖,

C.保和殿（1,0）D.武英殿（-3。5,-4）

9.（3分）（2021?北京）一家游泳館的游泳收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為30元/次，若購(gòu)買會(huì)員年卡，可享受

如下優(yōu)惠:

會(huì)員年卡類型辦卡費(fèi)用（元）每次游泳收費(fèi)（元）

A類5025

B類_20020

C類40015

例如，購(gòu)買A類會(huì)員年卡，一年內(nèi)游泳20次，消費(fèi)50+25x20=550元，若一年內(nèi)在該游泳

館游泳的次數(shù)介于45?55次之間，則最省錢的方式為（）

A.購(gòu)買A類會(huì)員年卡B.購(gòu)買B類會(huì)員年卡

C.購(gòu)買C類會(huì)員年卡D.不購(gòu)買會(huì)員年卡

10.（3分）（2021?北京）一個(gè)尋寶游戲的尋寶通道如圖1所示，通道由在同一平面內(nèi)的AB,

BC,CA,OA,OB,OC組成.為記錄尋寶者的行進(jìn)路線，在BC的中點(diǎn)M處放置了一臺(tái)

定位儀器.設(shè)尋寶者行進(jìn)的時(shí)間為x,尋寶者與定位儀器之間的距離為y,若尋寶者勻速行

進(jìn)，且表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則尋寶者的行進(jìn)路線可能為（

D.C玲B玲O

二、填填空題（本題共18分，每小題3分）

11.（3分）（2021?北京）分解因式：5x3-10X2+5X=

12.（3分）（2021?北京）如圖是由射線AB,BC,CD,DE,EA組成的平面圖形，則

Z1+Z2+Z3+Z4+Z5=.

13.（3分）（2021?北京）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)

的基本框架.它的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù).其中，方程術(shù)是《九章算術(shù)》

最高的數(shù)學(xué)成就.

《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩.問：牛、羊

各直金幾何？”

譯文："假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩.問：每頭牛、每

只羊各值金多少兩？"

設(shè)每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，可列方程組為.

14.（3分）（2021?北京）關(guān)于x的一元二次方程ax?+bx+工0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫出一

4

組滿足條件的實(shí)數(shù)a,b的值：a=,b=.

15.（3分）（2021?北京）北京市2021-2021年軌道交通日均客運(yùn)量統(tǒng)計(jì)如圖所示.根據(jù)統(tǒng)

計(jì)圖中提供的信息，預(yù)估2021年北京市軌道交通日均客運(yùn)量約萬(wàn)人次，你的

預(yù)估理由是.

日均客運(yùn)量萬(wàn)人次

16.（3分）（2021?北京）閱讀下面材料:

在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：

尺視作圖：作一條線段的垂直平分線.

己知：級(jí)段A3.

小蕓的作法如下:

如圖.

（1）分別以點(diǎn)4和點(diǎn)3為圓心，大于143的長(zhǎng)為半

徑作弧,兩弧相交于C,D兩點(diǎn)；

（2）作直統(tǒng)CD.

老師說(shuō)："小蕓的作法正確.”

請(qǐng)回答：小蕓的作圖依據(jù)是

三、解答題（本題共72分，第17—26題，每小題5分，第27題7分，第28題7分，第

29題8分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

17.（5分）（2021?北京）計(jì)算：（工）-2-（n-陰）°+|盛-2|+4sin60。.

18.（5分）（2021?北京）已知2a?+3a-6=0.求代數(shù)式3a（2a+l）-（2a+l）（2a-1）的值.

4（x+1）《7x+10

19.（5分）（2021?北京）解不等式組，x-8，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解.

x~——

3

20.（5分）（2021?北京）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的中線，BE1AC

于點(diǎn)E.求證：ZCBE=ZBAD.

21.（5分）（2021?北京）為解決“最后一公里”的交通接駁問題，北京市投放了大量公租自

行車供市民使用.到2021年底，全市已有公租自行車25000輛，租賃點(diǎn)600個(gè).預(yù)計(jì)到2021

年底，全市將有公租自行車50000輛，并且平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車數(shù)量是2021年底

平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車數(shù)量的1。2倍.預(yù)計(jì)到2021年底，全市將有租賃點(diǎn)多少個(gè)？

22.（5分）（2021?北京）在cABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE_LAB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD上，DF=BE,

連接AF,BF.

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

（2）若CF=3,BF=4,DF=5,求證：AF平分/DAB.

23.（5分）（2021?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+b（kxO）與雙曲線丫=圖的

X

一個(gè)交點(diǎn)為P（2,m）,與X軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B.

（1）求m的值；

(2)若PA=2AB,求k的值.

24.（5分）（2021?北京）如圖，AB是。O的直徑，過(guò)點(diǎn)B作。O的切線BM,弦CD〃BM,

交AB于點(diǎn)F,且徐前，連接AC,AD,延長(zhǎng)AD交BM于點(diǎn)E.

（1）求證：4ACD是等邊三角形；

（2）連接OE,若DE=2,求OE的長(zhǎng).

25.（5分）（2021?北京）閱讀下列材料:

2021年清明小長(zhǎng)假，北京市屬公園開展以"清明踏青，春色滿園”為主題的游園活動(dòng)，雖然

氣溫小幅走低，但游客踏青賞花的熱情很高，市屬公園游客接待量約為190萬(wàn)人次.其中,

玉淵潭公園的櫻花、北京植物園的桃花受到了游客的熱捧，兩公園的游客接待量分別為38

萬(wàn)人次、21。75萬(wàn)人次；頤和園、天壇公園、北海公園因皇家園林的厚重文化底蘊(yùn)與滿園

春色成為游客的重要目的地，游客接待量分別為26萬(wàn)人次、20萬(wàn)人次、17。6萬(wàn)人次；北

京動(dòng)物園游客接待量為18萬(wàn)人次，熊貓館的游客密集度較高.

2021年清明小長(zhǎng)假，天氣晴好，北京市屬公園游客接待量約為200萬(wàn)人次，其中，玉淵潭

公園游客接待量比2021年清明小長(zhǎng)假增長(zhǎng)了25%；頤和園游客接待量為26。2萬(wàn)人次,2021

年清明小長(zhǎng)假增加了4。6萬(wàn)人次；北京動(dòng)物園游客接待量為22萬(wàn)人次.

2021年清明小長(zhǎng)假，玉淵潭公園、陶然亭公園、北京動(dòng)物園游客接待量分別為32萬(wàn)人次、

13萬(wàn)人次、14。9萬(wàn)人次.

根據(jù)以上材料解答下列問題：

（1）2021年清明小長(zhǎng)假，玉淵潭公園游客接待量為萬(wàn)人次；

（2）選擇統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖，將2021-2021年清明小長(zhǎng)假玉淵潭公園、頤和園和北京動(dòng)物園

的游客接待量表示出來(lái).

26.（5分）（2021?北京）有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)y=&2+1的圖象與性質(zhì).

2x

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.

2x

下面是小東的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）函數(shù)y=&2+1的自變量x的取值范圍是；

2x

（2）下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值.

x-3-2-11111123

2332

y-253_1_25_5355H35m...

T22TT8l8T22

求m的值；

（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn).根據(jù)描出

的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；

（4）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,'），結(jié)合函數(shù)的

2

圖象，寫出該函數(shù)的其它性質(zhì)（一條即可）.

27.（7分）（2021?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)（0,2）且平行于x軸的直線，

與直線y=x-1交于點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)為B,拋物線Ci：y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A,B.

（1）求點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；

（2）求拋物線C］的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若拋物線C2：y=ax?（a#0）與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取

值范圍.

1

28.（7分）（2021?北京）在正方形ABCD中，BD是一條對(duì)角線，點(diǎn)P在射線CD上（與

點(diǎn)C、D不重合），連接AP,平移△ADP,使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C,得到△BCQ,過(guò)點(diǎn)Q作QH1BD

于H,連接AH,PH.

（1）若點(diǎn)P在線段CD上，如圖1.

①依題意補(bǔ)全圖1:

②判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；

(2)若點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上，且NAHQ=152。，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,請(qǐng)寫出求

DP長(zhǎng)的思路.(可以不寫出計(jì)算結(jié)果)

圖1備用圖

29.(8分)(2021?北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，(DC的半徑為r,P是與圓心C不重合

的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于。C的反稱點(diǎn)的定義如下：若在射線CP上存在一點(diǎn)P,滿足CP+CP，=2r,

則稱P'為點(diǎn)P關(guān)于。C的反稱點(diǎn)，如圖為點(diǎn)P及其關(guān)于。C的反稱點(diǎn)P，的示意圖.

特別地，當(dāng)點(diǎn)P'與圓心C重合時(shí)，規(guī)定CP，=0.

(1)當(dāng)。O的半徑為1時(shí).

①分別判斷點(diǎn)M(2,1),N(-|,0),T(1,炳)關(guān)于(DO的反稱點(diǎn)是否存在？若存在，

求其坐標(biāo)；

②點(diǎn)P在直線y=-x+2上，若點(diǎn)P關(guān)于。O的反稱點(diǎn)P存在，且點(diǎn)P，不在x軸上，求點(diǎn)P

的橫坐標(biāo)的取值范圍；

(2)0c的圓心在x軸上，半徑為1,直線y=-Y5x+2j蔭x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,

3

若線段AB上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P關(guān)于。C的反稱點(diǎn)P在。C的內(nèi)部，求圓心C的橫坐標(biāo)的

取值范圍.

2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一.個(gè).是符

合題意的

1.（3分）（2021?北京）截止到2021年6月1日，北京市己建成34個(gè)地下調(diào)蓄設(shè)施，蓄水

能力達(dá)到140000立方米，將140000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.14xl04B.1,4xl05C.I-4xl06D.14xl06

考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

專題：計(jì)算題.

分析：將140000用科學(xué)記數(shù)法表示即可.

解答:解：140000=lo4xl05,

故選B.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了科學(xué)記數(shù)法-表示較大的數(shù)，較小的數(shù)，以及近似數(shù)與有效數(shù)字，科學(xué)記

數(shù)法的表示形式為axl（）n的形式，其中n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定

a的值以及n的值.

2.（3分）（2021?北京）實(shí)數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，這四個(gè)數(shù)中，

絕對(duì)值最大的是（）

abcd

i9it???■iI■1

-4-3-2-101234

A.aB.bC.cD.d

考點(diǎn)：實(shí)數(shù)大小比較.

分析：首先根據(jù)數(shù)軸的特征，以及絕對(duì)值的含義和性質(zhì)，判斷出實(shí)數(shù)a,b,c,d的絕對(duì)值

的取值范圍，然后比較大小，判斷出這四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最大的是哪個(gè)數(shù)即可.

解答：解：根據(jù)圖示，可得

3<|a|<4,l<|b|<2,0<|c|<l,2<|d|<3,

所以這四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最大的是a.

故選：A.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了實(shí)數(shù)大小的比較方法，以及絕對(duì)值的非負(fù)性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，

解答此題的關(guān)鍵是判斷出實(shí)數(shù)a,b,c,d的絕對(duì)值的取值范圍.

3.（3分）（2021?北京）一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球和1個(gè)綠球，這些球

除了顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，恰好是黃球的概率為（）

A.1B.1C.1D.2

6323

考點(diǎn)：概率公式.

專題：計(jì)算題.

分析：直接根據(jù)概率公式求解.

解答：解：從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，恰好是黃球的概率=—^^

3+2+13

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了概率公式：隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所

有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

4.（3分）（2021?北京）剪紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，下列剪紙作品中，是軸對(duì)稱圖形的為

考點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形.

分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解.

解答：解：A、不是軸對(duì)稱圖形，

B、不是軸對(duì)稱圖形，

C、不是軸對(duì)稱圖形，

D、是軸對(duì)稱圖形，

故選：D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形的判斷方法：把某個(gè)圖象沿某條直線折疊，如果

圖形的兩部分能夠重合，那么這個(gè)是軸對(duì)稱圖形.

5.（3分）（2021?北京）如圖，直線h，J5交于一點(diǎn)，直線14〃h，若Nl=124。，N2=88。,

則N3的度數(shù)為（)

C.46°D.56°

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì).

分析：如圖，首先運(yùn)用平行線的性質(zhì)求出NAOB的大小，然后借助平角的定義求出N3即可

解決問題.

解答：解：如圖,?.?直線14〃h，

.,.Z1+ZAOB=180\而/1=124°,

.,.ZAOB=56°,

AZ3=180°-Z2-ZAOB

=180--88°-56°

=36°,

故選B.

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握平行線的性質(zhì)，這是靈活運(yùn)

用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.

6.（3分）（2021?北京）如圖，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔

開.若測(cè)得AM的長(zhǎng)為1。2km,則M,C兩點(diǎn)間的距離為（）

C.0o9kmD.1。2km

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線.

專題：應(yīng)用題.

分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得MC=AM=1。2km.

解答：解：；在RSABC中,ZACB=90°,M為AB的中點(diǎn),

.".MC=1AB=AM=1O2km.

2

故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜

邊的一半.理解題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵.

7.（3分）（2021?北京）某市6月份日平均氣溫統(tǒng)計(jì)如圖所示，則在日平均氣溫這組數(shù)據(jù)中,

眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

考點(diǎn)：眾數(shù)；條形統(tǒng)計(jì)圖；中位數(shù).

專題：數(shù)形結(jié)合.

分析：根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖得到各數(shù)據(jù)的權(quán)，然后根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解.

解答：解：這組數(shù)據(jù)中，21出現(xiàn)了10次，出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)為21,

第15個(gè)數(shù)和第16個(gè)數(shù)都是22,所以中位數(shù)是22.

故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).也考查了條形統(tǒng)

計(jì)圖和中位數(shù).

8.（3分）（2021?北京）如圖是利用平面直角坐標(biāo)系畫出的故宮博物院的主要建筑分布圖，

若這個(gè)坐標(biāo)系分別以正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸的正方向，表示太利門的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,

-1）,表示九龍壁的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,1）,則表示下列宮殿的點(diǎn)的坐標(biāo)正確的是（）

A.景仁宮（4,2）B.養(yǎng)心殿（-2,3）

C.保和殿（1,0）D.武英殿（-3。5,-4）

考點(diǎn)：坐標(biāo)確定位置.

分析：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系，找出相應(yīng)的位置，然后寫出坐標(biāo)即可.

解答：解：根據(jù)表示太和門的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,-1）,表示九龍壁的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,1）,

可得：原點(diǎn)是中和殿,

所以可得景仁宮（2,4）,養(yǎng)心殿（-2,3）,保和殿（0,1）,武英殿（-3。5,-3）,

故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查坐標(biāo)確定位置，本題解題的關(guān)鍵就是確定坐標(biāo)原點(diǎn)和x,y軸的位置及方向.

9.（3分）（2021?北京）一家游泳館的游泳收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為30元/次，若購(gòu)買會(huì)員年卡，可享受

如下優(yōu)惠：

會(huì)員年卡類型辦卡費(fèi)用（元）每次游泳收費(fèi)（元）

A類5025

B類20020

C類40015

例如，購(gòu)買A類會(huì)員年卡，一年內(nèi)游泳20次，消費(fèi)50+25x20=550元，若一年內(nèi)在該游泳

館游泳的次數(shù)介于45?55次之間，則最省錢的方式為（）

A.購(gòu)買A類會(huì)員年卡B.購(gòu)買B類會(huì)員年卡

C.購(gòu)買C類會(huì)員年卡D.不購(gòu)買會(huì)員年卡

考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用.

分析：設(shè)一年內(nèi)在該游泳館游泳的次數(shù)為x次,消費(fèi)的錢數(shù)為y元,根據(jù)題意得:yA=50+25x,

yB=200+20x,yc=400+15x,當(dāng)45Vxs50時(shí)，確定y的范圍，進(jìn)行比較即可解答.

解答：解：設(shè)一年內(nèi)在該游泳館游泳的次數(shù)為x次，消費(fèi)的錢數(shù)為y元，

根據(jù)題意得：

yA=50+25x,

YB=200+20X,

yc=400+15x,

當(dāng)454x450時(shí)，

1175<yA<1300；

1100<yB<1200；

1075<yc<1150：

由此可見，C類會(huì)員年卡消費(fèi)最低，所以最省錢的方式為購(gòu)買C類會(huì)員年卡.

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出函數(shù)關(guān)系式，并確定

函數(shù)值的范圍.

10.（3分）（2021?北京）一個(gè)尋寶游戲的尋寶通道如圖1所示，通道由在同一平面內(nèi)的AB,

BC,CA,OA,OB,OC組成.為記錄尋寶者的行進(jìn)路線，在BC的中點(diǎn)M處放置了一臺(tái)

定位儀器.設(shè)尋寶者行進(jìn)的時(shí)間為x,尋寶者與定位儀器之間的距離為y,若尋寶者勻速行

進(jìn)，且表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則尋寶者的行進(jìn)路線可能為（）

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象.

分析：根據(jù)函數(shù)的增減性：不同的觀察點(diǎn)獲得的函數(shù)圖象的增減性不同，可得答案.

解答：解：A、從A點(diǎn)到0點(diǎn)y隨x增大一直減小到0,故A不符合題意；

B、從B到A點(diǎn)y隨x的增大先減小再增大，從A到C點(diǎn)y隨x的增大先減小再增

大，但在A點(diǎn)距離最大，故B不符合題意；

C、從B到。點(diǎn)y隨x的增大先減小再增大，從O到C點(diǎn)y隨x的增大先減小再增

大，在B、C點(diǎn)距離最大，故C符合題意；

D、從C到M點(diǎn)y隨x的增大而減小，一直到y(tǒng)為0,從M點(diǎn)到B點(diǎn)y隨x的增大

而增大，明顯與圖象不符，故D不符合題意；

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，利用觀察點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)P之間距離的變化關(guān)系得出函數(shù)

的增減性是解題關(guān)鍵.

二、填填空題（本題共18分，每小題3分）

11.（3分）（2021?北京）分解因式：5x3-10X2+5X=5X（X-1）2.

考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.

分析：先提取公因式5x,再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解.

解答：解：5x3-10X2+5X

=5x（x2-2x+l）

=5x（x-1）2.

故答案為：5x（x-1）2.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二次

分解，注意分解要徹底.

12.（3分）（2021?北京）如圖是由射線AB,BC,CD,DE,EA組成的平面圖形，則

Z1+Z2+Z3+Z4+Z5=360°.

考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角.

分析：首先根據(jù)圖示，可得Nl=180。-NBAE,Z2=180°-ZABC,Z3=180°-ZBCD,

Z4=180°-ZCDE,Z5=180°-ZDEA,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出五邊形

ABCDE的內(nèi)角和是多少，再用180。、5減去五邊形ABCDE的內(nèi)角和，求出

N1+N2+N3+N4+N5等于多少即可.

解答：解：ZI+Z2+Z3+Z4+Z5

=(180°-ZBAE)+(180°-ZABC)+(180°-ZBCD)+(180°-ZCDE)+(180°

-ZDEA)

=180°x5-(ZBAE+ZABC+ZBCD+ZCDE+ZDEA)

=900°-（5-2）xl80°

=900°-540°

=360°.

故答案為：360°.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）n

邊形的內(nèi)角和=（n-2）.180（n>3）且n為整數(shù)）.（2）多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)

處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角，無(wú)論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360。.

13.（3分）（2021?北京）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)

的基本框架.它的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù).其中，方程術(shù)是《九章算術(shù)》

最高的數(shù)學(xué)成就.

《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩.問：牛、羊

各直金幾何？”

譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩.問：每頭牛、每

只羊各值金多少兩？"

設(shè)每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，可列方程組為_15x+2k10_.

[2x+5y=8

考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組.

分析：根據(jù)"假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩”，得到等量關(guān)

系，即可列出方程組.

解答:解:根據(jù)題意得：仔+2尸10,

[2x+5y=8

故答案為：儼+2y<o.

|2x+5y=8

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解決本題的關(guān)鍵是找到題目中所存在

的等量關(guān)系.

14.（3分）（2021?北京）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1^0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫出一

4

組滿足條件的實(shí)數(shù)a,b的值：a=4,b=2.

考點(diǎn)：根的判別式.

專題：開放型.

分析"由于關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+b。有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到a=b2,找一組滿

4

足條件的數(shù)據(jù)即可.

解答：關(guān)于X的一元二次方程ax2+bx+io有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

4

A=b2-4xL=b2-a=0,

4

；.a=b2,

當(dāng)b=2時(shí),a=4,

故b=2,a=4時(shí)滿足條件.

故答案為：4,2.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握判別式的意義是解題的關(guān)鍵.

15.（3分）（2021?北京）北京市2021-2021年軌道交通日均客運(yùn)量統(tǒng)計(jì)如圖所示.根據(jù)統(tǒng)

計(jì)圖中提供的信息，預(yù)估2021年北京市軌道交通日均客運(yùn)量約980萬(wàn)人次,你的預(yù)估理

由是根據(jù)2021-2021年呈直線上升，故2021-2021年也呈直線上升.

考點(diǎn)：用樣本估計(jì)總體；折線統(tǒng)計(jì)圖.

分析：根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行用樣本估計(jì)總體來(lái)預(yù)估即可.

解答：解：預(yù)估2021年北京市軌道交通日均客運(yùn)量約980萬(wàn)人次，根據(jù)2021-2021年呈直

線上升，故2021-2021年也呈直線上升，

故答案為：980；根據(jù)2021-2021年呈直線上升，故2021-2021年也呈直線上升.

點(diǎn)評(píng)：此題考查用樣本估計(jì)總體，關(guān)鍵是根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析其上升規(guī)律.

16.（3分）（2021?北京）閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：

尺視作圖：作一條線段的垂直平分踐.

己知：級(jí)段45.

____________,B

小蕓的作法如下:

如圖,/C

]

（1）分別以點(diǎn)4和點(diǎn)B為圓心，大于己43的長(zhǎng)為半

徑作弧，兩弧相交于C,Z）兩點(diǎn)；_____、B

（2）作直栽8.

?

老師說(shuō)："小蕓的作法正確.”

請(qǐng)回答：小蕓的作圖依據(jù)是到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上

考點(diǎn)：作圖一基本作圖.

專題：作圖題.

分析：通過(guò)作圖得至UCA=CB,DA=DB,則可根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理判斷CD為

線段AB的垂直平分線.

解答：解：VCA=CB,DA=DB,

ACD垂直平分AB（到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）

故答案為：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本作圖：基本作圖有：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；

作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線.

三、解答題（本題共72分，第17—26題，每小題5分，第27題7分，第28題7分，第

29題8分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

17.（5分）（2021?北京）計(jì)算：（工）-2-（n-g）°+|盛-2|+4sin60。.

考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)累；負(fù)整數(shù)指數(shù)累；特殊角的三角函數(shù)值.

分析：原式第一項(xiàng)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)轅法則計(jì)算，第二項(xiàng)利用零指數(shù)轅法則計(jì)算，第三項(xiàng)利用

絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，最后一項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果.

解合：解：原式=4-1+2-73+4X^=5+V3.

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

18.（5分）（2021?北京）已知2a2+3a-6=0.求代數(shù)式3a（2a+l）-（2a+l）（2a-1）的值.

考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算一化簡(jiǎn)求值.

專題：計(jì)算題.

分析：原式第一項(xiàng)利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，第二項(xiàng)利用平方差公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合

并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把已知等式變形后代入計(jì)算即可求出值.

解答：解：*/2a2+3a-6=0,即2a?+3a=6,

二原式=6a2+3a-4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

’4（x+1）《7x+10

19.（5分）（2021?北京）解不等式組，x-8，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解.

x~5<—―

3

考點(diǎn)：解一元一次不等式組；一元一次不等式組的整數(shù)解.

專題：計(jì)算題.

分析：分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分確定出不等式組的解集,

即可確定出所有非負(fù)整數(shù)解.

解答：（4（x+1）<7x+10①

由①得：x>-2；

由②得：x<X

不等式組的解集為-2Vx<工

2

則不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解為：0,1,2,3.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了解一元一次不等式組，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握運(yùn)算法

則是解本題的關(guān)鍵.

20.（5分）（2021?北京）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的中線，BE1AC

于點(diǎn)E.求證：ZCBE=ZBAD.

B

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).

專題：證明題.

分析：根據(jù)三角形三線合一的性質(zhì)可得/CAD=/BAD,根據(jù)同角的余角相等可得：

ZCBE=ZCAD,再根據(jù)等量關(guān)系得至IJNCBE=/BAD.

解答：證明：VAB=AC,AD是BC邊上的中線，BE1AC,

,ZCBE+ZC=ZCAD+ZC=90°,ZCAD=ZBAD,

.\ZCBE=ZBAD.

點(diǎn)評(píng)：考查了余角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、

底邊上的高相互重合.

21.（5分）（2021?北京）為解決"最后一公里”的交通接駁問題，北京市投放了大量公租自

行車供市民使用.到2021年底，全市已有公租自行車25000輛,租賃點(diǎn)600個(gè).預(yù)計(jì)到2021

年底，全市將有公租自行車50000輛，并且平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車數(shù)量是2021年底

平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車數(shù)量的1。2倍.預(yù)計(jì)到2021年底，全市將有租賃點(diǎn)多少個(gè)？

考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用.

分析：根據(jù)租賃點(diǎn)的公租自行車數(shù)量變化表示出2021年和2021年平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自

行車數(shù)量，進(jìn)而得出等式求出即可.

解答：解：設(shè)到2021年底，全市將有租賃點(diǎn)x個(gè)，根據(jù)題意可得：

25000y12=50000

600°x

解得：x=1000,

經(jīng)檢驗(yàn)得：x=1000是原方程的根，

答：到2021年底，全市將有租賃點(diǎn)1000個(gè).

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了分式的方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

22.(5分)(2021?北京)在口ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE_LAB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD上，DF=BE,

連接AF,BF.

(1)求證：四邊形BFDE是矩形；

(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求證：AF平分ZDAB.

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理的逆定理；矩形的判定.

專題：證明題.

分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB與CD的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得

BFDE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定，可得答案；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得NDFA=NFAB,根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，可得

ZDAF=ZDFA,根據(jù)角平分線的判定，可得答案.

解答：(1)證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃CD.

VBE/7DF,BE=DF,

四邊形BFDE是平行四邊形.

DE±AB,

；.NDEB=90°,

二四邊形BFDE是矩形；

(2)解：?..四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB〃DC,

.\ZDFA=ZFAB.

在RSBCF中，由勾股定理，得

BC=VFC2+FB2=V32+42=5，

；.AD=BC=DF=5,

.".ZDAF=ZDFA,

.,.ZDAF=ZFAB,

即AF平分NDAB.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形

的判定與性質(zhì)，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得出NDAF=NDFA是解題關(guān)鍵.

23.（5分）（2021?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+b（kwO）與雙曲線丫=圖的

x

一個(gè)交點(diǎn)為P（2,m）,與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B.

（1）求m的值；

（2）若PA=2AB,求k的值.

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.

分析：（1）將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求得m的值；

（2）作PC±x軸于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,0）,則AO=-a,AC=2-a,根據(jù)PA=2AB

得到AB：AP=AO：AC=1：2,求得a值后代入求得k值即可.

解答：解：；y=型過(guò)P（2,m）,

X

2m=8,

解得：m=4；

(2)點(diǎn)P(2,4)在丫=1?+1>上，

4=2k+b,

；.b=4-2k,

???直線y=kx+b(k#0)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,

；.A(2-A0),B(0,4-2k),

k

如圖，

VPA=2AB,

，AB=PB,則OA=OC,

.?.§-2=2,

k

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是表示出A的坐標(biāo)，然后

利用線段之間的倍數(shù)關(guān)系確定k的值，難度不大.

24.（5分）（2021?北京）如圖，AB是。O的直徑，過(guò)點(diǎn)B作。O的切線BM,弦CD〃BM,

交AB于點(diǎn)F,且徐羽，連接AC,AD,延長(zhǎng)AD交BM于點(diǎn)E.

（1）求證：△ACD是等邊二角形；

（2）連接OE,若DE=2,求0E的長(zhǎng).

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì).

分析：（1）由AB是。0的直徑，BM是。。的切線，得到ABLBE,由于CD〃BE,得到

CD1AB,根據(jù)垂徑定理得到俞二京，于是得到俞=京=而，問題即可得證；

（2）連接0E,過(guò)0作ON_LAD于N,由（1）知，△ACD是等邊三角形，得到/DAC=60。

又直角三角形的性質(zhì)得到BE=」AE,ON=」AO,設(shè)。0的半徑為：1?則ON=」r,

222

AN=DN=后,由于得至|JEN=2+?r，BE=氐=遙"2,在RtADEF與RtABEO

2222

中，由勾股定理列方程即可得到結(jié)論.

解答：（1）證明：：AB是。。的直徑，BM是。。的切線，

，AB_LBE,

：CD〃BE,

ACD±AB,

,而二京，

VDA=DC.

???^=AC=CD.

；.AD=AC=CD,

.'.△ACD是等邊三角形;

(2)解：連接OE,過(guò)。作ON，AD于N,由(1)知，AACD是等邊三角形,

NDAC=60°

VAD=AC,CD1AB,

.../DAB=30°,

.".BE=1AE,ON=1AO,

22

設(shè)。O的半徑為：r,

.\ON=lr,AN=DN=逅、

22

，EN=2+遙rBE=￡E=^"4

222

在RtANEO與RtABEO中，

OE2=ON2+NE2=OB2+BE2,

即（工）2+哼）=+（恁+2）2（

：.口2眄,

.\OE2=（^）2+25=28,

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定

理，過(guò)0作ONLAD于N,構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

25.（5分）（2021?北京）閱讀下列材料：

2021年清明小長(zhǎng)假，北京市屬公園開展以“清明踏青，春色滿園”為主題的游園活動(dòng)，雖然

氣溫小幅走低，但游客踏青賞花的熱情很高，市屬公園游客接待量約為190萬(wàn)人次.其中，

玉淵潭公園的櫻花、北京植物園的桃花受到了游客的熱捧，兩公園的游客接待量分別為38

萬(wàn)人次、21。75萬(wàn)人次；頤和園、天壇公園、北海公園因皇家園林的厚重文化底蘊(yùn)與滿園

春色成為游客的重要目的地，游客接待量分別為26萬(wàn)人次、20萬(wàn)人次、17。6萬(wàn)人次；北

京動(dòng)物園游客接待量為18萬(wàn)人次，熊貓館的游客密集度較高.

2021年清明小長(zhǎng)假，天氣晴好，北京市屬公園游客接待量約為200萬(wàn)人次，其中，玉淵潭

公園游客接待量比2021年清明小長(zhǎng)假增長(zhǎng)了25%；頤和園游客接待量為26。2萬(wàn)人次，2021

年清明小長(zhǎng)假增加了4。6萬(wàn)人次；北京動(dòng)物園游客接待量為22萬(wàn)人次.

2021年清明小長(zhǎng)假，玉淵潭公園、陶然亭公園、北京動(dòng)物園游客接待量分別為32萬(wàn)人次、

13萬(wàn)人次、14。9萬(wàn)人次.

根據(jù)以上材料解答下列問題：

（1）2021年清明小長(zhǎng)假，玉淵潭公園游客接待量為40萬(wàn)人次:

（2）選擇統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖，將2021-2021年清明小長(zhǎng)假玉淵潭公園、頤和園和北京動(dòng)物園

的游客接待量表示出來(lái).

考點(diǎn)：條形統(tǒng)計(jì)圖；統(tǒng)計(jì)表.

分析：（1）2021年的人數(shù)乘以（1+25%）即可求解；

（2）求出2021年頤和園的游客接待量，然后利用統(tǒng)計(jì)表即可表示.

解答：解：（1）2021年，玉淵潭公園的游客接待量是：32x（1+25%）=40（萬(wàn)人）.

故答案是：40；

（2）2021年頤和園的游客接待量是：26。4-4。6=21o8（萬(wàn)元）.

玉淵潭公園頤和園北京動(dòng)物園

2021年3221o814o9

2021年4026o222

2021年382618

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)據(jù)的分析與整理，正確讀懂題意，從所列的數(shù)據(jù)中整理出2021-2021

年三年中，三個(gè)公園的游客數(shù)是關(guān)鍵.

26.（5分）（2021?北京）有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)丫=工？+工的圖象與性質(zhì).

2x

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.

2x

下面是小東的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn).根據(jù)描出

的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；

（4）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,2），結(jié)合函數(shù)的

2

圖象，寫出該函數(shù)的其它性質(zhì)（一條即可）該函數(shù)沒有最大值.

1-

j------1_?__I_I_

?01X

考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì).

分析：（1）由圖表可知XHO；

（2）根據(jù)圖表可知當(dāng)x=3時(shí)的函數(shù)值為m,把x=3代入解析式即可求得；

（3）根據(jù)坐標(biāo)系中的點(diǎn)，用平滑的直線連接即可；

（4）觀察圖象即可得出該函數(shù)的其他性質(zhì).

解答：解：（1）xwO,

（2）令x=3,

.,.y=lx32+l

23

=A1=29;

236

.??m嚕

(4)該函數(shù)的其它性質(zhì)：

①該函數(shù)沒有最大值；

②該函數(shù)在x=0處斷開；

③該函數(shù)沒有最小值；

④該函數(shù)圖象沒有經(jīng)過(guò)第四象限.

故答案為該函數(shù)沒有最大值.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖表畫出函數(shù)的

圖象是解題的關(guān)鍵.

27.(7分)(2021?北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)(0,2)且平行于x軸的直線，

2

與直線y=x-1交于點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)為B,拋物線C1：y=x+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A,B.

(1)