河北省2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（月考）

河北省高二年級上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：空間向量與立體幾何，直線。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若經(jīng)過點(diǎn)和的直線的斜率為2，則（）A.1 B.2 C.3 D.42.已知點(diǎn)，斜傾角為45°的直線經(jīng)過點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，若的面積為，則（）A.1 B.2 C.4 D.83.已知垂直于正方形所在的平面，若，，則平面與平面夾角的大小是（）A.30° B.45° C.60° D.90°4.在四面體中，，，，，為的中點(diǎn)，若，則（）A. B.3 C. D.25.如圖，三棱錐的棱長均為，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.6.如圖，二面角等于135°，，是棱上兩點(diǎn)，，分別在半平面，內(nèi)，，，且，，則（）A. B. C. D.47.如圖，，分別是圓臺上、下底面圓的直徑，，是圓上一點(diǎn)，且，則在上的投影向量是（）A. B. C. D.8.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.1二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線：，直線：，下列結(jié)論正確的是（）A.直線可能不存在斜率B.直線過點(diǎn)C.若，則D.點(diǎn)和點(diǎn)分別是直線，上的動點(diǎn)，若，則的最小值是10.已知平面，，，與平面成30°角，，則與之間的距離可能是（）A. B. C.4 D.11.已知直線：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.若，則越大，直線的傾斜角越小B.若直線關(guān)于直線對稱的直線方程是，則C.若直線過定點(diǎn)，直線經(jīng)過和原點(diǎn)，則直線圍繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°后得到的直線方程是或D.若直線與軸、軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，當(dāng)最小時，12.清初著名數(shù)學(xué)家孔林宗曾提出一種“蒺藜形多面體”，其可由兩個正交的正四面體組合而成，如圖1，也可由正方體切割而成，如圖2，在圖2所示的“蒺藜形多面體”中，若，則給出的說法中正確的是（）A.該幾何體的表面積為B.該幾何體的體積為4C.二面角的余弦值為D.若點(diǎn)，在線段，上移動，則的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知點(diǎn)和，則直線的傾斜角為_________.14.一條光線從點(diǎn)射入，經(jīng)軸反射后沿直線射出，則_________.15.已知直線與直線的交點(diǎn)為，為直線的一個方向向量，則點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是_________.16.如圖，正方體的棱長為2，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在直線，上，則線段的最小值為_________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知點(diǎn)，，.（1）求直線的傾斜角，并寫出直線的點(diǎn)斜式方程；（2）求點(diǎn)到直線的距離.18.（12分）已知直線的方程為，若直線在軸上的截距為-2，且.（1）求直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知直線經(jīng)過與的交點(diǎn)，且與x軸、軸的正半軸圍成的三角形的面積為6，求直線的方程.19.（12分）如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，.（1）證明：.（2）求直線與所成角的余弦值.20.（12分）如圖，在長方體中，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若是線段的中點(diǎn)，求的面積.21.（12分）將沿它的中位線折起，使頂點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，使得，得到如圖所示的四棱錐，且，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.22.（12分）在三棱臺中，平面，，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求的長度；若不存在，請說明理由.高二年級上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案1.C因?yàn)?，所?2.B由題意可知，直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，所以，解得.3.A以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，.設(shè)平面的法向量為，則令，可得.因?yàn)槠矫娴囊粋€法向量為，所以，則平面與平面夾角的大小是30°.4.B如圖，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，，所以，由，解得.5.D由題意知三棱錐為正四面體，易知，且.因?yàn)?，，，，故選D.6.C由二面角的平面角的定義知，所以.由，，得，.又，所以，即.7.A如圖，取在下底面的投影，作，垂足為.連接，，，則，在上的投影向量是.設(shè)上底面圓的半徑為，則，.故在上的投影向量是.8.D因?yàn)?，，，所以到直線的距離為.9.BCD因?yàn)橹本€的斜率為，所以A錯誤；因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程，所以B正確；當(dāng)時，，解得，C正確；因?yàn)椋?，解得，則直線：，當(dāng)時，最小，此時，D正確.10.AC如圖，因?yàn)椋?，所?作，垂足為，連接，則或.易知，若，則，若，則，A，C正確.11.BD由題意可知，當(dāng)時，直線的斜率為，故A錯誤；可求得直線與直線的交點(diǎn)是，正是直線經(jīng)過的定點(diǎn)，可知直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，所以，解得，B正確；易知，得直線的斜率為，設(shè)直線圍繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)45°后所得直線的傾斜角為，則，所以直線圍繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)45°后所得直線的斜率為，但是直線不經(jīng)過點(diǎn)，故C錯誤；直線過定點(diǎn)，另外假設(shè)直線的截距式方程為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，此時直線的方程為，由，得，故D正確.12.BCD因?yàn)?，所?該幾何體的表面積為，A錯誤.該幾何體的體積為，B正確.設(shè)的中點(diǎn)為，連接，（圖略），則即二面角的平面角.，，C正確.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立.故的最小值為，D正確.13.設(shè)直線的傾斜角為，則.又，所以.14.-2由題意可知，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，解得.15.聯(lián)立方程組解得即，因?yàn)闉橹本€的一個方向向量，所以直線的斜率為-2，則，即直線的方程為.設(shè)的對稱點(diǎn)為，則解得即.16.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，.設(shè)，，則，.當(dāng)時，取得最小值，最小值為.17.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)，，，所以，，所以直線的傾斜角為135°，直線的點(diǎn)斜式方程為，或?qū)懗桑ㄗⅲ簩懸粋€即可）（2）由（1）可得直線的一般式方程為，所以點(diǎn)到直線的距離.18.解：（1）因?yàn)椋本€的斜率為-1，所以直線的斜率為1，則：.聯(lián)立方程組解得所以直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)：，.令，得；令，得.由，化簡得，解得，即直線的方程為.19.（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，可得，，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，，所以，即，從而.（2）解：由（1）知，因?yàn)?，所以，設(shè)直線與所成的角為，所以.20.（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，可得，，，，.則，，.設(shè)是平面的法向量，可得則令，得.因?yàn)?，平面，所以平?（2）解：由（1）知，，，則，，，所以.設(shè)到直線的距離為，則，所以.21.（1）證明：因?yàn)闉榈闹形痪€，所以.因?yàn)椋?，，又，所以平?（2）解：由（1）可證平面平面.取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所?又平面平面，所以平面，且.以為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)椋S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.所以，.設(shè)是平面的法向量，可得令，得，易知為平面的一個法向量.設(shè)平面與平面的夾角為，則，得所以平面與平面夾角的余弦值為.22.（1）證明：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以.又，所以四邊形為平行四邊形，.因?yàn)闉榈?/p>