概率論第四章第五章第一次課

§1數(shù)學(xué)期望

(Mathematicalexpectation)一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用第一頁(yè)第二頁(yè)，共25頁(yè)。求平均每天乘客數(shù).引例:為調(diào)整車(chē)輛,對(duì)某公共汽車(chē)站的乘客數(shù)進(jìn)行了20天的觀察,其結(jié)果為:=(390×2+400×4+410×7+420×5+430×1+440×1)/20解:

20天中,平均每天乘客數(shù)為這里2/20，4/20是“乘客數(shù)為390人”“乘客數(shù)為400人”的頻率，若將其視為相應(yīng)的概率,則可建立如下模型(X表示日乘客數(shù))：=390×2/20+400×4/20+410×7/20+420×5/20+430×1/20+440×1/20=411

一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

乘客數(shù)390400410420430440天數(shù)247511X390400410420430440pk2/204/207/205/201/201/20第二頁(yè)第三頁(yè)，共25頁(yè)。定義1

設(shè)離散型r.vX的分布律為：若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)的和為r.vX的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值，記為E(X)，即(1)（3）注（1）（2）與求和順序無(wú)關(guān)。同時(shí)保證了收斂，絕對(duì)收斂，不僅保證了級(jí)數(shù)E(X)pxpxkkkkkk??￥=￥=11

（4）

E(X)反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.第三頁(yè)第四頁(yè)，共25頁(yè)。設(shè)兩人的日產(chǎn)量相等,問(wèn)誰(shuí)的技術(shù)更好?故乙的技術(shù)好。例1：

甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)廢品的概率分別是：解：E(X1)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1E(X2)=0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9例2：解：令m=k-1工人甲乙X1X2廢品數(shù)01230123概率pk0.40.30.20.10.30.50.20第四頁(yè)第五頁(yè)，共25頁(yè)。例3：設(shè)X服從幾何分布，即解求和與求導(dǎo)交換次序等比級(jí)數(shù)求和注：①E(X)不存在的例子：②若E(X)存在，則是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).發(fā)散X248…2n…pk1/21/41/8…1/2n…第五頁(yè)第六頁(yè)，共25頁(yè)。P91例5在一個(gè)人數(shù)很多的團(tuán)體中普查某種疾病,為此要抽驗(yàn)N個(gè)人的血,可以用兩種方法進(jìn)行:如果混合血液呈陰性反應(yīng),就說(shuō)明k個(gè)人的血都呈陰性反應(yīng),

若呈陽(yáng)性,則對(duì)這k個(gè)人的血液再分別進(jìn)行化驗(yàn),這樣k個(gè)人第六頁(yè)第七頁(yè)，共25頁(yè)。解:

由此可知,第七頁(yè)第八頁(yè)，共25頁(yè)。這時(shí)就能得到最好的分組方法.例如,

則按第二種方法平均只需化驗(yàn)這樣平均來(lái)說(shuō),第八頁(yè)第九頁(yè)，共25頁(yè)。二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)連續(xù)型r.vX的概率密度為f(x),若廣義積分絕對(duì)收斂,則稱此積分的值為r.vX的數(shù)學(xué)期望,記為E(X),即E(X)=(2)1、定義22、重要分布的期望值:二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布要求:

①能熟練驗(yàn)證;②熟記結(jié)果.第九頁(yè)第十頁(yè)，共25頁(yè)。P89例2有兩個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置,它們的壽命Xk(k=1,2)服從同一指數(shù)分布,其概率密度為

若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)聯(lián)接成整機(jī),求整機(jī)壽命(小時(shí))N的數(shù)學(xué)期望

解

第十頁(yè)第十一頁(yè)，共25頁(yè)。三、隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望⑴離散型r.vX的分布律為：P{X=xk}=pkk=1,2…

⑵連續(xù)型r.vX的概率密度為f(x)1、已知一維r.vX的分布,求其函數(shù)Y=g(X)的期望:(4)(3)說(shuō)明：該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給計(jì)算r.v函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.簡(jiǎn)單函數(shù)可列表運(yùn)算第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共25頁(yè)。例4：某車(chē)間生產(chǎn)的圓盤(pán)直徑在(a,b)上服從均勻分布，試求圓盤(pán)面積的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)X為某車(chē)間生產(chǎn)的圓盤(pán)直徑，依題意，X～U（a，b）X的概率密度為設(shè)圓盤(pán)面積為Y，則

上述基本公式，可推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上r.v的情況。說(shuō)明：第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共25頁(yè)。（2）連續(xù)型r.v(X,Y)的概率密度為f(x,y)，則有(6)2、已知二維

r.v（X,Y）的分布，求Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望（1）離散型r.v（X，Y）的分布律為：(5)絕對(duì)收斂第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共25頁(yè)。P94例9

解：

第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共25頁(yè)。P94例10

某公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)一種新產(chǎn)品市場(chǎng)，并試圖確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量.他們估計(jì)出售一件產(chǎn)品可獲利m元，而積壓一件產(chǎn)品導(dǎo)致元的損失.再者,他們預(yù)測(cè)銷(xiāo)售量Y(件)服從指數(shù)分布,其概率密度為

問(wèn)若要獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品(m,n,θ已知)解

第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共25頁(yè)。又且可知這也是最大值.

令得第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共25頁(yè)。

1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;4.設(shè)X、Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y);

2.若C是常數(shù)，則E(CX)=CE(X);

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（諸Xi獨(dú)立時(shí)）注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立推論：E(E(X))=E(X)四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共25頁(yè)。證：（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)特別地，設(shè)二維r.v(X,Y)概率密度函數(shù)為f(x,y)第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共25頁(yè)。例5

把數(shù)字1,2,…,n任意地排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱為一個(gè)巧合，求巧合個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.由于

E(Xk)=P(Xk

=1)解:

設(shè)巧合個(gè)數(shù)為X,則故引入五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共25頁(yè)。解：

記Xi=“在第i站客車(chē)的停車(chē)次數(shù)”，則有i=1，2…10。由期望的性質(zhì)有方法思想：把復(fù)雜r.vX分解為數(shù)個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)變量Xi之和，再利用性質(zhì)求期望.i

=1,2,…,10.20人都不在此站下P97例12：客車(chē)載有20位乘客,開(kāi)出后有10個(gè)車(chē)站可下車(chē),每位旅客在各站下車(chē)是等可能的,且各乘客是否下車(chē)是相互獨(dú)立的.若在一個(gè)站沒(méi)人下車(chē),則不停,記X為總停車(chē)次數(shù),求E(X).第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共25頁(yè)。練習(xí)：已知隨機(jī)變量X的概率密度為

求的期望解：第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共25頁(yè)。游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光，電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘，25分鐘，和55分鐘從底層起行。假設(shè)一游客在早8點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層候梯處，且X在[0，60]上均勻分布，求該游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望（97考研題）解：因