一道變力做功問(wèn)題的正解與巧解

一道變力做功問(wèn)題的正解與巧解王鍇（四川省萬(wàn)源中學(xué)，四川，萬(wàn)源，636350）、問(wèn)題的來(lái)源:筆者今年任教高三物理，在復(fù)習(xí)資料上發(fā)現(xiàn)這樣一道習(xí)題，原題如下：如圖所示，固定的光滑豎直桿上套著一個(gè)滑塊，用輕繩系著滑塊繞過(guò)光滑的定滑輪，以大小恒定的拉力F拉繩，使滑塊從A點(diǎn)起由靜止開(kāi)始上升?若從A點(diǎn)上升至B點(diǎn)和從B點(diǎn)上升至C點(diǎn)的過(guò)程中F做的功分別為W、W,，圖中AB=BC，則一定有12（）圖1W>W圖112W<W12W二W12無(wú)法判斷二、問(wèn)題的分析:本題的本意和常規(guī)思路是：根據(jù)輕繩自身不消耗能量且在中學(xué)階段忽略定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的能量，以及忽略輕繩與定滑輪之間的摩擦力，從而得出定滑輪左端繩子拉滑塊所做的功等于定滑輪右端繩子所受拉力所做的功，而根據(jù)定滑輪右端繩子拉力大小恒定不變且方向恒定不變，所以有：假設(shè)定滑輪所在點(diǎn)為O點(diǎn)，則有：滑塊從A運(yùn)動(dòng)到B定滑輪左端繩子的縮短量為:(1)(2)AL=AO-BO(1)(2)1滑塊從B運(yùn)動(dòng)到C定滑輪左端繩子的縮短量為:AL=BO-CO2所以有：滑塊從A運(yùn)動(dòng)到B,繩子拉力做功等于繩子拉力F乘以左端繩子的縮短量AL,即：W=F?AL=F?（AO-BO） （3）11滑塊從B運(yùn)動(dòng)到C,繩子拉力做功等于繩子拉力F乘以左端繩子的縮短量AL,2即：W=F?AL=F?(BO-CO) (4)22為了分析問(wèn)題方便，假設(shè)定滑輪所在點(diǎn)為O點(diǎn)，過(guò)定滑輪所在點(diǎn)作豎直桿的垂線且垂足為D點(diǎn)，且假設(shè)：DO=L,AO=L，且AO與豎直桿夾角為a,BO=L，且BO與豎直桿夾角為012B,CO二L，且與豎直桿夾角為Y。3那么現(xiàn)在我們可以把AL和AL表示出來(lái)了:12根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，可以得出：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"AL=AO-BO="o——^0 (6)1 sinasinp\o"CurrentDocument"AL=BO-CO=-^—-Lo (7)2 sinpsiny現(xiàn)在問(wèn)題最終歸結(jié)為比較牛與AL2的大小并最終歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，那就是比較\o"CurrentDocument"LL L L0-時(shí)與臨-—的大小關(guān)系。sinasinp smpsmy但是令人意外的事情是，由于a,B,Y三個(gè)角的具體角度未知，所以并不能僅僅因?yàn)椋篴<B以及B<Y就能簡(jiǎn)單地得出:AL=AO-BO="o—匕>AL=BO-CO="o—"o這個(gè)結(jié)論!1 sinasinp2 sinpsiny三、問(wèn)題的解決：以下給出本問(wèn)題的常規(guī)解法以及巧解:1、常規(guī)解法：1、如圖3所示：圖3我們將AB以及BC,都等分成N段，如前文所述：假設(shè)：AB的第一段下方為：AO=L=L，且L或L與豎直桿的夾角為：a,AB的第一段上方111111為：AO二L，且設(shè)L與豎直桿夾角為a，112121再假設(shè)：AB的第二段下方為：AO二L，且L與豎直桿的夾角為a，AB的第二段上方為：AO二L，112121213且設(shè)L與豎直桿夾角為a，132之后，依次類推，直到AB的最后一段上方為BO二L,。2假設(shè)：BC的第一段下方為：BO=L=L，且L或L與豎直桿的夾角為：B,BC的第一段上方221221為：BO二L，且設(shè)L與豎直桿夾角為0，122221再假設(shè)：BC的第二段下方為：BO二L，且L與豎直桿的夾角為0,BC的第二段上方為：BO二L,122221223且設(shè)L與豎直桿夾角為0,232之后，依次類推，直到BC的最后一段上方為CO二L,。3接下來(lái)我們來(lái)證明本問(wèn)題的關(guān)鍵：AL=AO-BO>AL二BO-CO (8)12如圖4所示：-O圖4根據(jù)題意可知：AO與豎直桿的夾角a小于BO與豎直桿的夾角B,且由上文假設(shè)由于AB與BC都是等分成N段的，所以有：a<0,a<0,a<0???a<0 (9)1122 N-1 N-1現(xiàn)分別取AB段和BC段的第一段來(lái)研究：在三角形AOA中，過(guò)A1點(diǎn)做AO直線的垂線，設(shè)垂足為M1,由于AA1只是AB,N等分后的一段，所11以在三角形AOA中ZAOA非常的小，如果把AB和BC等分的段數(shù)N增加到無(wú)窮大的話，ZAOA可以111趨近于0。由于ZAOA趨近于0,所以在三角形MjOAj中：ZOMA=ZOAM沁90o，從而，在三角1111111

形AA1M1中ZAMA沁90O，從而可得：三角形AAM為一個(gè)直角三角形，且ZAMA=90。111111從而，在AB等分成N段中的第一段中的三角形AA1M1中滿足：TOC\o"1-5"\h\zAO-AO沁AM=AA?cosa (10)111然后用相同的方法可以證明：在AB等分成N段中的第二段中的三角形A]A2M2中滿足：AO-AO沁AM=AA?cosa (11)1212121利用相同的方法就可以證明等分成N段的AB在每一小段中，這一小段下方的繩長(zhǎng)與這一小段的上方的繩長(zhǎng)之差均滿足相同的規(guī)律，即：AO-AO沁AM=AA?cosa (12)i i+1 ii+1 ii+1 i再利用相同的方法也可以證明等分成N段的BC在每一小段中，這一小段下方的繩長(zhǎng)與這一小段上方的繩長(zhǎng)之差均滿足相同的規(guī)律，即：BO-BOuBM=BB?cosP (13)i i+1 ii+1 ii+1 i根據(jù)題設(shè)，有線段AB和BC相等，自然，線段AB和BC在N等分后各段對(duì)應(yīng)相等，且各段繩長(zhǎng)與豎直桿的夾角始終滿足：a<Pii然后比較，AB和BC，N等分后的第一段有14)所以：AA1?cosa=AB"N?14)所以：AA1?cosa=AB"N?cosa>BB1?cosP=BC?cosN15)16)17)又因?yàn)椋篈O-AOuAM二AA?cosa>BO-BO沁BM=BB?16)17)111111所以：AO-AO>BO-BO11然后，依此類推，因?yàn)椋篴<PTOC\o"1-5"\h\zAB BC所以：AA?cosa= ?cosa>BB?cosP= ?cosPii+1 iNiii+1 iNi又因?yàn)椋篈O-AOuAM=AA?cosa>BO-BOuBM=BB?cosPi i+1 iiii+1 ii i+1 iiii+1 i有AB與BC的每一段的下方的繩長(zhǎng)與上方的繩長(zhǎng)之差總是滿足：TOC\o"1-5"\h\zAO-AO>BO-BO (21)i i+1 i i+1由于AB與BC的每一段的下方的繩長(zhǎng)與上方的繩長(zhǎng)之差總是滿足：AO-AO>BO-BO，i+1 i i+1即滿足：AO-AO>BO-BO11AO-AO>BO-BOTOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2AO-AO>BO-BO3 2 3???AO-BO>BO-CON-1 N-1即是說(shuō)：AB與BC等分后的每一段中均滿足AB中的那一段下方的繩長(zhǎng)與上方的繩長(zhǎng)之差總是比BC中對(duì)應(yīng)的那一段下方的繩長(zhǎng)與上方的繩長(zhǎng)之差要大些。最后，我們把AB與BC對(duì)應(yīng)各段的下方的繩長(zhǎng)與上方的繩長(zhǎng)之差累加起來(lái)可得：(AO-AO)+(AO-AO)+(AO-AO)+???+(AO-BO)11223N-1=AO-AO+AO-AO+AO-AO+???AO-BO (22)11223 N-1=AO-BO=L-L=AL121(BO-BO)+(BO-BO)+(BO-BO)+…+(BO-CO)11223N-1=BO-BO+BO-BO+BO-BO+???BO-CO (23)11223 N-1=BO-CO=L-L=AL232最后可得：AL>AL，12即：W=F?AL=F?(AO-BO)>W=F?AL=F?(BO-CO) (24)1122即拉力在AB段對(duì)滑塊所做的功大于在BC段對(duì)滑塊所做的功。2、巧解：如圖5所示：如果要證明AO-BO>BO-CO。可以以AC為公共邊作一個(gè)倒置的與三角形△AOC全等的三角形AO'C。兩個(gè)三角形共同構(gòu)成一個(gè)平行四邊形OAO'C?？梢宰C明：BO和BO'在同一條直線上。那么：在三角形厶O(píng)O'C中由三角形兩邊之和大于第三邊可得：TOC\o"1-5"\h\zCO+CO'