通信技術與系統(tǒng)第二章信號與噪聲分析

第二章信號與噪聲分析主要內容信號與系統(tǒng)表示法信號頻譜分析概述希爾波特變換隨機信號通過系統(tǒng)的分析信息的度量信號信號是信息的載體，通常以某種客觀物理量、客觀現(xiàn)象或語言文字等形式表現(xiàn)出來。作為信息的載體，信號必須能被人的視覺、聽覺、味覺或觸覺感受到，或被機器設備檢測到，否則就失去了信息傳輸的意義；信號如果不可變，則無法攜帶豐富多彩的信息；信號必須能夠通過物理方法產生或實現(xiàn)。信號近代一切與電有關的通信都是把信息轉化為電壓、電流、電荷或無線電波等信號形式，再利用各種傳輸手段將這些信號進行傳輸；而光通信則是以光波作為信息的載體；通信系統(tǒng)常用信號類型1、周期信號與非周期信號按信號變化的特點分為周期信號與非周期信號。周期信號：信號的變化按一定規(guī)律重復出現(xiàn)的信號。用數學語言描述就是非周期信號：除周期信號外的所有信號。通信系統(tǒng)常用信號類型2、確定信號和隨機信號 根據信號的變化規(guī)律可分為確定信號和隨機信號。確定信號的變化規(guī)律是已知的，比如正弦型信號、指數信號等；隨機信號的變化規(guī)律是未知的，比如我們打電話時的語音信號、電視節(jié)目中的圖像信號還有一些噪聲等。通信系統(tǒng)常用信號類型3、能量信號與功率信號瞬時功率：歸一化瞬時功率或R=1Ω時的能量R=1Ω時的歸一化能量：平均功率：通信系統(tǒng)常用信號類型3、能量信號與功率信號能量信號：能量有限的信號，能量信號的總平均功率等于0；非周期信號通常為能量信號；功率信號：平均功率有限的信號，功率信號的能量等于無窮大；周期信號和隨機信號通常是功率信號。通信系統(tǒng)常用信號類型4、基帶信號與頻帶信號根據信號是否進行了調制，可將信號分成基帶信號和頻帶信號（調制信號）。未經調制的信號叫基帶信號；基帶信號一般直接攜帶信息，接收到信號也就收到了信息；。經過某種調制的信號叫頻帶信號，調制信號雖然也攜帶信息，但接收端必須對接收到的信號進行解調處理才能還原為原始信息通信系統(tǒng)常用信號類型5、模擬信號與數字信號按信號外在表現(xiàn)的特征可分為模擬信號和數字信號兩大類。模擬信號：參量(因變量)取值隨時間(自變量)的連續(xù)變化而連續(xù)變化的信號，通俗地講，波形為連續(xù)曲線的信號就是模擬信號。模擬信號的主要特點是在其出現(xiàn)的時間內具有無限個可能的取值。正是這一特點使得模擬信號難以存儲；離散信號：在時間上取離散值的信號。與模擬信號的主要區(qū)別是自變量的取值不連續(xù)。參量的取值與模擬信號一樣，隨函數的關系而定；數字信號：自變量取離散值，參量取有限個經過量化的離散值的信號。通信系統(tǒng)常用信號類型通信系統(tǒng)常用信號類型6、電信號和光信號根據信息載體的不同，把信號可分為電信號和光信號兩大類。電信號主要包括電壓信號、電流信號、電荷信號和電磁波(無線電)信號；光信號則是利用光亮度的強弱來攜帶信息的。通信系統(tǒng)常用信號類型7、多媒體信號按信息的類別不同，信號主要可分為語音信號、圖片信號、活動圖像(視頻)信號、文字信號、數據信號等。在計算機領域為研究和敘述方便，常把經過模/數轉換后的上述信號統(tǒng)稱為數據信號。有時為了強調信號的多樣性，也稱其為多媒體信號。系統(tǒng)表示方式線性遵循疊加原理和比例倍增時不變信號頻譜分析概述通信原理中一個很重要的基本概念就是信號的頻譜；我們通常習慣于在時間域(簡稱時域)考慮問題，研究函數(信號)幅度(因變量)與時間(自變量)的關系。在通信領域，我們常常需要了解信號幅度和相位與頻率(自變量)之間的關系。也就是說，要在頻率域(簡稱頻域)中研究信號。信號在時域和頻域里的特性不同，其研究方法也不一樣，信號頻譜分析概述周期信號的頻譜 在高等數學中我們學過傅里葉級數，其內容是：任意一個滿足狄里赫利條件的周期信號f(t)(實際工程中所遇到的周期信號一般都滿足)可用三角函數信號的線性組合來表示，即信號頻譜分析概述信號頻譜分析概述式中，n為正整數，a0是常數。T0是f(t)的周期。從電學的角度上講，第一項表示直流分量；n=1時，a1cosω0t+b1sinω0t叫做基波，也就是基礎波的意思，其頻率為ω0；n=2時，a2cos2ω0t+b2sin2ω0t叫做二次諧波，其頻率是基波的二倍。以此類推，ancosnω0t+bnsinnω0t叫做n次諧波。信號頻譜分析概述傅里葉級數的物理意義就是一個周期信號可近似用一直流分量和以其頻率(周期的倒數)為基頻的各次諧波(正弦型信號)的線性疊加表示。信號頻譜分析概述諧波次數取得越高，近似程度越好。由此得出結論，基波決定信號的大體形狀，諧波改變信號的“細節(jié)”。信號頻譜分析概述代入歐拉公式得到傅里葉級數的復指數表達形式：信號頻譜分析概述傅里葉級數的復指數表達形式，表明一個周期信號可以由無窮個復指數信號線性疊加而成。其中F(nω0)是一個以離散變量nω0為自變量的復變函數，具有實部和虛部，即F(nω0)反映了f(t)在頻域上各次諧波的幅值大小和相位多少，因此F(nω0)稱為f(t)的頻譜函數；實部稱為幅頻函數，虛部稱為相頻函數；信號頻譜分析概述任何一個周期信號都可用與其惟一對應的頻譜函數來描述。f(t)描述的是信號與時間的關系，而F(nω0)描述的是信號各次諧波的幅值、相位與頻率之間的關系。信號頻譜分析概述周期信號的頻譜的特點：離散性、諧波性和收斂性譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數倍（各次諧波點）處，具有非周期性、離散性的特點；其中譜線的間隔就是基頻ω0，因為ω0=2π/T0，所以，周期越大，譜線越密,也就是單位頻帶中諧波個數越多。各次諧波振幅(即譜線的高低)的總變化規(guī)律是隨著諧波次數的增加而逐漸減小。各次諧波振幅隨頻率的衰減速度與原始信號的波形有關。即時域波形變化越慢，頻譜的高次諧波衰減就越快，高頻成分就越少。反之，時域波形變化越劇烈，頻譜中高次諧波成分就越多，衰減就越慢。信號頻譜分析概述非周期信號的頻譜當T0趨于無窮大，則ω0趨于無窮小，離散變量nω0趨于連續(xù)變量ω，F(xiàn)(nω0)也從離散函數變成連續(xù)函數。信號頻譜分析概述無論是一個周期信號還是一個非周期信號都可在頻域進行研究分析。對于周期信號，借助傅里葉級數可得到與該信號相對應的頻譜函數F(nω0)；對于一個非周期信號，可用傅里葉變換求得該信號的頻譜函數F(ω)；F(nω0)與F(ω)雖然都叫頻譜函數，但概念不一樣信號頻譜分析概述任何一個信號都具有頻譜(隨機信號用功率譜描述)。對于非周期信號，根據頻譜寬度我們把信號分為頻帶有限信號(簡稱帶限信號)和頻帶無限信號。頻帶有限信號又包括低通型信號、帶通型信號。低通型信號的頻譜從零開始到某一個頻率截止，信號能量集中在從直流到截止頻率的頻段上，由于頻譜從直流開始，因此稱為低通型信號。帶通型信號的頻譜存在于從不等于零的某一頻率到另一個較高頻率的頻段。信號頻譜分析概述信號頻譜分析概述從頻譜圖中我們可以看到無論是周期信號的頻譜還是非周期信號的頻譜，其頻譜曲線為偶對稱，而實際上并沒有負頻率，那么如何解釋這個問題呢？在三角函數形式展開時，求和變量n的下限從1開始，所以，頻譜圖沒有負頻率部分，這是符合實際情況的。信號頻譜分析概述在復指數表達形式展開時，求和變量n的下限是-∞，則頻譜中就有負頻率分量：如果要用復指數信號表達正弦型信號就必須有正、負兩種復指數信號，而在負復指數信號中，我們關心的是信號與頻率的關系，且時間t不能為負，所以，把負號賦給角頻率ω0，頻譜就出現(xiàn)負頻率分量。因此，頻譜中出現(xiàn)負頻率分量沒有對應的物理解釋，僅僅是一種數學需要而已。卷積時域卷積頻域卷積卷積卷積定理調制定理相關自相關函數互相關函數能量譜和功率譜能量譜密度 若存在傅立葉變換對，能量信號f(t)的能量譜與其自相關函數也是一對傅立葉變換。簡寫為： 其中稱為能量譜函數或能量譜密度。能量譜和功率譜功率譜密度 若存在傅立葉變換對，功率信號f(t)的功率譜與其自相關函數也是一對傅立葉變換。周期為T的信號在一個周期內的時間平均自相關函數對應著單位時段能量譜。能量譜和功率譜信號能量與功率的計算

時域： 頻域：帕氏定理能量譜或功率譜在其頻率范圍內，對頻率的積分等于信號的能量或功率，并且在時域、頻域積分，以及自相關函數時，三者計算結果一致。功率譜、能量譜不反映信號相位特性，也不反映信號的時間位置希爾伯特變換如果信號存在傅立葉變換對f(t)F(ω)，則其希爾伯特變換的頻譜等于信號頻譜F(ω)的負頻域頻率成分相移－π/2，正頻域成分相移π/2。其希爾伯特濾波器傳遞函數為： 希爾伯特變換頻譜：希爾伯特變換由傅立葉變換的互易定理推出時域變換 希爾伯特時域表達式：余弦信號的希爾伯特變換等于正弦信號正弦信號的希爾伯特變換等于負余弦信號希爾伯特變換的性質信號f(t)及其希爾伯特變換的幅度頻譜、功率（能量）譜，以及自相關函數和功率（能量）均相等。f(t)的希爾伯特變換再進行希爾伯特變換得：f(t)與互為正交。信息及其度量傳輸信息是通信系統(tǒng)的根本任務。在傳輸過程中，信息是以各種具體的電信號或光信號形式表現(xiàn)出來的。為了對通信系統(tǒng)的性能與質量進行定量的分析、研究與評價，就需要對信息進行度量。能夠衡量信息多少的物理量叫做信息量，通常用I表示。信息和信息量信息是一個抽象的概念，它能否被量化并且如何量化呢？信息有量值可言，信息量與事件發(fā)生的概率有關：事件出現(xiàn)的概率越小，信息量就越大；必然事件的概率為1，則它傳遞的信息量就為0信息和信息量信息量與事件概率之間的關系式： 式中，P表示某事件發(fā)生的概率，I為從該事件發(fā)生的信息中得到的信息量。如果消息由若干個互相獨立的事件構成，則該消息所含信息量等于各獨立事件所含信息量之和。信息與信息量消息是信息的具體內容，信息通過消息來承載。通過對消息的分析就可得到其中所含的信息量。在通信領域，消息可分為離散消息和連續(xù)消息。由離散信息源產生的消息稱為離散消息；由連續(xù)信息源產生的消息就是連續(xù)消息。信息與信息量離散消息只能有有限個符號，可看成是一種具有有限個狀態(tài)的隨機序列，可以用離散型隨機過程的統(tǒng)計特性來進行描述。離散消息x所含信息量I與消息出現(xiàn)概率P(x)的關系為信息量單位的確定取決于式中的對數底a。如果取對數的底a=2，則信息量的單位為比特(bit)；如果取e為對數的底，則信息量的單位為奈特(nit)；若取10為底，則信息量的單位稱為十進制單位，或叫哈特萊。信息與信息量等概率出現(xiàn)的離散消息的度量若要傳遞的離散消息是在M個消息中獨立地選擇其一，且認為每個消息的出現(xiàn)概率是相同的，則可采用一個M進制的波形進行傳送。也就是說，傳送M個消息之一與傳送M進制波形之一是完全等價的。信息與信息量在等概率出現(xiàn)時，每個波形(或每個消息)的出現(xiàn)概率為1/M，我們取對數底為2，有當M=2，即二進制時，I=1，也就是說，每個二進制波形等概率出現(xiàn)時所含信息量是1bit。在數據通信(或數字通信)中，通常取M為2的整數冪，即M=2k，則每個波形等概率出現(xiàn)時所含信息量就是kbit信息與信息量非等概率的離散消息的度量設離散信息源是一個由n個符號組成的集合，稱符號集。符號集中的每一個符號xi在消息中是按一定概率P(xi)獨立出現(xiàn)的，即符號概率場為且有，

信息與信息量則整個消息的信息量為當消息很長時，用符號出現(xiàn)概率計算信息量比較麻煩，此時用平均信息量計算較好。所謂平均信息量是指每個符號所含信息量的統(tǒng)計平均值，因此，n個符號的離散消息的平均信息量為信息與信息量由于式子同熱力學中的熵的計算公式形式一樣，故通常又稱它為信息源的熵，其單位為bit／符號。不同的離散信息源可能有不同的熵值。信息源的最大熵發(fā)生在每一個符號等慨率出現(xiàn)時，即P(xi)=1/n，最大熵值等于lbn(bit／符號)。信息與信息量對連續(xù)消息的信息量可用概率密度來描述。其平均信息量為 式中，f(x)是連續(xù)消息出現(xiàn)的概率密度。信道容量與香農公式信號必須經過信道才能傳輸，單位時間內信道上所能傳輸的最大信息量稱為信道容量。它可用信道的最大信息傳輸速率(比特率)來表示。由于信道有數字(離散)和模擬(連續(xù))之分，因此，信道容量也不相同。在此我們只討論有擾模擬(連續(xù))信道的信道容量問題。信道容量與香農公式信號在信道中傳輸要受到干擾的影響，以致引起信息傳輸錯誤，我們把具有干擾的信道稱為有擾信道。那么，在怎樣的條件下，信道可以無失真(不丟失)地將信息以速率R進行傳輸呢？香農定理給出了理論答案：對于一個給定的有擾信道，如果信息源的信息發(fā)出速率小于或等于信道容量，即R≤C，則理論上存在一種方法可使信息以任意小的差錯概率通過該信道傳輸。反之，若R＞C，則該信道將無法正確傳遞該信息。信道容量與香農公式信道容量受到噪聲和帶寬的雙重制約。香農公式給出了信道帶寬、信道容量和白色高斯噪聲干擾信號(或信道輸出信噪比)之間的關系 式中,C為信道容量(單位為bit/s或b/s)，B為信道帶寬(Hz)，S是信號功率，N是噪聲功率。 在實際應用中，一般并不用S／N直接來表示信噪比，而是對它取對數變成分貝值，即用公式10lgS/N計算。信道容量與香農公式舉例：若一幀電視圖像的信息量為99600bit，電視的幀頻為30Hz，為使接收端能收到良好的圖像，要求信道的信噪比S/N=1000(10lgS/N=30dB),求信道的帶寬B。信道容量與香農公式由于噪聲功率N與信道的頻帶寬度有關，設單邊噪聲功率譜密度為n0，則可得到香農公式的另一種形式式中,N=n0B信道容量與香農公式從香農公式中我們可得出以下結論：一個給定信道的信道容量受B、S、n0“三要素”的約束。信道容量隨“三要素”的確定而確定。提高信噪比(信號功率與噪聲功率之比)可提高信道容量。一個給定信道的信道容量既可以通過增加信道帶寬減少信號發(fā)射功率也可通過減少信道帶寬增加信號發(fā)射功率來保證。也就是說，信道容量可通過帶寬與信噪比的互換而保持不變。雖然C與B成正比關系，但B→∞時，C卻不能隨之趨于無窮大。若S/n0保持不變，當B→∞時，因為噪聲功率(N=n0B)也隨之趨于無窮大，所以信道容量保持有限值。信道容量與香農公式香農定理有擾信道的最大信息傳輸速率(即信道容量)是有限的，信道容量受信道帶寬和信道信噪比的制約，只要給定了信道信噪比和帶寬，則信道的最大信息傳輸速率就確定了，并且該容量與信號取的離散值個數無關，無論用什么調制方式都無法改變。隨機信號隨機信號：具有各種隨機性特點，并符合統(tǒng)計特性；通常隨機信號為時間函數；常見隨機信號通信系統(tǒng)中傳輸的數字碼流；系統(tǒng)中的干擾和噪聲；統(tǒng)計平均特性

隨機過程X(t)中任意兩個時刻t1和t2，取τ＝t2-t1，有：自相關函數自協(xié)方差函數自相關系數平穩(wěn)隨機過程若隨機過程X(t)的統(tǒng)計特性與時間原點無關，即概率密度函數滿足： 則稱該隨機過程為狹義平穩(wěn)隨機過程。若隨機過程滿足一維和二維平穩(wěn)條件，則稱該隨機過程為廣義平穩(wěn)隨機過程。自相關函數的性質隨機信號的總平均功率等于自相關函數當τ＝0時的值；等于交流功率和直流功率之和。偶函數雙邊非增函數

隨機信號的功率譜功率譜：平均功率：功率譜的性質非負性實偶性

SX(ω)曲線下的面積等于X(t)平均功率

SX’(ω)是X(t)微分的功率譜平穩(wěn)隨機信號通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機信號X(t)作為線性系統(tǒng)激勵時的響應隨機過程仍然是平穩(wěn)過程。其中Rh(τ)為系統(tǒng)沖擊響應自相關函數

H(0)為線性時不變系統(tǒng)的直流傳遞系數。噪聲(干擾)在信道中的表現(xiàn)形式根據噪聲(干擾)在信道中的表現(xiàn)形式，通常分為加性噪聲(干擾)和乘性噪聲(干擾)兩類。k(t)和n(