2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題8.2 空間幾何體的表面積和體積 （新教材新高考）（練）含答案

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題8.2空間幾何體的表面積和體積練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·湖南高一期末）已知圓柱及其展開圖如圖所示，則其體積為（）A． B． C． D．2.（2021·寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，過直線的平面截該圓柱所得的面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A． B． C． D．3．（2021·浙江高二期末）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．C． D．4．（2021·遼寧高一期末）已知一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個(gè)面的距離是，則該球的體積為（）A． B． C． D．5．（2020·浙江省高考真題）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A． B． C．3 D．66.（2018·全國高考真題（文））已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A． B． C． D．7.（2020·江蘇省高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.9.（2019·北京高考真題（文））某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為__________．10．（2019·全國高考真題（理））中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長為_________．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.（2021·浙江高一期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．問積幾何?”這里的“羨除”，是指由三個(gè)等腰梯形和兩個(gè)全等的三角形圍成的五面體．在圖1所示羨除中，，，，，等腰梯形和等腰梯形的高分別為和，且這兩個(gè)等腰梯形所在的平面互相垂直．按如圖2的分割方式進(jìn)行體積計(jì)算，得該“羨除”的體積為（）A． B． C． D．2.（2021·河北巨鹿中學(xué)高一月考）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺傳名錄.已知某蹴鞠（近似看作球體）的表面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，滿足為正三棱錐，是的中點(diǎn)，且，側(cè)棱，則該蹴鞠的表面積為（）A． B． C． D．3．【多選題】（2021·江蘇高一期末）已知圓臺(tái)上、下底面的圓心分別為，，半徑為，，圓臺(tái)的母線與下地面所成角的正切值為，為上一點(diǎn)，則（）A．圓臺(tái)的母線長為B．當(dāng)圓錐的圓錐的體積相等時(shí)，C．圓臺(tái)的體積為D．當(dāng)圓臺(tái)上、下底面的圓周都在同一球面上，該球的表面積為4．（2020·全國高考真題（文））已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．5．（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.現(xiàn)有一“陽馬”，底面，，，則該“陽馬”的最長棱長等于______；外接球表面積等于______.6．（2020·山東省仿真聯(lián)考3）在三棱錐中，平面，，，，是上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則________，三棱錐的外接球的表面積為________．7.（廣東省汕尾市2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知某圓柱的軸截面是一個(gè)正方形，且該圓柱表面積（底面和側(cè)面面積之和）為，其外接球的表面積為，則該圓柱的表面積與其外接球的表面積的比值________.8．（2021·重慶市楊家坪中學(xué)高一月考）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為在一正三棱柱中挖去一個(gè)圓柱后的剩余部分（圓柱的上下兩底面圓與三棱柱的底面各邊相切），圓柱底面直徑為，高為.打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為______.（取，，精確到0.1）.9．（2021·上海高二期末）五月五是端午，門插艾，香滿堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古稱“角黍”，是我國南北各地的節(jié)令食品，因各地風(fēng)俗不同，粽子的形狀和食材也會(huì)不同，有一種各面都是正三角形的正四面體形粽子，若該正四面體粽子的棱長為8cm，則現(xiàn)有1立方米體積的食材，最多可以包成這種粽子_______個(gè).10．（2021·浙江高二期末）在四面體中，，，，，若四面體的外接球半徑為，則四面體的體積的最大值為___________．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（）A． B． C． D．2.（2020·天津高考真題）若棱長為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．3.（2021·全國高考真題（理））已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．4.（2020·全國高考真題（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

A． B． C． D．5.（2018·全國高考真題（文））設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．6.（2019·全國高考真題（理））已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為（）A． B． C． D．專題8.2空間幾何體的表面積和體積練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·湖南高一期末）已知圓柱及其展開圖如圖所示，則其體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】結(jié)合展開圖求出圓柱的底面半徑與高，進(jìn)而結(jié)合體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)底面半徑為，高為，根據(jù)展開圖得，則，所以圓柱的體積為，故選：D.2.（2021·寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，過直線的平面截該圓柱所得的面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)圓柱的軸截面面積求出圓柱的底面半徑和母線長，利用圓柱的表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的軸截面的邊長為，因?yàn)檫^直線的平面截該圓柱所得的面是面積為8的正方形，所以，解得，即圓柱的底面半徑為，母線長，所以圓柱的表面積為.故選：B.3．（2021·浙江高二期末）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的體積．【詳解】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為底面為直角梯形，高為1的四棱錐體；如圖所示：所以：．故選：D．4．（2021·遼寧高一期末）已知一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個(gè)面的距離是，則該球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由球的截面性質(zhì)求得球半徑后可得體積．【詳解】由題意截面圓半徑為，所以球半徑為，體積為．故選：B．5．（2020·浙江省高考真題）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A． B． C．3 D．6【答案】A【解析】由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱，且三棱錐的一個(gè)側(cè)面垂直于底面，且棱錐的高為1，棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2，所以幾何體的體積為：.故選：A6.（2018·全國高考真題（文））已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，可得截面是邊長為的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.7.（2020·江蘇省高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.【答案】【解析】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為：9.（2019·北京高考真題（文））某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為__________．【答案】40.【解析】如圖所示,在棱長為4的正方體中,三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為正方體去掉棱柱之后余下的幾何體,幾何體的體積.10．（2019·全國高考真題（理））中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長為_________．【答案】共26個(gè)面.棱長為.【解析】由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有個(gè)面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為，則，延長與交于點(diǎn)，延長交正方體棱于，由半正多面體對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，，，即該半正多面體棱長為．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.（2021·浙江高一期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．問積幾何?”這里的“羨除”，是指由三個(gè)等腰梯形和兩個(gè)全等的三角形圍成的五面體．在圖1所示羨除中，，，，，等腰梯形和等腰梯形的高分別為和，且這兩個(gè)等腰梯形所在的平面互相垂直．按如圖2的分割方式進(jìn)行體積計(jì)算，得該“羨除”的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖可知，中間部分為棱柱，兩側(cè)為兩個(gè)全等的四棱錐，再由柱體和錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】按照?qǐng)D中的分割方式，中間為直三棱柱，直三棱柱的底面為直角三角形，兩條直角邊長分別為、，直三棱柱的高為，所以，直三棱柱的體積為.兩側(cè)為兩個(gè)全等的四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，直角梯形的面積為，四棱錐的高為，所以，兩個(gè)四棱錐的體積之和為，因此，該“羨除”的體積為.故選：A.2.（2021·河北巨鹿中學(xué)高一月考）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺傳名錄.已知某蹴鞠（近似看作球體）的表面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，滿足為正三棱錐，是的中點(diǎn)，且，側(cè)棱，則該蹴鞠的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若，為中點(diǎn)易得，再應(yīng)用余弦定理、勾股定理求得，即為直三棱錐，即可求外接球半徑，進(jìn)而求表面積.【詳解】如下圖，若為中點(diǎn)，則，又，∴，又為正三棱錐且側(cè)棱，∴，若，則，，在中，，即，可得，，∴，即為直三棱錐，易得外接球半徑，∴該蹴鞠的表面積為.故選：A3．【多選題】（2021·江蘇高一期末）已知圓臺(tái)上、下底面的圓心分別為，，半徑為，，圓臺(tái)的母線與下地面所成角的正切值為，為上一點(diǎn)，則（）A．圓臺(tái)的母線長為B．當(dāng)圓錐的圓錐的體積相等時(shí)，C．圓臺(tái)的體積為D．當(dāng)圓臺(tái)上、下底面的圓周都在同一球面上，該球的表面積為【答案】BCD【解析】轉(zhuǎn)化求解圓臺(tái)的母線長判斷Q；利用比例關(guān)系判斷B；求解體積判斷C；取得球的表面積判斷D．【詳解】解：圓臺(tái)上、下底面的圓心分別為，，半徑為2，4，圓臺(tái)的母線與下底面所成角的正切值為3，為上一點(diǎn)，，母線，與圓臺(tái)的母線長為6矛盾，所以A錯(cuò)誤；，，B正確；，C正確；設(shè)球心到上底面的距離為，則，解得，，，D正確；故選：BCD．4．（2020·全國高考真題（文））已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】【解析】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.5．（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.現(xiàn)有一“陽馬”，底面，，，則該“陽馬”的最長棱長等于______；外接球表面積等于______.【答案】3【解析】如圖，底面，底面為長方形，且，，所以.最長棱為:3.該幾何體可以通過補(bǔ)體得長方體,所以其外接球的半徑為.則其外接球的表面積為，故答案為：3；.6．（2020·山東省仿真聯(lián)考3）在三棱錐中，平面，，，，是上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則________，三棱錐的外接球的表面積為________．【答案】6【解析】設(shè)直線與平面所成的角為，三棱錐外接球的球心為，半徑為，如圖所示，則，所以，則的最小值為，的最小值是，即點(diǎn)到的距離為，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以，所以．取的外接圓的圓心為，則圓的半徑．連接，作于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，故三棱錐的外接球的表面積．故答案為：6；.7.（廣東省汕尾市2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知某圓柱的軸截面是一個(gè)正方形，且該圓柱表面積（底面和側(cè)面面積之和）為，其外接球的表面積為，則該圓柱的表面積與其外接球的表面積的比值________.【答案】【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，則，上下底面圓圓心連線的中點(diǎn)即為該圓柱外接球的球心，可得外接球的半徑，再由圓柱的表面積公式和球的表面積公式分別計(jì)算、即可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，因?yàn)閳A柱的軸截面是一個(gè)正方形，所以，所以圓柱表面積，其外接球的球心在上下底面圓圓心連線的中點(diǎn)位置，可知球心到上底面圓的距離為，由勾股定理可得：外接球的半徑，所以外接球的表面積，所以該圓柱的表面積與其外接球的表面積的比值，故答案為：.8．（2021·重慶市楊家坪中學(xué)高一月考）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為在一正三棱柱中挖去一個(gè)圓柱后的剩余部分（圓柱的上下兩底面圓與三棱柱的底面各邊相切），圓柱底面直徑為，高為.打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為______.（取，，精確到0.1）.【答案】【解析】由正三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合已知求其底面面積，再由棱柱的體積公式求其體積，并求圓柱的體積為，則模型體積為，即可求制作該模型所需原料的質(zhì)量.【詳解】由題意，正三棱柱底面(等邊三角形)如上圖有且，，，∴，則，故底面面積，∴正三棱柱的體積.而圓柱的體積為，∴制作該模型所需原料的質(zhì)量為克.故答案為：9．（2021·上海高二期末）五月五是端午，門插艾，香滿堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古稱“角黍”，是我國南北各地的節(jié)令食品，因各地風(fēng)俗不同，粽子的形狀和食材也會(huì)不同，有一種各面都是正三角形的正四面體形粽子，若該正四面體粽子的棱長為8cm，則現(xiàn)有1立方米體積的食材，最多可以包成這種粽子_______個(gè).【答案】16572【解析】根據(jù)題意，利用棱錐的體積公式求得正四面體粽子的體積，進(jìn)而求得答案.【詳解】如圖所示，正四面體的棱長為，設(shè)底面正三角形的中心為，連接，則平面，連接，則，所以，所以一個(gè)粽子的體積為：，由，又由所以1立方米體積的食材，最多可以包成這種粽子個(gè).故答案為：.10．（2021·浙江高二期末）在四面體中，，，，，若四面體的外接球半徑為，則四面體的體積的最大值為___________．【答案】【解析】根據(jù)題意可以將此四面體放入一個(gè)長方體中，則易求四面體高與底面長的關(guān)系，再根據(jù)體積公式寫出其體積表達(dá)式，最后利用基本不等式即可.【詳解】如圖所示，不妨將四面體放入下圖中的長方體中，則長方體的寬為，設(shè)長方體的長為，高為.因?yàn)樗拿骟w的外接球半徑為，所以此長方體外接球半徑為，則，解得，所以四面體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以四面體的體積最大值為.故答案為:練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：D.2.（2020·天津高考真題）若棱長為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出正方體的體對(duì)角線的一半，即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.【詳解】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，即，所以，這個(gè)球的表面積為.故選：C.3.（2021·全國高考真題（理））已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進(jìn)而求得體積.【詳解】，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設(shè)到平面的距離為，則，所以.故選：A.4.（2020·全國高考真題（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)，則，由題意，即，化簡得，解得（負(fù)值舍去）.故選：C.5.（2018·全國高考真題（文））設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大此時(shí)，,點(diǎn)M為三角形ABC的中心中，有故選B.6.（2019·全國高考真題（理））已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一:為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點(diǎn)，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設(shè)，分別為中點(diǎn)，，且，為邊長為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點(diǎn)，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.專題8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（廣東高考真題）若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（）A.與，都相交 B.與，都不相交C.至少與，中的一條相交 D.至多與，中的一條相交2．（2019·全國高考真題（理））設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是（）A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面3.（2020·武威第六中學(xué)高三其他（理））已知，為兩條不同直線，，，為三個(gè)不同平面，下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中正確命題序號(hào)為()A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③4.（2021·嘉禾縣第一中學(xué)高一月考）若，，是互不相同的直線，，是不重合的平面，則下列說法正確的是（）A．若，，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則5.（2019·北京高考真題（文））已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________．6.（全國高考真題（文））已知正方體中，E為的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為.7．（2021·石家莊市第十七中學(xué)高一月考）以下命題中：（1）若直線，和平面滿足：，，那么；（2）若直線和平面平行，那么與內(nèi)的任何直線平行；（3）平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行；（4）若直線，和平面滿足，，，則，正確的是______.8．（2021·重慶市第七中學(xué)校高一期中）如圖，在圓錐中，、為底面圓的兩條直徑，交于點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求圓錐的表面積和體積.9．（2021·江門市第二中學(xué)高二月考）如圖，在長方體中，，點(diǎn)E在棱AB的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與所成角的大小.10．（2021·揭陽第一中學(xué)高一期末）已知矩形所在的平面，且，、分別為、PC的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·浙江高三開學(xué)考試）四面體中，，其余棱長均為4，，分別為，上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（）A．不存在，使得B．存在，使得C．存在，使得平面D．存在，，使得平面平面2．【多選題】（2020·長沙市湖南師大第二附屬中學(xué)有限公司月考）（多選題）如圖1，點(diǎn)為正方形邊上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折，得到如圖2所示的四棱錐，且平面平面，點(diǎn)為線段上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則在四棱錐中，下列說法正確的有()A．直線與直線必不在同一平面上B．存在點(diǎn)使得直線平面C．存在點(diǎn)使得直線與平面平行D．存在點(diǎn)使得直線與直線垂直3.【多選題】（2020·全國高三月考）（多選題）在四棱錐中，側(cè)面平面，，四邊形是正方形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則（）A．平面 B．平面C． D．4.（2019·浙江高考真題）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）A． B．C． D．5．（2021·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高二期中（文））在直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn).（1）求證：（2）求點(diǎn)到平面的距離.6．（2021·石家莊市第十七中學(xué)高一月考）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，．（1）求證：平面．（2）試問：在上是否存在一點(diǎn)，使平面成立？若存在，請(qǐng)予以證明；若不存在，說明理由．7．（2021·嘉禾縣第一中學(xué)高一月考）在①使三棱錐體積取得最大值，②使這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．如圖1，是邊長為2的等邊三角形，是的中點(diǎn)，將沿翻折形成圖2中的三棱錐，________，動(dòng)點(diǎn)在棱上．（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正切值的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．8．（2021·河北巨鹿中學(xué)高一月考）如圖（1），平面四邊形中，，，，將沿邊折起如圖（2），使______，點(diǎn)，分別為，中點(diǎn).在題目橫線上選擇下述其中一個(gè)條件，然后解答此題.①.②為四面體外接球的直徑.③平面平面.（1）判斷直線與平面是否垂直，并說明理由；（2）求直線和所成的角的余弦值.9.（2021·江蘇高一期末）已知在直四棱柱中，底面為直角梯形，且滿足，，，，，，分別是線段，的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）棱上是否存在點(diǎn)，使平面，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．10.（2019·安徽蕪湖一中高三開學(xué)考試）在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動(dòng)點(diǎn)的斜邊上．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦的最大值．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（理））在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（）A． B． C． D．2.【多選題】（2021·全國高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）A． B．C． D．3．（2020·全國高考真題（理））設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號(hào)是__________.①②③④4．（2021·全國高考真題（文））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．5．（2021·全國高考真題（文））已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.6.（2021·全國高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．專題8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（廣東高考真題）若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（）A.與，都相交 B.與，都不相交C.至少與，中的一條相交 D.至多與，中的一條相交【答案】C【解析】試題分析：若直線和是異面直線，在平面，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則至少與，的一條相交.故選A．2．（2019·全國高考真題（理））設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是（）A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．3.（2020·武威第六中學(xué)高三其他（理））已知，為兩條不同直線，，，為三個(gè)不同平面，下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中正確命題序號(hào)為()A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③【答案】C【解析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及判定定理可得，若，，則，故①正確；若，，平面可能相交，故②錯(cuò)誤；若，，則可能平行，故③錯(cuò)誤；由線面垂直的性質(zhì)可得，④正確；故選：C4.（2021·嘉禾縣第一中學(xué)高一月考）若，，是互不相同的直線，，是不重合的平面，則下列說法正確的是（）A．若，，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【解析】由面面平行的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A、B；由空間中線線位置關(guān)系可判斷C；由線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直的性質(zhì)定理以及面面垂直的判定定理可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：，，，則，平行或異面，所以A不正確；對(duì)于B：，，則平行，所以選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：，，與可能平行、異面或相交，所以選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：由，設(shè)經(jīng)過的平面與相交，交線為，由線面平行的性質(zhì)定理可知，又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋擅婷娲怪钡呐卸ǘɡ砜傻霉蔬x項(xiàng)D正確．5.（2019·北京高考真題（文））已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.不正確，有可能m在平面α內(nèi)；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.6.（全國高考真題（文））已知正方體中，E為的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為.【答案】【解析】【詳解】連接DE，設(shè)AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是異面直線AE與BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．7．（2021·石家莊市第十七中學(xué)高一月考）以下命題中：（1）若直線，和平面滿足：，，那么；（2）若直線和平面平行，那么與內(nèi)的任何直線平行；（3）平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行；（4）若直線，和平面滿足，，，則，正確的是______.【答案】（4）【解析】利用直線與平面之間的位置關(guān)系逐一進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）中，，，那么，或者，故錯(cuò)誤；（2）中，若直線和平面平行，那么與內(nèi)的直線平行或者異面，故錯(cuò)誤；（3）中，平行于同一條直線的兩個(gè)平面可以平行，可以相交，故錯(cuò)誤；（4）中，根據(jù)線面平行的判定定理可知，，，，則，故正確.故答案為：（4）.8．（2021·重慶市第七中學(xué)校高一期中）如圖，在圓錐中，、為底面圓的兩條直徑，交于點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求圓錐的表面積和體積.【答案】（1）證明見解析；（2）表面積為，體積為.【解析】（1）連接，由中位線的性質(zhì)可得，再由線面平行的性質(zhì)定理即可求證；（2）根據(jù)題意求出圓錐的底面半徑，高和母線，由表面積公式和體積公式即可求解.【詳解】（1）連接，∵、分別為、的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵，，為圓錐的高，圓錐底面圓的半徑，∴圓錐的體積，∵母線，∴圓柱的表面積.9．（2021·江門市第二中學(xué)高二月考）如圖，在長方體中，，點(diǎn)E在棱AB的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與所成角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由，得到四邊形為正方形，證得，又由，證得平面，即可證得；（2）連接，得到，根據(jù)異面直線所成角的定義，得到是異面直線與所成角，在中，即可求解.【詳解】（1）在長方體中，因?yàn)?，可得四邊形為正方形，所以，又因?yàn)椋?，平面，平面，所以平面，又由平面，所?（2）連接，在長方體中，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角,即（或其補(bǔ)角）與所成角，在直角中，由，可得，在直角中，由，可得，在直角中，由，可得，所以為等邊三角形，所以，即異面直線與所成角.10．（2021·揭陽第一中學(xué)高一期末）已知矩形所在的平面，且，、分別為、PC的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）證明出平面，可得出平面，由線面垂直的性質(zhì)可得出.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，

、分別為、的中點(diǎn)，則且，四邊形為矩形，則且，為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，因此，平面；?）平面，平面，，，，所以，平面，平面，則，，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋矫?，，故平面，平面，因此?練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·浙江高三開學(xué)考試）四面體中，，其余棱長均為4，，分別為，上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（）A．不存在，使得B．存在，使得C．存在，使得平面D．存在，，使得平面平面【答案】D【解析】作出示意圖如下圖所示：分別是AB，CD的中點(diǎn)，面于，面于，對(duì)于A選項(xiàng)，取E，F(xiàn)分別在AB，CD的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?，其余棱長均為4，所以，所以，所以，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，取E，F(xiàn)分別在AB，CD的中點(diǎn)時(shí)，由A選項(xiàng)的解析得，，，所以面，又面，所以平面平面，即平面平面，故D正確；對(duì)于B選項(xiàng)，作面于，因?yàn)橹?，，所以定在AB的中線上，所以就是與面所成的角，當(dāng)E在AB上移動(dòng)時(shí)，的最小值為直線與平面所成的角，即，而是銳角，的最大值為，故當(dāng)E在AB上移動(dòng)時(shí)，不存在E，使得DE⊥CD.故B錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，作面于，因?yàn)橹校?，所以定在AB的中線上，且不重合于點(diǎn)，即點(diǎn)不落在AB上，又因?yàn)檫^空間中一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，故不存在E，使得DE⊥平面ABC，故C選項(xiàng)不正確，故選：D.2．【多選題】（2020·長沙市湖南師大第二附屬中學(xué)有限公司月考）（多選題）如圖1，點(diǎn)為正方形邊上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折，得到如圖2所示的四棱錐，且平面平面，點(diǎn)為線段上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則在四棱錐中，下列說法正確的有()A．直線與直線必不在同一平面上B．存在點(diǎn)使得直線平面C．存在點(diǎn)使得直線與平面平行D．存在點(diǎn)使得直線與直線垂直【答案】AC【解析】A.假設(shè)直線BE與直線CF在同一平面上，所以E在平面BCF上，又E在線段BC上，平面BCF=C，所以E與C重合，與E異于C矛盾，所以直線BE與直線CF必不在同一平面上；B.若存在點(diǎn)使得直線平面DCE，平面,所以,又,所以△ABE中有兩個(gè)直角，與三角形內(nèi)角和為矛盾，所以不存在點(diǎn)使得直線平面DCE；C.取F為BD的中點(diǎn)，,再取AB的中點(diǎn)G，則且EC=FG，四邊形ECFQ為平行四邊形，所以,則直線CF與平面BAE平行；D.過B作于O，因?yàn)槠矫嫫矫鍭ECD,平面平面=AE,所以平面AECD.過D作于H，因?yàn)槠矫嫫矫鍭ECD,平面平面=AE,所以平面BAE，所以.若存在點(diǎn)使得直線與直線垂直，平面AECD,平面AECD,,所以平面AECD,所以E與O重合，與三角形ABE是以B為直角的三角形矛盾，所以不存在點(diǎn)使得直線與直線垂直.故選A、C.3.【多選題】（2020·全國高三月考）（多選題）在四棱錐中，側(cè)面平面，，四邊形是正方形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則（）A．平面 B．平面C． D．【答案】BC【解析】如圖，對(duì)于，因?yàn)榕c不一定垂直，所以不一定垂直平面，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，連接，記，連接.因?yàn)樗倪呅问钦叫危詾榈闹悬c(diǎn).因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，則平面，故B正確.對(duì)于C，因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，因?yàn)閭?cè)面平面，所以平面.因?yàn)?，所以平?因?yàn)槠矫妫?，則，故C正確.對(duì)于D，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以.假設(shè)，則.設(shè)，則，.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，，，所以，所以，則平面.因?yàn)榕c平面不一定垂直，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.4.（2019·浙江高考真題）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】方法1：如圖為中點(diǎn)，在底面的投影為，則在底面投影在線段上，過作垂直，易得，過作交于，過作，交于，則，則，即，，即，綜上所述，答案為B.方法2：由最小角定理，記的平面角為（顯然）由最大角定理，故選B.方法3：（特殊位置）取為正四面體，為中點(diǎn)，易得，故選B.5．（2021·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高二期中（文））在直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn).（1）求證：（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題中長度，結(jié)合勾股定理，可證，根據(jù)直棱柱，可證，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，即可得證.（2）先求得的面積，利用等體積法，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，因?yàn)橹崩庵缘酌鍭BC，平面ABC，所以，又，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，取AB中點(diǎn)O，連接EO，在中，，AB=2，則，所以，所以的面積為，因?yàn)椋?，所以，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為6．（2021·石家莊市第十七中學(xué)高一月考）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，．（1）求證：平面．（2）試問：在上是否存在一點(diǎn)，使平面成立？若存在，請(qǐng)予以證明；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，證明見解析.【解析】（1）連接，根據(jù)題目條件證明四邊形是平行四邊形，即可得出，即可得證；（2）假設(shè)存在，取中點(diǎn)，連，，使，連，利用中位線證明，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：連接，由，得，又得，所以四邊形是平行四邊形所以，又平面，平面，∴平面．（2）解：存在中點(diǎn)，使平面成立．取中點(diǎn)，連，，使，連．∵是矩形，∴是的中點(diǎn)，又∵是上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，且是中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)，∴中，，又∵平面，平面，∴平面，故在上是存在中點(diǎn)，使平面成立．7．（2021·嘉禾縣第一中學(xué)高一月考）在①使三棱錐體積取得最大值，②使這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．如圖1，是邊長為2的等邊三角形，是的中點(diǎn)，將沿翻折形成圖2中的三棱錐，________，動(dòng)點(diǎn)在棱上．（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正切值的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】選擇見解析（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）若選擇①，利用分析可證平面．從而得證；若選擇②，由向量數(shù)量積結(jié)合余弦定理以及勾股定理可以證明，進(jìn)而可以證明平面，從而得證；（2）先確定直線與平面所成的角，然后結(jié)合圖形分析求解即可【詳解】（1）證明：若選擇①，由于的面積為定值，所以當(dāng)?shù)狡矫婢嚯x最大時(shí)，三棱錐體積最大，即當(dāng)平面時(shí)，體積有最大值．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫暨x擇②因?yàn)?，所以．在中，，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，且平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：因?yàn)槠矫妫跃褪侵本€與平面所成的角．記，則，又，．當(dāng)時(shí)，最大，最小，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，最小，最大，此時(shí)，則．所以直線與平面所成角的正切值的取值范圍是．8．（2021·河北巨鹿中學(xué)高一月考）如圖（1），平面四邊形中，，，，將沿邊折起如圖（2），使______，點(diǎn)，分別為，中點(diǎn).在題目橫線上選擇下述其中一個(gè)條件，然后解答此題.①.②為四面體外接球的直徑.③平面平面.（1）判斷直線與平面是否垂直，并說明理由；（2）求直線和所成的角的余弦值.【答案】條件選擇見解析，（1）垂直，理由見解析；（2）.【解析】（1）若選①：由，得到，再由，證得平面，得到，進(jìn)而證得平面，因?yàn)?，即可得到平面．若選②：由為四面體外接球的直徑，得到，進(jìn)而證得平面，從而證得平面．若選③：由平面平面和，證得平面，得到，進(jìn)而證得平面，得到平面．（2）取AB中點(diǎn)E，連接ME，DM，得到或其補(bǔ)角為直線DM和BC所成的角，再中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】（1）若選①：垂直.因?yàn)?，在中，，，可得，又由，所以，所以，因?yàn)?，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又由，且平面，所以平面，又因?yàn)?，分別為，中點(diǎn)，所以，所以平面．若選②：垂直.由為四面體外接球的直徑，則，，因?yàn)?，可證得平面，又，分別為，中點(diǎn)，，所以平面．若選③：垂直.由平面平面，平面平面，因?yàn)?，且平面，所以平面，又由平面，所以，因?yàn)椋移矫?，所以平面，又因?yàn)?，分別為，中點(diǎn)，，所以平面．（2）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為邊中點(diǎn)，所以，所以或其補(bǔ)角為直線和所成的角.在中，，，，所以.又，由余弦定理可得：，所以直線和所成的角的余弦值為.9.（2021·江蘇高一期末）已知在直四棱柱中，底面為直角梯形，且滿足，，，，，，分別是線段，的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）棱上是否存在點(diǎn)，使平面，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在點(diǎn)，且，使得平面.【解析】（1）在直角梯形中，過點(diǎn)作于，根據(jù)得到，從而易證，利用線面垂直的性質(zhì)得到，從而得到面，再利用面面垂直的判定即可證明平面平面.（2）存在點(diǎn)，且，則在上取點(diǎn)，使，連接，，，易證，，從而得到平面，平面，利用面面垂直的判定得到平面平面，從而得到平面．【詳解】（1）在直角梯形中，過點(diǎn)作于，如圖所示：由，，，，得為等腰直角三角形，所以四邊形為正方形，所以，，所以，所以，從而得到，在直四棱柱中，面，面，所以，又因?yàn)?，所以面，因?yàn)槊?，所以平面平面；?）存在點(diǎn)，且，使得平面，則在上取點(diǎn)，使，連接，，，如圖所示：此時(shí)，，所以，即，在平面中，，所以，此時(shí)由，平面，平面，得平面，由，平面，得平面，又，所以平面平面，平面，即證：平面．10.（2019·安徽蕪湖一中高三開學(xué)考試）在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動(dòng)點(diǎn)的斜邊上．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦的最大值．【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）為直角三角形，且斜邊為，.將以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，則，即.二面角是直二面角，即平面平面.又平面平面，平面，平面.平面，因此，平面平面；（2）在中，，斜邊，且.由（1）知，平面，所以