2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專(zhuān)題8.6 空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系 （新教材新高考）（練）含答案

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專(zhuān)題8.6空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·陜西高二期末（理））已知為空間中任意一點(diǎn)，四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．2.【多選題】（2021·全國(guó)）下列命題中不正確的是（）.A．若???是空間任意四點(diǎn)，則有B．若，則?的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反C．是?共線的充分條件D．對(duì)空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)??，若()，則???四點(diǎn)共面3.（2020·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二期末）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m的值是________.若，則實(shí)數(shù)m的值是________.4．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有______．①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若非零向量，，滿足，，則有；③若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點(diǎn)共面；④若向量，，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底．5．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三點(diǎn)共線，則__．6．（2021·廣西高一期末）在空間直角坐標(biāo)系中的位置及坐標(biāo)如圖所示，則邊上的中線長(zhǎng)為_(kāi)__________.7．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在三棱錐中，平面平面，，，，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)__________.8．（2021·浙江高一期末）在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為底面上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______.9．（2021·山東高二期末）在正三棱柱中，，點(diǎn)D滿足，則_________．10．(2020-2021學(xué)年高二課時(shí)同步練）如圖，已知為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，求證：（1）四點(diǎn)共面，四點(diǎn)共面；（2）；（3）.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·四川省大竹中學(xué)高二月考（理））如圖，在平行六面體中，，，則（）A．1 B． C．9 D．32．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，二面角的棱上有、兩點(diǎn)，直線、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于，已知，，，，則該二面角的大小為（）

A． B．C． D．3．（2021·湖北荊州·高二期末）如圖，在三棱柱中，與相交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．4．（2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線為AC與BD，M，N分別為線段AB，CD上的點(diǎn)滿足，，點(diǎn)G在線段MN上，且滿足，若，則__________.5.（2021·廣西高二期末（理））在中，，，，是斜邊上一點(diǎn)，以為棱折成二面角，其大小為60°，則折后線段的最小值為_(kāi)__________.6．（2021·遼寧高一期末）已知點(diǎn)在正方體的側(cè)面內(nèi)（含邊界），是的中點(diǎn)，，則的最大值為_(kāi)____；最小值為_(kāi)_____.7．（2021·北京高二期末）如圖，在四面體ABCD中，其棱長(zhǎng)均為1，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn).若，則________；直線MN和CD的夾角為_(kāi)_______.8．（2021·四川高二期末（理））如圖，在三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，設(shè)，，.（1）用，，表示，；（2）求異面直線與所成角的余弦值.9．（2021·浙江高一期末）已知四棱錐的底面是平行四邊形，平面與直線分別交于點(diǎn)且，點(diǎn)在直線上，為的中點(diǎn)，且直線平面．（Ⅰ）設(shè)，試用基底表示向量；（Ⅱ）證明，對(duì)所有滿足條件的平面，點(diǎn)都落在某一條長(zhǎng)為的線段上．10．（2021·山東高二期末）已知在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，的坐標(biāo)分別是，，，，過(guò)點(diǎn)，，的平面記為.（1）證明：點(diǎn)，，，不共面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國(guó)高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面2．(湖北卷)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號(hào)①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②3.(2018年理數(shù)全國(guó)卷II)在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，A.15B.56C.54.(2019年高考浙江卷)如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.5.(2019年高考北京卷理)如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．（1）求證：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由．6.(2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理)如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．專(zhuān)題8.6空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·陜西高二期末（理））已知為空間中任意一點(diǎn)，四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)向量共面的基本定理當(dāng)時(shí)即可求解.【詳解】，又∵是空間任意一點(diǎn)，、、、四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，∴，解得故選：B2.【多選題】（2021·全國(guó)）下列命題中不正確的是（）.A．若???是空間任意四點(diǎn)，則有B．若，則?的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反C．是?共線的充分條件D．對(duì)空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)??，若()，則???四點(diǎn)共面【答案】ABD【解析】本題考察向量的概念與性質(zhì)，需按個(gè)選項(xiàng)分析，A選項(xiàng)考察向量加法的意義，B選項(xiàng)考察向量的模的性質(zhì)，C選項(xiàng)可以兩邊平方計(jì)算，D選項(xiàng)考察四點(diǎn)共面的性質(zhì).【詳解】A選項(xiàng)，而不是，故A錯(cuò)，B選項(xiàng)，僅表示與的模相等，與方向無(wú)關(guān)，故B錯(cuò)，C選項(xiàng)，，即，即，與方向相反，故C對(duì)，D選項(xiàng)，空間任意一個(gè)向量都可以用不共面的三個(gè)向量??表示，∴???四點(diǎn)不一定共面，故D錯(cuò)，故選ABD.3.（2020·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二期末）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m的值是________.若，則實(shí)數(shù)m的值是________.【答案】【解析】，，若，則，解得；若，則，解得.故答案為：和.4．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有______．①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若非零向量，，滿足，，則有；③若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點(diǎn)共面；④若向量，，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底．【答案】①③④【解析】根據(jù)空間向量基本定理，能作為基底的向量一定是不共面的向量，由此分別分析判斷①，④；對(duì)于②在空間中滿足條件的與不一定共線，從而可判斷;對(duì)于③，由條件結(jié)合空間向量的加減法則可得，從而可判斷；【詳解】對(duì)于①：若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，只能兩個(gè)向量為共線向量，即，故①正確；對(duì)于②：若非零向量，，滿足，，則與不一定共線，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：若，，是空間的一組基底，且，則，即，可得到，四點(diǎn)共面，故③正確；對(duì)于④：若向量，，，是空間一組基底，則空間任意一個(gè)向量，存在唯一實(shí)數(shù)組，使得，由的唯一性，則，，也是唯一的則，，也是空間的一組基底，故④正確．故答案為：①③④5．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三點(diǎn)共線，則__．【答案】1【解析】利用坐標(biāo)表示向量，由向量共線列方程求出λ的值．【詳解】由題意，點(diǎn)A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），所以,若A，B，C三點(diǎn)共線，則，即，解得.故答案為：1．6．（2021·廣西高一期末）在空間直角坐標(biāo)系中的位置及坐標(biāo)如圖所示，則邊上的中線長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】【解析】先用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解出線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式求出中線長(zhǎng).【詳解】線段的中點(diǎn)D坐標(biāo)為，即由空間兩點(diǎn)間的距離公式得邊上的中線長(zhǎng)為.故答案為：.7．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在三棱錐中，平面平面，，，，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求得結(jié)果.【詳解】平面平面，平面平面，，平面，平面，建立以為原點(diǎn),平行于BC做軸，AC為軸，SA為軸作空間直角坐標(biāo)系，則，，∴.故答案為：11.8．（2021·浙江高一期末）在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為底面上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】解：如圖，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故答案為：9．（2021·山東高二期末）在正三棱柱中，，點(diǎn)D滿足，則_________．【答案】【解析】因?yàn)槭钦庵越⑷鐖D的空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)也即是點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求的模.【詳解】因?yàn)槭钦庵?，所以面，且為等邊三角形，如圖建立以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，過(guò)點(diǎn)垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，即，所以，故答案為：.10．(2020-2021學(xué)年高二課時(shí)同步練）如圖，已知為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，求證：（1）四點(diǎn)共面，四點(diǎn)共面；（2）；（3）.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用共面向量定理證明四點(diǎn)共面；（2）利用向量加減及數(shù)運(yùn)算找到的關(guān)系，證明；（3）利用向量加減及數(shù)運(yùn)算可得.【詳解】證明：（1），∴A、B、C、D四點(diǎn)共面．，∴E、F、G、H四點(diǎn)共面．（2）.（3）.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·四川省大竹中學(xué)高二月考（理））如圖，在平行六面體中，，，則（）A．1 B． C．9 D．3【答案】D【解析】根據(jù)圖形，利用向量的加法法則得到，再利用求的模長(zhǎng).【詳解】在平行六面體中，有，，由題知，，，，，所以，，與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為，所以.所以.故選：D.2．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，二面角的棱上有、兩點(diǎn)，直線、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于，已知，，，，則該二面角的大小為（）

A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)向量垂直的條件得，，再由向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，根據(jù)圖示可求得二面角的大小.【詳解】由條件知，，，∴，∴，又，所以，∴由圖示得二面角的大小為，故選：C.3．（2021·湖北荊州·高二期末）如圖，在三棱柱中，與相交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意得，，，，，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】依題意得，，，.所以故.故選：A.4．（2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線為AC與BD，M，N分別為線段AB，CD上的點(diǎn)滿足，，點(diǎn)G在線段MN上，且滿足，若，則__________.【答案】【解析】以作為空間向量的基底，利用向量的線性運(yùn)算可得的表示，從而可得的值，最后可得的值.【詳解】,又，故，而，所以，因?yàn)椴还裁?，故，所以，故答案為?.（2021·廣西高二期末（理））在中，，，，是斜邊上一點(diǎn)，以為棱折成二面角，其大小為60°，則折后線段的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】過(guò)，作的垂線，垂足分別為，，從而得到，然后將用表示，求出的表達(dá)式，再設(shè)，利用邊角關(guān)系求出所需向量的模，同時(shí)利用二面角的大小得到向量與的夾角，利用同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角公式化簡(jiǎn)的表達(dá)式，再利用正弦函數(shù)的有界性分析求解即可．【詳解】解：如圖①，過(guò)，作的垂線，垂足分別為，，故，，所以，以為棱折疊后，則有，故，，因?yàn)橐詾槔庹鄢啥娼?，所以與的夾角為，令，則，在中，，，在中，，，故，所以，故當(dāng)時(shí)，有最小值28，故線段最小值為．故答案為：．6．（2021·遼寧高一期末）已知點(diǎn)在正方體的側(cè)面內(nèi)（含邊界），是的中點(diǎn)，，則的最大值為_(kāi)____；最小值為_(kāi)_____.【答案】1【解析】首先以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，并表示，利用二次函數(shù)求函數(shù)的最值.【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，得，，平面，，當(dāng)時(shí)，取得最大值是1，當(dāng)時(shí)，取得最小值是.故答案為：；7．（2021·北京高二期末）如圖，在四面體ABCD中，其棱長(zhǎng)均為1，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn).若，則________；直線MN和CD的夾角為_(kāi)_______.【答案】．【解析】利用空間向量的線性運(yùn)算把用表示即可得，再由向量的數(shù)量積得向量夾角，從而得異面直線所成的角．【詳解】由已知得，又且不共面，∴，，∴，是棱長(zhǎng)為1的正四面體，∴，同理，，，，∴，∴，∴異面直線MN和CD所成的角為．8．（2021·四川高二期末（理））如圖，在三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，設(shè)，，.（1）用，，表示，；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算；（2）用空間向量法求解．【詳解】（1）三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，（2），，，，，，，，．所以異面直線與所成角的余弦值是．9．（2021·浙江高一期末）已知四棱錐的底面是平行四邊形，平面與直線分別交于點(diǎn)且，點(diǎn)在直線上，為的中點(diǎn)，且直線平面．（Ⅰ）設(shè)，試用基底表示向量；（Ⅱ）證明，對(duì)所有滿足條件的平面，點(diǎn)都落在某一條長(zhǎng)為的線段上．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【解析】（Ⅰ）由，利用空間向量的加、減運(yùn)算法則求解；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ），根據(jù)，設(shè)，分別用表示，，，然后根據(jù)平面，由存在實(shí)數(shù)y，z，使得求解.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又因?yàn)?，所以?則，，，設(shè)，則，，因?yàn)槠矫?，則存在實(shí)數(shù)y，z，使得，即，，所以，消元得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，解得，綜上：，所以對(duì)所有滿足條件的平面，點(diǎn)都落在某一條長(zhǎng)為的線段上．10．（2021·山東高二期末）已知在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，的坐標(biāo)分別是，，，，過(guò)點(diǎn)，，的平面記為.（1）證明：點(diǎn)，，，不共面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由知，，三點(diǎn)不共線，然后由得不存在實(shí)數(shù)，得答案；（2）利用點(diǎn)到平面的距離可得答案.【詳解】（1）由已知可得：，，假設(shè)，，三點(diǎn)共線，則存在，使得，即，所以，此方程組無(wú)解，所以，不共線，所以，，不共線，所以過(guò)點(diǎn)，，的平面是唯一的，若點(diǎn)，，，共面，則存在，，使得，即，即，此方程組無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)，，使得，所以點(diǎn)，，，不共面.（2）設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國(guó)高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【答案】BD【解析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．2．(湖北卷)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號(hào)①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②【答案】D【解析】設(shè)，在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)，根據(jù)三視圖的畫(huà)圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為=4\*GB3④與俯視圖為=2\*GB3②，故選D.3.(2018年理數(shù)全國(guó)卷II)在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，A.15B.56C.5【答案】C【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),A(1,0,0),B1(1,1,3),D1(0,0,3),所以4.(2019年高考浙江卷)如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】方法一：（1）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，則A1E⊥BC．又因?yàn)锳1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．（2）取BC中點(diǎn)G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形．由（1）得BC⊥平面EGFA1，則平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上．連接A1G交EF于O，則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成的角（或其補(bǔ)角）．不妨設(shè)AC=4，則在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.由于O為A1G的中點(diǎn)，故，所以．因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是．方法二：（1）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E–xyz．不妨設(shè)AC=4，則A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0)．因此，，．由得．（2）設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ．由（1）可得．設(shè)平面A1BC的法向量為n，由，得，取n，故，因此，直線EF與平面A1BC所成的角的余弦值為．5.(2019年高考北京卷理)如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．（1）求證：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析.【解析】（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．又因?yàn)锳D⊥CD，所以CD⊥平面PAD．（2）過(guò)A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M．因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，則A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以E（0，1，1）．所以．所以.設(shè)平面AEF的法向量為n=（x，y，z），則即令z=1，則．于是．又因?yàn)槠矫鍼AD的法向量為p=（1，0，0），所以.由題知，二面角F?AE?P為銳角，所以其余弦值為．（3）直線AG在平面AEF內(nèi)．因?yàn)辄c(diǎn)G在PB上，且，所以.由（2）知，平面AEF的法向量.所以.所以直線AG在平面AEF內(nèi).6.(2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理)如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．（2）由（1）知．由題設(shè)知≌，所以，故，．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D–xyz，則C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，，．設(shè)平面EBC的法向量為n=（x，y，x），則即所以可取n=.設(shè)平面的法向量為m=（x，y，z），則即所以可取m=（1，1，0）．于是．所以，二面角的正弦值為．專(zhuān)題8.7立體幾何中的向量方法練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（2020·陜西省商丹高新學(xué)校期末（理））兩不重合平面的法向量分別為，，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是（）A．平行 B．相交不垂直 C．垂直 D．以上都不對(duì)2．（2020·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)不重合的平面與平面，若平面的法向量為，向量，，則（）A．平面平面 B．平面平面C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能3．（2020·江西新余·高二其他）如圖所示，在正方體中，是底面正方形的中心，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則直線，的位置關(guān)系是（）A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直4．（2020·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．5．（2021·江蘇高三三模）已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，，平面，且，平面與平面的交線為.（1）求證：；（2）試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并求點(diǎn)在平面上的射影的坐標(biāo).6.【多選題】（2021·全國(guó)高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面7.（2021·四川省蒲江縣蒲江中學(xué)高二月考（理））如圖，在正四棱柱中，已知，，E?F分別為?上的點(diǎn)，且.（1）求證：BE⊥平面ACF；（2）求點(diǎn)E到平面ACF的距離.8．（2020·海安市曲塘中學(xué)高二期中）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，點(diǎn)M在線段A1B1上．（1）若A1M＝3MB1，求異面直線AM和A1C所成角的余弦值；（2）若直線AM與平面ABC1所成角為30°，試確定點(diǎn)M的位置．9.（2021·陜西高三其他模擬（文））如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若為等邊三角形，求三棱錐的體積.10.（2020·江蘇江都·邵伯高級(jí)中學(xué)月考）如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，其中，底面，是的中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）若平面，求平面與平面所成角的余弦值.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·江蘇高二期末）在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為2，且．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求三棱錐的體積．2.（2021·江蘇高二期末）如圖，在梯形中，，在線段上，且．沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，滿足．（1）證明：平面；（2）若在梯形中，，折起后在平面上的射影恰好是與的交點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.3．（2021·黑龍江高二期末（理））如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．4.（2021·福建高一期末）如圖1，中，，，，D，E分別是，的中點(diǎn).把沿折至的位置，平面，連接，，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，如圖2.（1）求證：平面；（2）當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，求直線與所成角的正切值.5．（2021·安徽高一期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若線段上存在一點(diǎn)滿足，使得，求的值；（3）在（2）的條件下，求二面角的正弦值.6．（2021·重慶南開(kāi)中學(xué)高三月考）如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D是的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）當(dāng)三棱柱的體積最大時(shí)，求點(diǎn)C與平面的距離．7．（2021·全國(guó)高三其他模擬）在四棱錐中，平面，底面為梯形，，，，，．（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若為棱上異于的點(diǎn)，且，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．8．（2021·湖南高三其他模擬）在長(zhǎng)方體中，已知，為的中點(diǎn).（1）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請(qǐng)加以證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)，，點(diǎn)在上且滿足，求與平面所成角的余弦值.9.（江西高考真題）如圖，與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直線與平面所成的角的大??；（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值.10．（2020·上海市七寶中學(xué)高二期末）如圖，在中，，斜邊，半圓的圓心在邊上，且與相切，現(xiàn)將繞旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，點(diǎn)為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，且．（1）求球的半徑；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）設(shè)是圓錐的側(cè)面與球的交線上一點(diǎn)，求與平面所成角正弦值的范圍．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·北京高考真題）已知正方體，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)．（1）證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．2．（2021·全國(guó)高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．3.（2019·天津高考真題（理））如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).4.（2019年高考浙江卷）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.4．（2021·天津高考真題）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．6．（2020·山東海南省高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．專(zhuān)題8.7立體幾何中的向量方法練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（2020·陜西省商丹高新學(xué)校期末（理））兩不重合平面的法向量分別為，，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是（）A．平行 B．相交不垂直 C．垂直 D．以上都不對(duì)【答案】A由已知，兩不重合平面的法向量分別為（1，0，﹣1），（﹣2，0，2），所以，所以兩不重合平面的法向量平行，所以這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是平行；故選：A．2．（2020·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)不重合的平面與平面，若平面的法向量為，向量，，則（）A．平面平面 B．平面平面C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能【答案】A【解析】，，，，，所以，也為平面的一個(gè)法向量，又平面與平面不重合，所以平面與平面平行，故選：A.3．（2020·江西新余·高二其他）如圖所示，在正方體中，是底面正方形的中心，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則直線，的位置關(guān)系是（）A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直【答案】C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，∴，.∵，∴直線，的位置關(guān)系是異面垂直.故選:C4．（2020·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.有圖知，由題得、、、.，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，，令，得，，.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故選：C.5．（2021·江蘇高三三模）已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，，平面，且，平面與平面的交線為.（1）求證：；（2）試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并求點(diǎn)在平面上的射影的坐標(biāo).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由，根據(jù)線面平行的判定可得面，再由線面平行的性質(zhì)可證；（2）構(gòu)建以D為原點(diǎn)，為x、y、z軸的正方向構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出、、的坐標(biāo)，可得，，進(jìn)而求面的法向量并寫(xiě)出平面所在的方程，由，即可求出的坐標(biāo).【詳解】（1）∵，面，面，∴面，而面面，面，∴，得證.（2）由題意，平面，易得、，且，故構(gòu)建以D為原點(diǎn)，為x、y、z軸的正方向構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，∵，，，∴，，，，則，，若為面的一個(gè)法向量，則，令，即，∴面的方程為，∴為過(guò)方向向量為的直線與面PBC的交點(diǎn)，若，則令，可得，綜上，，即，故.6.【多選題】（2021·全國(guó)高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【答案】BD【解析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．7.（2021·四川省蒲江縣蒲江中學(xué)高二月考（理））如圖，在正四棱柱中，已知，，E?F分別為?上的點(diǎn)，且.（1）求證：BE⊥平面ACF；（2）求點(diǎn)E到平面ACF的距離.【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由證得結(jié)論成立.（2）利用點(diǎn)面距公式計(jì)算出到平面的距離.【詳解】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，.，所以，所以，所以平面.（2）由（1）知是平面的法向量.，所以點(diǎn)到平面的距離為.8．（2020·海安市曲塘中學(xué)高二期中）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，點(diǎn)M在線段A1B1上．（1）若A1M＝3MB1，求異面直線AM和A1C所成角的余弦值；（2）若直線AM與平面ABC1所成角為30°，試確定點(diǎn)M的位置．【答案】（1）；（2）M為A1B1的中點(diǎn)．【解析】先證明CC1⊥CA，CC1⊥CB，CA⊥CB，以{、、}這組正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.（1）用向量法求異面直線AM和A1C所成角的余弦值；（2）設(shè)＝λ，λ∈[0，1]，用向量法表示出直線AM與平面ABC1所成角，解出λ，即可確定M的位置.【詳解】解：（1）因?yàn)锳BC-A1B1C1為直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又CA、CB平面ABC，所以CC1⊥CA，CC1⊥CB；因?yàn)椤螦CB＝90°，所以CA⊥CB；以{、、}這組正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，所以A(4，0，0)，B(0，4，0)，A1(4，0，2)，B1(0，4，2)，C1(0，0，2)；因?yàn)锳1M＝3MB1，所以M(1，3，2)；因?yàn)椋?－3，3，2)，＝(－4，0，－2)，所以cos<，>＝＝＝，所以異面直線AM和A1C所成角的余弦值為；（2）設(shè)＝λ，λ∈[0，1]，所以M(4－4λ，4λ，2)，＝(－4λ，4λ，2)；設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量＝(x，y，z)，由·＝0，·＝0得，，其一組解為，所以＝(1，1，)；因?yàn)橹本€AM與平面ABC1所成角為30°，所以│cos<，>│＝││＝＝sin30°，得λ＝(負(fù)舍)，即M為A1B1的中點(diǎn)．9.（2021·陜西高三其他模擬（文））如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若為等邊三角形，求三棱錐的體積.【答案】（）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）連接，由，分別為，的中點(diǎn)，得，再由線面平行的判定定理即可證明所證；（2）如圖建系，利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離，再由，從而得出答案.【詳解】解：（1）證明：連接，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，又因平面，所以平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，所以，如圖以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)作平面的垂線軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即，令，則，，所以，則點(diǎn)到平面的距離，又，所以.10.（2020·江蘇江都·邵伯高級(jí)中學(xué)月考）如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，其中，底面，是的中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）若平面，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】設(shè)，建立如圖的空間坐標(biāo)系，，,，.（1），，所以，平面，平面.（2）因?yàn)槠矫?，所以，即，，所以，?平面和平面中，，所以平面的一個(gè)法向量；平面的一個(gè)法向量為；，所以平面與平面夾角的余弦值為.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·江蘇高二期末）在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為2，且．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）用為基底表示，由向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得夾角余弦值；（2）取中點(diǎn)，證明平面，然后由棱錐體積公式計(jì)算體積．【詳解】解：（1）由題意知，，，所以，，又，，所以，設(shè)與所成角為，則；（2）易知，，所以，取中點(diǎn)，連接，，則，所以，即，又，所以，因?yàn)椋矫?，，所以平面，因?yàn)椋?.（2021·江蘇高二期末）如圖，在梯形中，，在線段上，且．沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，滿足．（1）證明：平面；（2）若在梯形中，，折起后在平面上的射影恰好是與的交點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理即可求證；（2）先證明，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用余弦定理求出的長(zhǎng)，設(shè)，再由余弦定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得所需各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量和的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】（）因?yàn)?，，所以四邊形為菱形，所以，又，，平面，平面，所以平面．（）因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，，又，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，在菱形中，，．，所以，設(shè)，則，．在菱形中，，所以，在中，由余弦定理得，所以．所以，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，．所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.3．（2021·黑龍江高二期末（理））如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由余弦定理求得，勾股定理逆定理證明，從而結(jié)合已知垂直可證明線面垂直；（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角的正弦．【詳解】（1）證明：∵，，，∴由余弦定理可知，∴，∴，∵側(cè)面，且面，∴，又∵，平面，∴平面．（2）由（1）知，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

∴，，設(shè)平面的法向量為，由，得，取得；設(shè)與平面所成角為，則故直線與平面所成角的正弦值為．4.（2021·福建高一期末）如圖1，中，，，，D，E分別是，的中點(diǎn).把沿折至的位置，平面，連接，，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，如圖2.（1）求證：平面；（2）當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，求直線與所成角的正切值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）根據(jù)已知容易得出，再由平面，可得，從而可證平面；（2）根據(jù)三棱錐的體積為及的面積可得平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求得直線與所成角的正切值.【詳解】（1）證明：因?yàn)镈是的中點(diǎn)，所以，即，又因F為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)镈，E分別是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，即，，因?yàn)?，所以平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕忠?，所以平面；?）解：因?yàn)?，，D，E分別是，的中點(diǎn)，所以，，由（1）得為直角三角形，故，設(shè)三棱錐的高為，則，所以，所以線段即為三棱錐的高，所以平面，則，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，所以，又因直線與所成角的范圍為，所以直線與所成角的余弦值為，則正弦值為，所以直線與所成角的正切值為.5．（2021·安徽高一期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若線段上存在一點(diǎn)滿足，使得，求的值；（3）在（2）的條件下，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2），（3）【解析】（1）連接，證明，再由，平面，可得,從而可得平面，進(jìn)而可得；（2）由，，可得平面，則，由已知數(shù)據(jù)可求得，，從而可得，則，進(jìn)而可得答案；（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以為等邊三角形，∥，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，?）解：因?yàn)?，，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，，，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，則，所以6．（2021·重慶南開(kāi)中學(xué)高三月考）如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D是的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）當(dāng)三棱柱的體積最大時(shí)，求點(diǎn)C與平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）先證明，再由線面平行的判定定理證明即可（2）易知當(dāng)平面時(shí)，三棱柱的體積最大，此時(shí)、、兩兩垂直，故如圖建立直角坐標(biāo)系，利用向量法求解點(diǎn)到平面的距離即可【詳解】（1）連接交于點(diǎn)E，由棱柱性質(zhì)知E為的中點(diǎn)，連接，因D為的中點(diǎn)，故，而平面，平面，所以平面．（2）易知當(dāng)平面時(shí)，三棱柱的體積最大，此時(shí)、、兩兩垂直，故如圖建立直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)平面的法向量為，有，令，得，所以，于是點(diǎn)C與平面的距離．7．（2021·全國(guó)高三其他模擬）在四棱錐中，平面，底面為梯形，，，，，．（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若為棱上異于的點(diǎn)，且，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）證明即可得出；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)求出，再求出平面和平面的法向量，利用向量關(guān)系即可求出.【詳解】（1）證明：∵在梯形中，，，為的中點(diǎn)，所以且，∴四邊形為平行四邊形，所以，∵平面，平面，所以平面．（2）解：以為原點(diǎn)，，所在的直線為，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋?，，所以，，，，，則，，，．設(shè)，，則，．因?yàn)?，所以，即，化?jiǎn)得，解得（舍）或．所以，，即．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，所以，解得令，得；設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，所以解得令，得．設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．8．（2021·湖南高三其他模擬）在長(zhǎng)方體中，已知，為的中點(diǎn).（1）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請(qǐng)加以證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)，，點(diǎn)在上且滿足，求與平面所成角的余弦值.【答案】（1）存在，證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）利用線面判定定理證得平面和平面，然后利用面面平行的判定定理證得結(jié)論.；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)及空間向量，設(shè)，利用共線求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)與平面所成角為，利用結(jié)合空間向量數(shù)量積求得結(jié)果..【詳解】解：（1）存在，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.證明：在長(zhǎng)方體中，，.又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，且.故四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?又因?yàn)?，平面，平面，所以平面平?（2）在長(zhǎng)方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.因?yàn)?，，所以，，，，，所以，?設(shè)平面的法向量為，則，即.令，則，，所以，因?yàn)?，設(shè)，則，所以，則.設(shè)與平面所成角為，則，即.故與平面所成角的余弦值為.9.（江西高考真題）如圖，與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直線與平面所成的角的大小；（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【詳解】解法一：（1）取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD.又平面平面，平面平面,則MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面，延長(zhǎng)AM、BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角.OB=MO=，MO∥AB，則，，所以，故，所以AM與平面BCD所成的角為.（2）CE是平面與平面的交線.由（1）知，O是BE的中點(diǎn)，則BCED是菱形.作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，設(shè)為.因?yàn)椤螧CE=120°，所以∠BCF=60°.，，所以，所求二面角的正弦值是.解法二：取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,則MO⊥平面.以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.OB=OM=，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，，0），A（0，，2），（1）設(shè)直線AM與平面BCD所成的角為.因（0，，），平面的法向量為.則有，所以，即AM與平面BCD所成的角為.（2），.設(shè)平面ACM的法向量為，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量為，則設(shè)所求二面角為，則.10．（2020·上海市七寶中學(xué)高二期末）如圖，在中，，斜邊，半圓的圓心在邊上，且與相切，現(xiàn)將繞旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，點(diǎn)為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，且．（1）求球的半徑；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）設(shè)是圓錐的側(cè)面與球的交線上一點(diǎn)，求與平面所成角正弦值的范圍．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】由，斜邊，，設(shè)切點(diǎn)為，連接，，又，，，所以圓錐中球的半徑就是半圓的半徑，即為.（2）在三棱錐中，設(shè)到平面的距離為在中，，在等腰三角形中,，取中點(diǎn)，連，所以所以，由（1）知，由于，所以即.（3）如圖建立空間直接坐標(biāo)系，則，，，設(shè)在面上的射影與的正方向的夾角為，所以，，，，，設(shè)平面的法向量，由，∴，設(shè)與平面所成角為,則練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·北京高考真題）已知正方體，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)．（1）證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】(1)首先將平面進(jìn)行擴(kuò)展，然后結(jié)合所得的平面與直線的交點(diǎn)即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由于為正方體，為中點(diǎn)，故，從而四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線交平面于點(diǎn)，當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，即點(diǎn)為中點(diǎn).(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方形，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)，則：，從而：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）.2．（2021·全國(guó)高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2